高中数学必修四平面向量同步专题数乘向量Word下载.docx

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λ（a－b）＝λa－λb．

（4）线性运算

向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作向量的线性运算（或线性组合）．

（5）表示a方向上的单位向量．

2．向量共线定理

判定定理

a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线

性质定理

若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa

1．判断正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）实数与向量数乘，结果仍是一个向量．（　　）

（2）共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．（　　）

（3）λa的方向与a的方向一致．（　　）

（4）对于任意实数m和向量a，b若ma＝mb，则a＝b.（　　）

解析：

（1）正确．根据实数与向量数乘的定义，可知实数与向量数乘，结果仍是一个向量．

（2）错误．若条件a≠0去掉，当b≠0，a＝0时，λ不存在．

（3）错误．当λ＞0时，λa的方向与a的方向一致；

当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；

（4）错误．当m＝0时，ma＝mb，a与b可以不相等．

答案：

（1）√　

（2）×

　（3）×

　（4）×

2．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是（　　）

A．平行四边形　　　　　　B．菱形

C．梯形D．矩形

选C.因为＝－，

所以AB∥CD，且AB＝CD，

所以四边形ABCD为梯形．

3．已知向量a与b不共线，向量c＝3a－b，d＝6a－2b，则向量c与d的关系是________．（填“共线”或“不共线”）

d＝6a－2b＝2（3a－b）＝2c，

所以向量c与d共线．

共线

4.＝________．

＝（2a＋8b）－（4a－2b）

＝a＋b－a＋b＝2b－a.

2b－a

1．从两个角度看数乘向量

（1）代数角度

①λ是实数，a是向量，它们的积仍然是向量；

②λa＝0的条件是λ＝0或a＝0.

（2）几何角度

①当|λ|＞1时，有|λa|＞|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向（λ＞1）或反方向（λ＜－1）上伸长到|a|的|λ|倍；

②当0＜|λ|＜1时，有|λa|＜|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向（0＜λ＜1）或反方向（－1＜λ＜0）上缩短到|a|的|λ|倍．

2．对数乘向量的运算律的两点说明

（1）数乘向量运算律满足的条件：

三种运算律中的λ与μ都是实数．

（2）对运算律λ（a＋b）＝λa＋λb的几点说明

①当a，b中有一个等于0，或λ＝0或1时，等式显然成立；

②若a，b都不等于0且λ≠1，λ≠0，

当λ＞0且λ≠1时，如图，

＝a，＝b，＝λa，＝λb，

＝a＋b，＝λa＋λb，

由作法知∥，

所以||＝λ||，

且与方向也相同，

故有λ（a＋b）＝λa＋λb成立．

当λ＜0时，同理可证．

综上，λ（a＋b）＝λa＋λb成立．

3．正确理解向量共线的判定定理和性质定理

（1）向量共线的判定定理和性质定理实际上是由实数与向量的积推出的．两个定理分别从正、反两方面加以论述，即当a≠0时，a∥b⇔b＝λa.

（2）定理中，之所以限定a≠0，是由于若a＝b＝0，虽然λ仍然存在，但λ不唯一，定理的正反两个方面不成立．

（3）由于零向量的方向不确定，在处理有关向量共线问题时，一般规定零向量与任何一个向量平行．a，b都不是零向量时，若a＝λb，则λ＞0时，a与b同向；

λ＜0时，a与b反向．

（4）若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.

（5）向量共线的判断（证明）可把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线；

向量共线的应用是存在实数，使两向量可以互相表示，利用向量共线的条件列式，通过计算得出结论．

　　　　　　　向量的线性运算　

（1）计算下列各式：

①3（a－2b＋c）－（2c＋b－a）；

②（a－b）－（2a＋4b）＋（2a＋13b）．

（2）设x，y是未知向量．

①解方程5（x＋a）＋3（x－b）＝0；

②解方程组

（链接教材P83例1）

[解]　

（1）①原式＝3a－6b＋3c－2c－b＋a＝4a－7b＋c.

②原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0×

a＋0×

b＝0.

（2）①原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，

即8x＝－5a＋3b，所以x＝－a＋b.

②把第一个方程的左、右两边同乘－2，然后与第二个方程相加，

得y＝－2a＋b，从而y＝－a＋b.

代入原来第二个方程得x＝－a＋b.

所以

方法归纳

向量线性运算的基本方法

（1）类比方法：

向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．

（2）方程方法：

向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．

1．

（1）若2－（c＋b－3y）＋b＝0，其中a，c，b为已知向量，则未知向量y＝________．

（2）化简4（a＋b）－3（a－b）＝________．

（1）由2－（c＋b－3y）＋b＝0得2y－a－c－b＋y＋b＝0，即y－a－c＋b＝0，

所以y＝a－b＋c.

（2）4（a＋b）－3（a－b）＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b.

（1）a－b＋c　

（2）a＋7b

　　　　　　　向量共线的判定定理和性质定理

设两个非零向量a与b不共线．

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），求证：

A，B，D三点共线；

（2）已知ka＋b和a＋kb共线，求实数k的值．

（链接教材P84例2，例3）

[解]　

（1）证明：

因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），

所以＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）

＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5.

所以，共线．

又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．

（2）因为ka＋b与a＋kb共线，

所以存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），

即ka＋b＝λa＋λkb.

所以（k－λ）a＝（λk－1）b.

因为a，b是不共线的两个非零向量，

所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0.所以k＝±

1.

（1）证明三点共线问题可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

（2）注意当两个向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想的运用．

2．

（1）已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是（　　）

A．B，C，D　　　　　　　B．A，B，C

C．A，B，DD．A，C，D

（2）已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，则x＋y＝________．

（1）因为＝＋＝2a＋4b＝2，所以向量，共线，故A，B，D三点共线．

（2）由于A，B，P三点共线，

所以向量，在同一条线上，

由共线向量定理可知，必定存在实数λ使＝λ，

即－＝λ（－），

所以＝（1－λ）＋λ，

故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.

（1）C　

（2）1

　　　　　　　用已知向量表示其他向量

（1）如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．

①＝________；

②＝________．

（2）如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.

（链接教材P87习题2－3A组T5，T6）

[解]　

（1）①因为∥，||＝2||，

所以＝2，＝，

所以＝＋＝e2＋e1.

②＝＋＋

＝－－＋

＝－e1－e2＋e1

＝e1－e2.

故①填e2＋e1；

②填e1－e2.

（2）设＝x，则＝x，＝e1－x，

＝＝＝e1－x.

由＋＝

得x＋e1－x＝e2，

解方程得x＝e2－e1，

即＝e2－e1.

由＝－，＝e1－x，

得＝x－e1＝－e1

＝－e1＋e2.

　本例

（1）中，若＝e1，＝e2，试用e1，e2表示向量.

解：

因为＝＋＋，

＝＋＋，

所以2＝（＋）＋＋＋（＋），

又因为M，N分别是DC，AB的中点，

所以＋＝0，＋＝0.

所以2＝＋，

所以＝（－－）＝－e2－e1.

用已知向量表示其他向量的两种方法

（1）直接法

（2）方程法

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．

3．

（1）如图所示，D，E分别是△ABC中边AB，AC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，.

（2）如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．又＝，＝，试用a，b表示，，.

（1）由三角形中位线定理，

知DE綊BC，

故＝，即＝a.

＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.

（2）因为＝＝

＝（－）＝（a－b），

所以＝＋

＝b＋a－b＝a＋b.

因为＝＝，

所以＝＋＝＋

＝＝（＋）＝（a＋b）．

所以＝－

＝（a＋b）－a－b＝a－b.

规范解答

利用向量共线定理解决与共线相关的问题

（本题满分12分）如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.

（1）用a，b表示向量，，，，；

（2）证明：

B，E，F三点共线．

[解]　

（1）如图所示，延长AD到G，使＝，连接BG，CG，得到四边形ABGC.2分

因为D是BC和AG的中点，

所以四边形ABGC是平行四边形，

则＝＋＝a＋b，所以＝＝（a＋b），＝＝（a＋b）.5分

因为F是AC的中点，所以＝＝b.

所以＝－＝（a＋b）－a

＝（b－2a）.8分

＝－＝b－a＝（b－2a）.9分

由

（1）可知，

＝（b－2a），＝（b－2a），

所以＝，即，是共线向量，又因为它们有公共点B，所以B，E，F三点共线.12分

[规范与警示]　

（1）由中点联想到平行四边形，作辅助线得

处的结论是解答本题的关键；

若在

处不能正确地利用向量的加减法以及已表示出的，则易出现运算错误，导致失分；

若未能正确地表示出

处的结论，则无法证得结论，是又一易失分点．

（2）①在向量的加减运算中，需遵循平行四边形法则和三角形法则，在给出的图形中有时需要借助辅助线构造出相应的图形．

②对于常见图形中的基本量，要熟练应用三角形法则或平行四边形法则表示．

③利用向量共线定理可以证明三点共线，也可以求相关的参数的值，其基本的关系就是a＝λb（λ∈R，b≠0）．

1．下列说法正确的是（　　）

A．平行于同一向量的两个向量是共线向量

B．单位向量都相等

C．a∥b⇔存在唯一的实数λ，使得a＝λb

D．与非零向量a相等的向量有无数个

选D.若两个向量都与零向量平行，它们可能不共线，所以选项A不正确；

单位向量只是长度相等，方向不确定，故选项B不正确；

“a∥b⇔存在唯一的实数λ，使得a＝λb”需在b≠0的前提下才成立，故选项C不正确；

平移非零向量a，所得向量都与a相等，故与非零向量a相等的向量有无数个．故选D.

2．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则（a－b）－3（a＋b）＋（2b－a）＝________．

（a－b）－3（a＋b）＋（2b－a）＝a－b－3a－2b＋2b－a＝－a－b＝－（3i－4j）－（5i＋4j）

＝－11i＋j－5i－4j

＝－16i＋j.

－16i＋j

3．在△ABC中，＝a，＝b，若＝2，则＝________（用a，b表示）．

＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b.

a＋b

　　[学生用书单独成册]）

[A.基础达标]

1．已知向量a，b满足：

|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ＝（　　）

A.B．

C．±

D．±

选C.因为|a|＝3，|b|＝5，a＝λb，所以|a|＝|λ||b|，即3＝5|λ|，所以|λ|＝，λ＝±

.

2.

如图所示，已知＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式中成立的是（　　）

A．c＝b－a

B．c＝2b－a

C．c＝2a－b

D．c＝a－b

选A.＝＋＝＋3＝＋3（－），所以＝－，即c＝b－a.

3．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2（k∈R）与向量n＝e2－2e1共线，则（　　）

A．k＝0B．k＝1

C．k＝2D．k＝

选D.将k的值逐一代入检验，当k＝0，1和2时m与n均不共线，当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2，此时n＝2m，故m，n共线．

4．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则＋＋＋＝（　　）

A.B．2

C．3D．4

选D.＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋，而＋＝0，＋＝0，故＋＋＋＝4.

5．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则实数t的值为（　　）

C.D．

选A.由题意可得＝－＝＋－＝（－）＝，又＝t，所以t＝.

6．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若（x＋y－1）a＋（x－y）b＝0，则x＝________，y＝________．

由（x＋y－1）a＋（x－y）b＝0，

且向量a，b不共线，

得解得

7．在△ABC所在平面上有一点，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比是________．

＋＋＝＝－，

即＝－2，

所以＝，

所以＝.

1∶3

8．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．

由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.

又O是AC的中点，所以AC＝2AO，所以＝2，

所以＋＝2.

又＋＝λ，所以λ＝2.

2

9．如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，＝＝，记＝a，＝b，求证：

＝（b－a）．

证明：

因为＝＝（－）

＝（－a－b），＝＝－b，

所以＝－＝－a－b＋b

10．已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.

（1）若e1与e2不共线，a与b共线，求实数k的值；

（2）是否存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线？

若存在，求出k的值，否则说明理由．

（1）由a＝λb，得2e1－e2＝λke1＋λe2，

而e1与e2不共线，

所以⇒k＝－2.

（2）不存在．若e1与e2共线，则e2＝λe1，

有

因为e1，e2，a，b为非零向量，

所以λ≠2且λ≠－k，

所以a＝b，即a＝b，这时a与b共线，所以不存在实数k满足题意．

[B.能力提升]

1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ（＋），λ∈[0，＋∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．外心B．内心

C．重心D．垂心

选C.因为＝＋λ（＋），λ∈[0，＋∞），所以＝λ（＋），λ∈[0，＋∞），即与＋共线，而＋是以，为邻边的平行四边形的对角线表示的向量，而对角线与BC的交点是中点，所以P的轨迹一定通过△ABC的重心．

2．对于△ABC内部一点O，存在实数λ，使得＋＝λ（＋）成立，则△OBC与△ABC的面积之比是（　　）

A．1∶2B．1∶1

C．1∶3D．2∶3

选A.如图，设D，E分别是AB，AC的中点，以OA，OB为邻边作▱OAGB，以OA，OC为邻边作▱OAFC，则＋＝＝2，＋＝＝2，

因为＋＝λ（＋），

所以＝λ，所以点D，O，E三点共线，

所以点O在直线DE上，

又因为D，E分别为AB，AC的中点，

所以△OBC与△ABC的面积之比为1∶2.

3．已知＝，若＝λ，则λ＝________．

如图，因为＝，

所以点P在线段P1P2上，且＝.

所以与反向，且＝，

所以＝－，故λ＝－.

－

4．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________（用e1，e2表示）．

因为＝＝e2，所以＝－e2，

因为＝，＋＝＝－＝e2－e1，

所以＝（e2－e1），所以＝＋＝（e2－e1）－e2＝－e1＋e2.

－e1＋e2

5．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋（1－λ）（λ∈R，λ≠1，λ≠0）．

（1）求证：

A，B，M三点共线；

（2）若点B在线段AM上，求实数λ的范围．

（1）证明：

因为＝λ＋（1－λ），

所以＝λ＋－λ，

－＝λ－λ，

即＝λ，

又λ∈R，λ≠1，λ≠0且，有公共点A，所以A，B，M三点共线．

（2）由

（1）知＝λ，若点B在线段AM上，

则，同向且||＞||（如图所示）．

所以λ＞1.

6．（选做题）在△ABC中，点D和E分别在BC，AC上，且＝，＝，AD与BE交于R，证明：

＝.

由A，D，R三点共线，可得＝λ＋（1－λ）＝λ＋（1－λ）.

由B，E，R三点共线，

可得＝μ＋（1－μ）＝μ＋（1－μ）.

所以所以

所以＝＋.

所以＝－＝－，

＝－＝－

＝－

＝＝.