数学物理方程小结二文档格式.docx
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7.2定解条件
定解条件包含初始条件与边界条件。
（1）初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。
例如波动方程应有二个初始条件,一般选初始位移u（x,o）和初始速度ut（x,0）。
而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u（x,o）,而Laplace方程没有初始条件。
（2）三类边界条件
第一类边界条件：
u（r,t）|Σ=f
（1）
第二类边界条件：
un|Σ=f
（2）
第三类边界条件：
（u+Hun）|Σ=f（3）
其中H为常数.
7.3二阶线性偏微分方程分类
判别式
波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.
7.4达朗贝尔公式
对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为
对半无界问题作延拓处理:
对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.
第八章分离变量法
8.1分离变量法
主要步骤:
1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的.
•2.分离变量u（x,t）=X（x）T（t）
（1）
[以后对三维问题也是如此]
•3.将
（1）式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程,（称为本征方程）而λ为本征值.
•4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.（得出的解为本征函数）
•5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解.
•6.再由初始条件确定系数.
一维波动方程在第一类齐次边界条件下的
一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:
一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解:
一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解:
对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解.
8.2非齐次边界条件的处理
常用方法有1）直线法:
对边界条件为:
u（0,t）=g（t）,u（L,t）=h（t）.
令
可把边界条件化为齐次,但一般情况下方程变为非齐次.•只有当g,h为常数时,方程才不变.
2）特解法
•把u化为两部分,令u=v+w使v满足齐次边界条件与齐次方程,而使w满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法.
•例题求解下列定解问题
•Utt－a2Uxx=0
•U|x=0=0,U|x=L=ASinωt
•U|t=0=0,Ut∣t=0=0
•（其中A、ω为常数,0＜x＜L,0＜t）
•解：
令u=v+w,使w满足波动方程与非齐次边界条件,
•得出
第九章二阶常微分方程的级数解法
本征值问题
一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.
1.拉普拉斯方程在球坐标下的通解:
其中Ylm为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下的解不依赖于边界条件.
在轴对称时
（1）式退化为
2.拉普拉斯方程在柱坐标下:
（5）式其解为m阶Bessel函数,
解依赖于边界条件,当上下底为边界条件是齐次时,
μ<
0.对应的解是虚贝塞尔函数.
3）亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.
在球坐标下:
其中Y为球函数,R为球贝塞尔函数.
在柱坐标下:
.
二、常微分方程的级数解法
1.掌握常点邻域的级数解法.
2.掌握正则奇点邻域的级数解法.
3.知道无穷级数退化为多项式的方法.
三.知道Sturm-Livouville本征值问题的共同性质
•当k（x）,q（x）和ρ（x）都只取非负的值（≥0）,Sturm-Livouville方程共同性质为:
•1）当k（x）,k’（x）和q（x）连续且x=a和x=b最多为一阶极点时,存在无限多个本征值及对应的本征函数:
2）所有本征值λn≥0
3）对应于不同本征值的本征函数带权正交
4）本征函数族构成完备系
第一十章球函数
1.轴对称的球函数
当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴为z轴这时物理量u就与φ无关,m=0.
此时球函数Y（θ,φ）就为L阶勒让德多项式.即Y=Pl（cosθ）
1）勒让德多项式
1.勒让德多项式级数形式:
2.勒让德多项式微分形式:
3.前几项为:
P0（x）=1,P1（x）=x=cosθ,
•P2（x）=（3x2-1）/2,….
•一般勒让德多项式的幂次取决L
•当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂项.对特殊点x=1,0.
•4.勒让德多项式正交关系
（3）
•5.勒让德多项式的模
（4）
6.广义傅里叶级数:
当f（x）在[-1,1]连续可导,且在x=-1与1有限时.
（5）
•7.在球坐标下Laplace方程:
△u=0的通解为:
轴对称
（6）式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两自然边界条件,r=0与r→∞,球内解包含r=0,
•u有限,
（7）
•而Al由球面的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球面的边界条件与r→∞,两个条件确定.
8.母函数
（8）
9.递推公式
二.连带勒让德函数
•在一般情况下,物理量u与φ有关,故球函数Y是连带勒让德函数与周期函数的乘积.
1.连带勒让德函数
（1）
2.连带勒让德函数的微分表示
（2）
从
（2）可得当L一定时,m的取值为m=0,1,2…L.共有L+1个值.而三角形式球函数Y（θ,φ）中,cosmφ,sinmφ为不同态,共有2L+1个态.
3.正交关系
4.球函数Y的两种表示形式.
第十一章柱函数
一、掌握三类柱函数的基本性质
一般我们称Bessel函数Jm（x）为第一类柱函数.
而把Neumann函数Nm（x）称为第二类柱函数.
1）对于第一类柱函数与第二类柱函数的线性组合.
称为第一种与第二种汉克尔函数.而汉克尔函数称为第三类柱函数
2）x0和x时的行为
3）递推公式
4）贝塞尔函数的零点
对m阶贝塞尔方程
对第一类齐次边界条件
得出第n个零点
对第二类齐次边界条件
二．贝塞尔函数的正交关系
.
•对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间
•[0,ρ0]上带权重ρ正交.
•
•2）广义傅里叶-贝塞尔级数
•3）Laplace在柱坐标下的通解
•轴对称m=0,柱内解为
•在侧面为第一类齐次边界条件时
•其中系数An,Bn由上下底边界条件确定.
•在上下底为齐次边界条件时,μ0,R的解为虚宗量贝塞尔函数.记为Im（x）
•同样可得Laplace方程在柱内解
•当轴对称时m=0
•上下底满足第一类齐次边界条件时解为
•输运方程与波动方程在柱坐标下的解
•1）解的形式:
u（r,t）=T（t）v（r）
•V满足亥姆霍兹方程.
在侧面与上下底齐次边界条件下能完全确定本征值,例如上下底满足第一类齐次边界条件.
在轴对称情况下m=0
对输运方程柱内的解:
上下底满足第一类齐次边界条件
波动方程在柱内的解:
•在上下底满足第一类齐次边界条件下
•二维极坐标下的解:
•侧面满足第一类齐次边界条件
（3）
•侧面满足第二类齐次边界条件
•第十二章积分变换法
•一、傅里叶变换法
•1。
掌握傅里叶变换法的适用条件，即方程中的一个变量是在（-∞,∞）范围内时,可用Fourier变换法.
•2。
能用傅里叶变换法求解一些筒单的偏微分方程。
•二、Laplace变换法
掌握Laplace变换法的适用条件，即方程有初值情况,且一个变量的变化范围在（0,∞）
能用Laplace变换法求解一些筒单的偏微分方程。
•第十三章格林函数法
知道格林函数的定义及物理意义
知道泊松方程解的积分形式
•3。
能用电像法求解泊松方程的格林函数。
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