奥数知识点总结Word格式.docx

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4.行程问题之追及问题

　知识要点提示：

有甲，乙同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走的慢的走在前，走得快的过一段时间就能追上。

这就产生了“追及问题”。

实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人都的速度差。

如果假设甲走得快，乙走得慢，在相同时间（追及时间）内：

　　追及路程=甲走的路程-乙走的路程

　　=甲的速度×

追及时间-乙的速度×

追及时间

　　=速度差×

　　核心就是“速度差”的问题。

5.行程问题之多次相遇

多次相遇的数量关系

6.行程问题之火车过桥问题

火车在行驶中，经常发生过桥与通过隧道，两车对开错车与快车超越慢车等情况．

　　火车过桥是指“全车通过”，即从车头上桥直到车尾离桥才算“过桥”．如下图：

　　后三个都是根据第二个关系式逆推出的．

　　对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行．

　　两列火车的"

追及"

情况，请看下图：

7.行程问题之环形跑道问题

环形跑道问题，从同一地点出发，如果是背向而行，则每合走一圈相遇一次；

如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

环形跑道:

同向而行的等量关系:

乙程-甲程=跑道长,背向而行的等量关系:

乙程+甲程=跑道长。

8.行程问题之钟面行程问题

钟面行程问题是研究钟面上的时针和分针关系的问题，常见的有两种：

⑴研究时针、分针成一定角度的问题，包括重合、成一条直线、成直角或成一定角度；

⑵研究有关时间误差的问题．

　　在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是分针追赶时针，或是分针超越时针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题来解．

9.行程问题之电梯问题

电梯问题其实是复杂行程问题中的一类。

有两点需要注意，一是“总行程＝电梯可见部分级数±

电梯运行级数”，二是在同一个人上下往返的情况下，符合流水行程的速度关系，（注意，其总行程仍然是电梯可见部分级数±

电梯运行级数）

　商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。

如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？

分析：

因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼上所用时间相同，在这段时间中，自动扶梯向上运行了（80-40）÷

2＝20（级）所以扶梯可见部分有80-20＝60（级）。

10.行程问题之猎狗追兔

猎狗追兔的整体解题思路是：

　　⑴将两种动物单位化为统一，然后用路程差除以速度差得到追及时间．

　　⑵比例思想即将单位化为统一后，即得两种动物的速度比，由于追及时间相同，所以速度比等于路程比．这样再引入份数思想得到路程差的份数．

　猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却要跑3步。

猎犬至少跑多少米才能追上兔子？

　　--------------------------------------------------------------------------------------------

　　这是常见的那题

　　方法一：

　　设猎犬跑5步的路程（兔子9步）为1米，猎犬跑2步的时间（兔子3步）的时间为1秒

　　S犬=1/5（米/步），S兔=1/9（米/步）

　　T犬=1/2（秒/步），T兔=1/3（秒/步）

　　V犬=2/5（米/秒），V兔=1/3（米/秒）

　　句子与猎犬的速度差为2/5-1/3=1/15米

　　追上要用时间10/（/15）=150秒

　　狗跑S=T*V=150*2/5=60米

　　方法二：

　　步长比：

9：

5

　　频率比：

2：

3

　　速度比：

18：

15（注意这里比出来是以米作为单位的，具体可以参考方法一）

　　18：

15=6：

5=60：

50

　　猎人带着猎犬去打猎，发现兔子的瞬间（此时猎人、猎犬、兔子位于同一点上），猎人迟疑了一下才发出了让猎犬追捕的命令，这时兔子已经跑出了6步。

已知猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步；

但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子能跑3步。

那么猎犬跑多少步才能追上兔子？

　　A.25B.54C.49D.20

　　----------------------------------------------------------------------------------------------------------

　　这是我早上碰到的那题，区别就是把米改成了步

　　兔子跑6步跑动的距离：

s=6*（1/9）=2/3（米）

　　猎犬要追上这段距离需要用时：

t=s/（V犬-V兔）=10（秒）

　　10秒钟猎犬跑的步数为：

10*2=20（步）

　　也可以用比例来做

　　接下去，要把步换作米

s=6*（1/9）=2/3（米）换成2/3后，就跟第一题的方法一样了

5=12/3：

10/3=4：

10/3

　　狗要跑4米才能追上，而S犬=1/5（米/步）

　　所以狗要跑4/（1/5）=20步

二、数论问题

1.数的整除问题

什么是数的整除问题？

同余数的概念和性质

注意：

弃九法只能检验原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。

第七讲从不定方程1/n=1/x+1/y的整数解

不定方程1/n=1/x+1/y的整数解是x=n+t和y=n+t'

而t和t'

是n的平方的互补因子（当t=t'

=n时自补因子也包括在内）。

递推方法数学游戏

解工程问题必备公式

　【工程问题公式】

（1）一般公式：

　　工效×

工时=工作总量；

　　工作总量÷

工时=工效；

工效=工时。

（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：

　　1÷

工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；

单位时间能完成的几分之几=工作时间。

　　（注意：

用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。

特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。

）

解分数百分数应用题必备的公式

　【求分率、百分率问题的公式】

　　比较数÷

标准数=比较数的对应分（百分）率；

　　增长数÷

标准数=增长率；

　　减少数÷

标准数=减少率。

　　或者是

　　两数差÷

较小数=多几（百）分之几（增）；

较大数=少几（百）分之几（减）。

　　【增减分（百分）率互求公式】

　　增长率÷

（1+增长率）=减少率；

　　减少率÷

（1—减少率）=增长率。

　　【求比较数应用题公式】

　　标准数×

分（百分）率=与分率对应的比较数；

增长率=增长数；

减少率=减少数；

（两分率之和）=两个数之和；

（两分率之差）=两个数之差。

　　【求标准数应用题公式】

与比较数对应的分（百分）率=标准数；

增长率=标准数；

减少率=标准数；

　　两数和÷

两率和=标准数；

两率差=标准数；

　　【方阵问题公式】

（1）实心方阵：

（外层每边人数）2=总人数。

（2）空心方阵：

　　（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×

层数）2=中空方阵的人数。

　　（最外层每边人数-层数）×

层数×

4=中空方阵的人数。

　　总人数÷

4÷

层数+层数=外层每边人数。

　　例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？

　　解一先看作实心方阵，则总人数有

　　10×

10=100（人）

　　再算空心部分的方阵人数。

从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是

　　10-2×

3=4（人）

　　所以，空心部分方阵人数有

　　4×

4=16（人）

　　故这个空心方阵的人数是

　　100-16=84（人）

　　解二直接运用公式。

根据空心方阵总人数公式得

　　（10-3）×

3×

4=84（人）

　　【利率问题公式】利率问题的类型较多，现就常见的单利、复利问题，介绍其计算公式如下。

（1）单利问题：

　　本金×

利率×

时期=利息；

（1+利率×

时期）=本利和；

　　本利和÷

时期）=本金。

　　年利率÷

12=月利率；

　　月利率×

12=年利率。

（2）复利问题：

（1+利率存期期数=本利和。

　　例如，“某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？

”

　　解

（1）用月利率求。

　　3年=12月×

3=36个月

　　2400×

（1+10．2％×

36）

　　=2400×

1．3672

　　=3281．28（元）

（2）用年利率求。

　　先把月利率变成年利率：

　　10．2‰×

12=12．24％

　　再求本利和：

（1+12．24％×

3）

　　=3281．28（元）（答略）