134《最短路径问题2》教案精选文档文档格式.docx

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这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。

（一）学习目标

要练说，得练听。

听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。

我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。

当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。

平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。

1.熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；

这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录并且阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。

如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。

如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?

2.学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；

3.体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．

（二）教学重点

教学重点：

利用平移将“造桥选址”的实际问题转化为“两点之间，线段最短”问题

（三）教学难点

教学难点：

如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

⑴平移不改变图形的和;

⑵三角形三边的数量关系：

三角形任意两边的差第三边;

⑶如图，直线AB，CD且AB∥CD，在直线AB上任取不同两点P、Q，过P、Q分别作CD的垂线，垂足分为M、N，则PM与QN的大小关系为（）

A．PM＞QNB．PM＝QNC．PM＜QND．不能确定

答案：

⑴形状，大小；

⑵小于；

⑶B

2.预习自测

⑴直线AB上有一点P，当点P在时，PA+PB有最小值，最小值为AB的值；

⑵直线AB上有一点P，当点P在时，PB-PA等于AB的值；

⑶直线AB上有一点P，当点P在时，PA-PB等于AB的值；

【知识点】线段的和差

【数学思想】分类讨论，数形结合

【思路点拨】直线AB上有一点P，此时点P与线段AB的位置关系有两种：

①如图1，点在线段AB上；

②如图2和图3，点在线段BA的延长线上或点在直线AB的延长线上.

【解题过程】⑴当点P在线段AB上时，如图1，PA+PB=AB即PA+PB最小值为AB的值；

⑵当点P在线段BA的延长线上时，如图2，PB-PA=AB；

⑶当点P在线段AB的延长线上时，如图3，PA-PB=AB；

【答案】⑴线段AB上；

⑵线段BA的延长线上；

⑶线段AB的延长线上.

⑷如图，点A、B在直线l的同侧，在直线l上能否找到一点P，使得｜PB－PA｜的值最大？

【知识点】两点之间线段最短，三角形两边的差小于第三边

【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边”，则｜PB－PA｜＜AB；

当点P与A、B共线，点P在线段BA的延长线上时，即点P为直线AB与直线l的交点，则｜PB－PA｜=AB.

【解题过程】⑴当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时｜PB－PA｜＜AB；

⑵当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB-PA=AB，即

｜PB－PA｜=AB；

【答案】如图，连接BA并延长交直线l于P，此时｜PB－PA｜的值最大.

（二）课堂设计

1.知识回顾

⑴在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变换称为平移变换（简称平移）.平移不改变图形的形状和大小.

三角形两边的差小于第三边

2.问题探究

探究一运用轴对称解决距离之差最大问题

●活动①回顾旧知，引入新知

师：

上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题——“将军饮马问题”，但善于观察与思考的海伦在解决“两点（直线同侧）一线”的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值”的情况：

●活动②整合旧知，探究新知

例1.如图，A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使｜AC－BC｜的值最大．

【知识点】轴对称变换，三角形三边的关系

【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点A（或点B）关于直线l的对称点A′（或B′），利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线A′B（AB′）与直线l交点C.

【解题过程】如图1所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的延长线交l于点C，则点C即为所求．

●活动③类比建模，证明新知

回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点（直线同侧）一线型”时AC+BC最小的吗？

试类比证明“｜AC－BC｜最大”的作法是否正确性？

理由：

在直线l上任找一点C′（异于点C），连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.又在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.

练习点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如图所示.若P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，请在图中画出点P与点Q.

【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边，三角形任意两边的和大于第三边

【思路点拨】当点P与A、B共线时，即在线段AB的延长线上，点P为直线AB与x轴的交点，则此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜PA－PB｜=AB.将点A、B看成y轴同侧有两点：

在y轴上求一点Q，使得QA+QB最小

【解题过程】⑴延长线段AB，AB与x轴交于点P，则此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜PA－PB｜=AB；

⑵作点A关于x轴的对称点A′，A′B的连线交y轴于点Q，则点Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点.

【答案】如图，点P与点Q即为所求：

探究二利用平移解决造桥选址问题★▲

●活动①结合实际，难点分解

常说“遇山开路，遇水搭桥”，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢？

如图，在笔直河岸CD上的点A处需建一座桥，连接河岸EF，且CD∥EF.显然当桥AB垂直于河岸时，所建的桥长最短.

●活动②生活中的实际问题

例2.如图，A、B两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？

（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）

【知识点】平移知识，两点之间线段最短

【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：

从点A到点B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．如图1，此时两线段AM、BN应在同一平行方向上，平移MN到AA′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB，这样问题就转化为：

当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？

如图2，连接A′，B两点的线中，线段A′B最短，因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径A→M→N→B是最短的.

图1

【解题过程】⑴如图2，平移MN到AA′（或者过点A作AA′垂直于河岸），且使AA′等于河宽．⑵连接BA′与河岸的一边b交于点N.⑶过点N作河岸的垂线交另一条河岸a于点M.

【答案】如图所示，则MN为所建的桥的位置．

图2

●活动③几何证明

上述作图为什么是最短的？

请你想想.

先让学生小组合作完成，进行展示、分享.

证明：

由平移的性质，得MN∥AA′，且MN=AA′，AM=A′N，AM∥A′N，所以A、B两地的距离:

AM+MN+BN=AA′+A′N+BN=AA′+A′B.如图2，不妨在直线b上另外任意取一点N′，若桥的位置建在N′M′处，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.由平行知：

AM′=A′N′，AA′=N′M′，则建桥后AB两地的距离为：

AM′+M′N′+N′B=A′N′+AA′+N′B=AA′+A′N′+N′B.在△A′N′B中，

∵A′N′+N′B＞A′B，∴AA′+A′N′+N′B＞AA′+A′B，即AM′+M′N′+N′B＞AM+MN+BN.所以桥建在MN处，AB两地的路程最短.

【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的已知问题，从而做出最短路径的选择.

练习如图1，江岸两侧有A、B两个城市，为方便人们从A城经过一条大江到B城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江岸互相平行.应如何选择建桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？

【知识点】平移的知识，两点之间线段最短

【思路点拨】从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．

【解题过程】

（1）如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽；

（2）连接BC与河岸的一边交于点N；

（3）过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.

【答案】如图2所示，则MN为所建的桥的位置．

3.课堂总结

知识梳理

本堂课主要知识为两个最值问题：

（1）利用轴对称知识解决“线段距离之差最大”问题；

（2）利用平移、两点间线段最短解决“造桥选址”问题．

重难点归纳

解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．

⑴“距离之差最大”问题的两种模型：

①如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；

②如果两点在一条直线的异侧时，先作其中一点关于直线的对称点，转化为①即可.通常求最大值或最小值的情况，常取其中一个点的对称点来解决，而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正确性．

⑵“造桥选址”问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．

（三）课后作业

基础型自主突破

1.如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；

点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）

A．F和CB．F和EC．D和CD．D和E

【知识点】最短路径问题．

【思路点拨】图中隐含了两个“两点（同侧）一线型”的模型.

【解题过程】由轴对称的最短路线的要求可知：

输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．故选A．

【答案】A

2.如图所示，一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上，人眼O的位置与镜子MN上沿M处于同一水平线． 

有四个物体A、B、C、D放在镜子前面，人眼能从镜子看见的物体有（）

A.点A、B、CB.点A、B、DC.点B、C、DD.点A、B、C、D

【知识点】轴对称的知识

【思路点拨】物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点，人眼从镜子里所能看见的物体是它关于镜面的对称点，必须在眼的视线范围内．如下图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、D′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B、D三个物体．

【解题过程】如下图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、D′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B、D三个物体．

【答案】B

3．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°

，∠B＝∠D＝90°

，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、三角形的外角以及三角形内角和、四边形内角和

【解题过程】∵在四边形ABCD中，∠C＝50°

，∴∠BAD=130°

延长AB到P，使BP=AB，延长AD到Q，使DQ=AD，则点A关于BC的对称点为点P，关于CD的对称点为点Q，连接PQ与BC相交于点E，与CD相交于点F，如图，PQ的长度即为△AEF的周长最小值；

又∵∠BAD=130°

，∴在△APQ中，∠P＋∠Q＝180°

－130°

＝50°

.∵∠AEF＝∠P＋∠PAE＝2∠P，∠AFE＝∠Q＋∠QAF＝2∠Q，∴∠AEF＋∠AFE＝2（∠P＋∠Q）＝2×

50°

＝100°

，∴∠EAF

=180°

－100°

=80°

【思路点拨】①补全图形，转化为“一点两线型”求三角形周长最小的问题；

②根据三角形的内角和等于180°

求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．

【答案】D

4.如图，村庄A，B在公路l的同侧，在公路l上有一个公交车站点P，此点P使得｜PB－PA｜值最大，试作出公交车站P的位置.

【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边

当点P与A、B共线时，即在线段BA的延长线上，点P为直线AB与直线l的交点，则｜PB－PA｜=AB.

【答案】如图，点P为所求公交车站的位置.

5.如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AC边上的中点，当EF+EC取得最小值时，求∠ECF的度数.

【知识点】等腰三角形的“三线合一”，轴对称知识，两点之间线段最短

【思路点拨】拆分出点F、点C和直线AD，构成“两点一线型”的基本模型是解决本题的关键，连接CF′（或者连接BF）与直线AD交于点E，此时EF+EC取得最小值为CF′（或者BF），但题目要求∠ECF的度数，则只能连接CF′，根据等腰三角形“三线合一”的性质求解.

【解题过程】取AB得中点F′，则等边三角形AC边的中点F与点F′关于直线AD对称；

连接CF′，与直线AD相交于点E，此时EF+EC取得最小值.因为CF′是等边△ABC的边AB上的中线，所以CF′平分∠ACB，则∠ECF的度数是30°

.

作图解题之前应该忽略图中的点E，如图1，又由“两点一线型”的最短距离的模型得到图2；

【答案】∠ECF的度数为30°

6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线．若P、Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值.

【知识点】轴对称的知识、垂线段最短、角平分线的性质

【数学思想】数形结合，转化

【解题过程】如图，过点C作CM⊥AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线，∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，最小值为CM的长度.∵AC=6，BC=8，AB=10，S△ABC=

AB•CM=

AC•BC，∴CM=

=

，即PC+PQ的最小值为

．

【思路点拨】因为∠BAC的对称轴是∠BAC的平分线所在的直线AD，所以点Q的对称点在射线AB上.若点Q关于直线AD的对称点为点M，PC+PQ=PC+PM，又当PC、PM共线时，PC+PM的最小值为线段CM的最小值，根据垂线段最短，所以当CM⊥AB时线段CM的值最小.过点C作CM⊥AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，因为AD是∠BAC的平分线，得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，最小值为CM的长度，再运用S△ABC=

AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．

【答案】

能力型师生共研

7.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P是线段EF上一个动点，连接BP、GP，求△BPG周长的最小值．

【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短

【思路点拨】要使△PBG的周长最小，而BG=1.5是一个定值，只要使BP+PG最短即可，则转化为“两点一线型”的最短路径问题.连接AB交直线EF于点P

即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小.

【解题过程】如图，连接AG交EF于M.∵等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，∴AG⊥BC，EF∥BC，则AG⊥EF，AM=MG，∴A、G关于EF对称，连接AB交直线EF于点P，即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小，∵AP=PG，BP=BE，∴最小值是：

PB+PG+BG=AE+BE

+BG=AB+BG=3+1.5=4.5．

【答案】4.5

探究型多维突破

8.读一读：

勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系:

在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， 

即a²

+b²

=c²

.我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”.例如：

直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c2=a2+b2=9+16=25， 

则斜边c为5.借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：

如图，已知A、B两个村庄位于河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，且CD=30km．现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置，并求出此时所花费用的最小值为多少？

（保留痕迹，不写作法）

【思路点拨】根据已知得出作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，再构造直角三角形利用勾股定理即可求出．此题主要考查了用轴对称解决最短路径问题和勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形．

【解题过程】依题意，只要在直线l上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小．作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B．又过点A′向BD作垂线，交BD的延长线于点E，在直角三角形A′BE中，A′E=CD=30，BE=BD+DE=40，根据勾股定理可得：

A′B=50（千米）即铺设水管长度的最小值为50千米．所以铺设水管所需费用的最小值为：

50×

2=100（万元）．

【答案】100万元

9.读一读：

如图，∠AOB=30°

，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是　　．

【思路点拨】点M、N分别在边OA、OB上的定点，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．

【解题过程】解：

作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，

连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．∴根据轴对称的定义可知：

∠N′OQ=∠M′OB=∠AOB=30°

，ON′=ON=3，OM′=OM=1，∴∠N′OM′=90°

，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=

．故答案为

自助餐

1.如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？

请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短

【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′，再连接A′B交CD于点E，即可得出答案．

【解题过程】如图所示，点E即为所求．

2.如图，在一条笔直的公路l旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它