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2009年6月
S070101ZJ002
代数学Ⅳ
AlgebraⅣ
S070101ZJ002
代数学I-III（主要是Galois理论、范畴、模论和环论、有限群的表示理论、同调代数）。
本课程是基础数学硕士生的基础课程代数之四，目的是为基础数学方向的研究生及其它需要代数较多的专业提供交换代数方面的初步知识。
其它方向的学生也可通过此课程获得现代交换代数方面的训练、常识或修养。
素理想、素谱及Krull维数，交换环的链条件及模论（尤其是Noetherian条件和模的平坦性）。
环与模的局部化方法，Associated素理想及准素分解，I-adic拓扑和完备化，Hilbert零点定理，正则序列及正则环等。
1.M.Atiyah,I.Macdonald:
《IntroductiontoCommutativeAlgebra》2.H.Matsumura:
《CommutativeAlgebra》
S070101ZJ003
微分几何Ⅱ
DifferentialGeometryⅡ
S070101ZJ003
课程属性：
高等数学、线性代数、曲线和曲面论、点集拓扑，微分几何I。
本课程为数学学科相关专业博士、硕士研究生的专业基础课，同时也可作为理论物理等相关专业研究生的选修课。
近代微分几何的范围很广，本课程是微分几何I的提高，主要介绍黎曼流形上的算子理论、测地线，复流形及复几何初步。
通过本课程的学习，希望学生能掌握近代微分几何的基本概念和基本技巧，对微分几何的近代发展有所了解，为进一步学习现代数学和从事专业研究打下基础。
第一章黎曼流形上的几何算子
Hodge星算子；
Laplace-Beltrami算子；
Hodge定理及其应用。
第二章测地线及其应用
弧长二阶变分；
Jacobi场；
共轭点；
指标引理；
Hessian比较定理；
Laplacian比较定理；
体积比较定理。
第三章复流形及复几何初步
复流形的概念；
殆复流形；
Hermite和Kaehler度量；
Ricci形式；
全纯截面曲率；
结构方程；
陈类；
Kaehler子流形。
教材：
白正国等，《黎曼几何初步》，高等教育出版社，北京，1992。
1.J.柯歇尔，邹异明，辛几何引论，科学出版社，北京，1999。
2.O’NeilB.,Semi-Riemanniangeometry:
withapplicationstorelativity,NewYork:
AcademicPress,1983.
3.S.KobayashiandK.Nomizu,Foudationsofdifferentialgeometry,VOLI,II,Intersciencepublishers,1969.
4.陈省身、陈维桓著，《微分几何讲义》，北京大学出版社，北京，1983。
焦晓祥（研究生院数学学院）
撰写时间：
S070101ZJ004
黎曼曲面Ⅱ
RiemannSurfacesⅡ
S070101ZJ004
黎曼曲面Ⅰ
本课程为数学学科相关专业博士、硕士研究生的专业基础课。
黎曼曲面是现代数学许多重要领域如复几何、李群、代数数论、调和分析和拓扑学的交叉点。
该课程分为黎曼曲面（I）和黎曼曲面（II）。
黎（I）主要介绍黎曼曲面的基本概念，如：
全纯，亚纯映射，分歧覆盖，层以及Riemann-Roch定理初步等。
黎（II）主要讲授有关黎曼面的一些深刻定理，如：
Serre对偶定理，Abel定理，单值化定理等。
通过黎曼曲面（II）的学习，希望学生较好地把握黎曼曲面的思想，方法并能应用到相关领域中。
第一章紧Riemann面
Serre对偶定理，Riemann-Hurwitz公式，紧Riemann面上的全纯向量场；
给定主部的亚纯函数和亚纯1-形式的存在性；
调和微分形式的分解；
Abel定理，相交数；
周期矩阵，Jacobi簇与Picard群，Jacobi反演定理；
紧Riemann面的拓扑—三角剖分。
第二章非紧Riemann面
Riemann面上的调和函数与Dirichlet边值问题；
Riemann面的可数拓扑基问题；
Weyl引理；
Mittag-Leffler定理和Weierstrass定理；
Riemann映照定理；
Klein群和Fuchs群初步；
线丛和向量丛。
1.OttoForster，LecturesonRiemannSurfaces,GTM81，Springe-Verlag1981。
2.H.M.Farkas，I.Kra，RiemannSurfaces，GTMVol.71，Springe-Verlag,1980。
3.L.V.Ahlfors，L.Sario,，RiemannSurfaces，Princeton,1960。
吴英毅（研究生院数学学院）
S070100ZJ005
李群李代数及其表示
LieGroup,LieAlgebrasandTheRepresentations
S070100ZJ005
李群基础
本课程为数学学科相关专业博士、硕士研究生的专业基础课,也可以作为理论物理专业的研究生的选修课。
李群与李代数是核心数学的一个重要分支，在数学的许多方向以及物理学、化学等其他学科中有着广泛的应用。
本课程着重于实李群和复李群，复半单李代数结构。
为学生们进一步学习打下良好基础。
第一章基本概念
实李群和复李群；
李代数；
李子代数；
理想；
商代数；
单李代数；
Killing型。
第二章复半单李代数结构
复半单李代数；
Cartan子代数：
Cartan分解；
共轭性定理。
第三章复半单李代数的分类
根系；
素根系；
Dykin图；
分类定理。
第四章紧致实形式
Weyl基；
Chevalley基；
半对合；
实形式；
紧致实形式；
紧致李群。
1.万哲先，李代数，科学出版社，北京，1964。
2.B.C.Hall:
LieGroups,LieAlgebras,andRepresentations,GTM222.Springer（2003）。
3.孟道骥，复半单李代数引论，天元研究生数学丛书，北京大学出版社，1998。
肖良（研究生院数学学院）
S070101ZJ006
代数拓扑Ⅱ
AlgebraicTopologyⅡ
S070101ZJ006
同调论，交换代数，微分流形，李群
本课程为数学学科代数拓扑学,微分几何,几何分析专业博士、硕士研究生的专业基础课。
同时也可作为物理学、力学等专业研究生的选修课。
代数拓扑学的目的是提供研究拓扑问题的代数方法，包括各种代数不变量的构造与计算方法。
本课程将介绍的代数拓扑不变量是同调群与上同调群（环），核心内容为它们的定义与计算方法。
希望通过本课程的学习，学生能掌握它们的定义与基本性质，对代数拓扑解决问题的方法有初步了解，为进一步学习现代数学与从事各种专业研究打下基础。
第一章:
向量丛及基本概念
向量丛;
直和构造;
张量积;
子丛和补丛;
诱导丛;
向量丛的定向性
第二章:
Thom同构定理及应用
Thom同构定理
向量丛的Euler类与Gysin正合列
流形中的相交理论
第三章:
示性类理论
Leray-Hirsch定理
复向量丛的Chern示性类
实向量丛的Stiefel-Whitney示性类;
Pontrjagin示性类;
第四章:
应用
浸入及嵌入;
7维球面上的微分结构;
配边理论
J.Milnor,Characteristicclasses;
D.Husemoller,Fibrebundles
苏竞存,《流形拓扑学》。
段海豹（数学与系统科学研究院）
撰写时间：
S070101ZJ007
微分拓扑
DifferentiableTopology
S070101ZJ007
多元微积分，点集拓扑
本课程为数学学科几何分析,微分几何,代数拓扑方向的博士、硕士研究生的专业基础课。
微分流形和微分映射
微分流形及切丛；
微分映射及其切映射
浸入及嵌入（immersionandembedding）；
光滑纤维丛（submersion）
带边流形
Sard定理和横截性（Transversality）定理
隐函数定理
Sard定理
横截性（Transversality）定理
子流形的法丛及管状邻域.
流形整体拓扑学
代数学基本定理和Brouwer不动点定理
流形上的向量场及Euler数（Poincare-Hopf定理）
子流形的相交数
映射度
J.Milnor,《从微分观点看拓扑》,熊金城译
S070101ZJ008
复分析Ⅱ
ComplexAnalysisⅡ
S070101ZJ008
复变函数论，基础拓扑学,微分流形
本课程为数学学科各专业博士、硕士研究生的基础课，同时也可作为理论物理专业研究生的选修课。
多复分析和复流形是现代数学的核心领域之一,与数论,代数几何,微分几何等数学其他领域以及理论物理有紧密联系。
通过本课程的学习，希望学生能掌握多复分析和复流形的基本概念和基本思想，为进一步学习现代数学和从事专业研究打下基础。
第一章多复分析基础
复可微函数,复解析函数,Cauchy积分公式及其应用,全纯函数的各种等价定义,Hartogs定理,Riemann可去奇点定理,Cauchy-Riemann方程。
第二章复流形
复流形的定义与例子,复流形的全纯映射,隐函数定,复子流形,复流形的切丛与微分形式,dbar算子,Dolbeault上同调,复流形上的积分。
第三章层与上同调
Cousin问题和层的起源,层与层的上同调,DeRham-Weil定理,Dolbeault定理。
第四章Kahler流形的几何
Hermitian度量,Kahler条件,Kahler流形的定义和例子,Kahler恒等式,Kahler流形的Hodge理论,Serre对偶定理,Lefshetz定理。
第五章全纯向量丛的几何
全纯向量从的定义和基本运算,全纯向量丛上的度量,联络和曲率,Ricci曲率,陈类,Hirzebruch-Riemann-Roch定理。
第六章全纯线丛与Kodaira理论
全纯线丛的陈类,线丛与除子,正线丛,Kodaira消灭定理,Kodaira嵌入定理。
第七章复流形形变理论简介
复流形的解析族,无穷小形变,Kodaira-Spencer映射,存在性与障碍,完备性,代数曲线的形变。
1．Shiing-shenChern,Complexmanifoldswithoutpotentialtheory,secondedition,Springer,1995
2.J.Morrow,K.Kodaira,Complexmanifolds.Holt,RinehartandWinston,NewYork,1971
3,D.Huybrechts,Complexgeometry:
anintroduction,Springer,2005
4．P.A.Griffiths,J.Harris:
Principleofalgebraicgeometry,JohnWiley&
Sons,NewYork1978
5.K.FritzscheandH.Grauert,Fromholomorphicfunctionstocomplexmanifolds,GTM213,2002
6.K.Kodaira,Complexmanifoldsanddeformationofcomplexstructures.Springer,1986
邓富声（中国科学院大学）
2012年12月
S070101ZJ0010
泛函分析Ⅱ
FunctionalAnalysisⅡ
S070101ZJ0010
泛函分析I
在泛函分析I的基础上，使学生进一步了解近代泛函分析的基本内容及概念，为下一步的学习研究打下基础。
第一章Hilbert空间及其上算子
内积，弱拓扑，线性算子，Hilbert空间的张量积
第二章Banach代数
算子的谱，交换Banach代数，全纯函数演算
第三章C*代数
交换C*代数，正线性泛函，态及表示（GNS表示）
第四章vonNeumann代数
强算子拓扑，弱算子拓扑，有界算子的谱理论，谱分解定理，极分解定理，交换vonNeumann代数
J.B.Conway,ACourseinFunctionalAnalysis,GTM96,Springer-Verlag,1985.
撰写人：
葛力明（数学与系统科学研究院）
2009年12月
S070101ZJ0011
动力系统
DynamicalSystems
S070101ZJ0011
点集拓扑，实分析，泛函分析，微分流形
本课程为数学和应用数学专业研究生的专业基础课，也可供其他有关专业的研究生选修。
本课程主要介绍动力系统的基本概念、主要问题、基本方法和结果，为学生进一步学习和研究打下基础。
动力系统就最广泛的意义来说是研究系统演化规律的数学学科，其理论的发展和完善主要以经典力学，特别是天体力学为背景。
19世纪末庞加莱创立微分方程定性理论，或称微分方程的几何理论，其精神是不通过微分方程的显式解而直接研究解的几何和拓扑性质。
20世纪早期伯克霍夫关于拓扑动力系统的公理化式的工作为这一学科建立了大范围的理论框架，从而使动力系统的内涵更为广泛而丰富。
当代动力系统大致包括拓扑动力系统、遍历论、微分动力系统、哈密尔顿系统、复动力系统、随机动力系统等若干方向。
本课程主要介绍动力系统理论最基本的部分，包括拓扑动力系统、遍历论、微分动力系统的基本概念、方法和结果。
第一章：
动力系统的起源和含义。
包括介绍动力系统学科的历史发展，给出动力系统的定义。
通过几个重要的例子，说明动力系统领域所关注的主要问题。
第二章：
拓扑动力系统。
介绍极限集、回复性质、拓扑共轭和因子、拓扑传递和拓扑混合、极小集、拓扑熵。
第三章：
测度动力系统（遍历论）。
介绍庞加莱回复定理、不变测度、遍历测度、伯克霍夫遍历定理、唯一遍历定理、测度熵。
第四章：
微分动力系统。
介绍结构稳定性、双曲不动点、双曲集、稳定流形和不稳定流形、哈特曼－格罗伯曼定理、稳定流形定理。
1.A.KatokandB.Hasselblatt,IntroductiontotheModernTheoryofDynamicalSystems,CambridgeUniv.Press,1995.
2.V.V.NemytskiiandV.V.Stepanov,QualitativeTheoryofDifferentialEquations,PrincetonUniv.Press,Princeton,NewJersey,1960.
3.MichaelBrinandGarrettStuck,IntroductiontoDynamicalSystems,CambridgeUniversityPress,2002.
4.PeterWalters,AnIntroductiontoErgodicTheory,SpringerVerlag,NewYork,1982.
5.V.I.Arnold,GeometricalMethodsintheTheoryofOrdinaryDifferentialEquations,SpringerVerlag,1988.
孟钢（研究生院数学学院）
2011年7月
S070101ZJ0012
偏微分方程概论II
IntroductiontoPartialDifferentialEquationsⅡ
S070101ZJ0012
数学物理方程、泛函分析初步、偏微分方程概论Ⅰ
本课程为偏微分方程及相关学科领域的硕士生的学科基础课。
本课程的主要内容为双曲型偏微分方程和抛物型偏微分方程Cauchy问题和初边值问题的基本理论，重点介绍Galerkin方法和算子半群方法。
通过对本课程的学习，希望学生掌握偏微分方程的基本理论，为进一步学习与研究偏微分方程理论打下良好的基础。
第一章双曲型方程
●双曲型方程的能量不等式及其应用，
●Cauchy问题解的存在性，
●初边值问题解的存在唯一性（Galekin方法），
●对称双曲组。
第二章抛物型方程与算子半群方法
●抛物型方程的定解问题及其能量不等式，
●求解初边值问题的Galekin方法，
●算子半群方法及其应用以及极值原理。
1.陈恕行，《现代偏微分方程导论》，科学出版社，2005.（主要教材）
2.L.C.Evans，PartialDifferentialEquations,AMS,2002.
3．R.A.Adams，SobolevSpaces,NewYork:
AcademicPress1975.（中译本：
叶其孝
等译.北京，人民教育出版社，1981）
韩丕功吴刚
S070101ZJ013
范畴论:
函子语言简介
CategoryTheory:
Introductiontothefunctoriallanguage
S070101ZJ013
高等代数
本课程为进一步学习现代解析几何,代数几何打下关键基础,是数学学科各专业博士、硕士研究生的专业基础课。
第一章范畴论中的概念（Kategorien）
第二章Yoneda引理和可表函子（YonedaLemmaundreprä
sentableFunktoren）
第三章极限和上极限（LimitenundColimiten）
第四章Adjointfunctors（AdjungierteFunktoren）
第五章RepresentablefunctorsII
第六章Representablemorphisms（reprä
sentableMorphismen）
第七章SheafTheory（Garbentheorie）
第八章Ringedspaces（GeringteRä
ume）
第九章ADescenteLemmaofGrothendieck（EinDescenteLemmavonGrothendieck）
1.Grothendieck,A.É
lé
mentsdeGé
omé
trieAlgé
brique.I，2004.
KnutKnorr（RegensburgUniversity）
2012年4月
S070101ZY01
代数K理论
AlgebraicK-Theory
S070101ZY001
专业课
抽象代数，交换代数，同调代数，代数拓朴
本课程为数学学科相关专业博士、硕士研究生的专业课，同时也可作为其它相关学科研究生的选修课，要求选学者具备“抽象代数”，“交换代数与同调代数”，“代数拓朴”等有关专业的基础知识。
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