关于高考数学试题命题背景的探索3docWord格式文档下载.docx
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（D）
第二象限角
不小于直角的正角
（B））】=1+
（D）y=\-
Jlf2（0<
X<
l）
已知函数），=丁25-4亍0,j,求它反函数.
是相接近的问题.
例32005年全国卷2文科第6题
双曲线—=1的渐近线方程是
49
2439
（A）y=±
-x（B）y=±
-x（C）y=±
-x（D）y=±
-x
。
7匕I
是课本第二期（上）习题8.4第1题
已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率、渐进线方程.
中的一部分.
例42005年全国卷2理科第9题、文第10题
已知集合M={x|x2-3x-28„0）,^={x|x2-x-6>
0）,则M—N为
（A）{x|-4,,工<
-2或3<
x,,7}（B）{同-4<
x,,-2或3,,工v7}
（C）{x|x”一2或工>
3}（D）{x\x<
—2或X...3}
与课本第一册（上）第22页第7题
已知C/=/f,KA={x|x2-16<
0],B={x|x2-4x+3>
0},求：
（1）ARB；
（2）A\JB；
（3）略；
（4）略.相同的问题.
例52005年全国卷2理科第13题、文科第14题
圆心为（1,2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为.与课本第二册（上）地82页第2
（1）题
求下列条件所确定的圆的方程
（1）圆心为C（3,—5）,与直线x—7"
2=0相切.完全类似.
例62005年全国卷1文、理第14题
（文科）（%--）8的展开式中，常数项为。
（用数字作答）
（理科）（2工-二）9的展开式中，常数项为•（用数字作答）
与课本第二册（下）复习参考题十的第12题的2小题
除数字不同外，没有本质区别.
例72005年全国卷2文科第17题
为第二象限的角，sino=g,人为第一象限的角，cos/?
=—.求tan（2c?
-b）的1
值.
是课本第一册（下）第37页例2
2/\3（3勿）
已知sino=-,ae—yp,cos/?
=——，fie兀,——，求sin（o-Z?
）,cos（"
+/>
）,
3v2/4v2J
tan（〃+/））的值.
的演变.
例82005年全国卷3文科第21题
用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°
角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大?
最大容积是多少？
与课木第三册（选修1）第44页、（选修2）第132页例2
在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？
最大容积是多少？
只是数字上的变动而已.
例92004年全国2卷中的三角解答试题：
已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=-,sin（A-B）=
（I）求证：
tanA=2tanB；
（ID设AB=3,求AB边上的高.
与下面的课木习题相接近.
课木第一册（下）第四章三角函数的小节与夏习例2：
己知sin（a+"
）=2,sin（a-/?
）=』，求竺的值.
35tanp
例102004年湖北卷的第17题
7T卜7t
已知6sin2a+sinacosa-2cos2a-O.ae［一,勿］,求sin（2a+—）的值.
3
吻合于下面的课本问题.
课本第一期（下）第四章三角函数的复习参考题四B组第13题：
己知函数y=sinx+2sinxcosx+3cos*-x,xeR,问：
（1）函数的最小正周期是什么？
（2）函数在什么区间上是增函数？
（3）函数的图象可以有函数y=42sm2x,xeR的图象经过怎样的变换得出？
需要提及的是，这又雷同于2002年全国高考第17题：
已知sin22a+sin2acosa-cosla-（0,生）.求sina、tga的值.
例112005年北京文科卷第17题：
数列｛。
“｝的前〃项和为且671=1,Q〃+1=§
S〃，n=1,2,3,,求
（1）。
2,。
3,"
4的值及数列｛〃〃｝的通项公式；
（2）%+%+。
6的值.
2004年全国2卷中的数列解答试题：
数列｛%｝的前n项和记为们，已知角=l,%i=里亳（〃=1,2,3...）.证明：
II
s
（1）数列｛二｝是等比数列；
n
（2）Sn+X=4an.
课木第一册（上）第三章数列的复习参考题三B组第5题：
在数列｛%｝中,aA=l,6z/f+1=3Sn（n>
1）,求证:
a2,q是等比数列.
例122004年全国2卷的试题：
给定抛物线C：
/=4工，F是C的焦点，过点F的直线/与C相交于A、B两点.
（1）设/的斜率为1,求房与无的夹角的大小；
（2）设FB=AAF,若Xg[4,9],求/在y轴上截距的变化范围.
我们想到了教材第二册（上）第118页的例3：
斜率为1的直线经过抛物线），2=4尤的焦点，与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长.
例132004年全国1卷中的数列解答试题:
已知数列｛.｝中％=1,且
〃2k=O2k-|+（—1）、O2k+l=O2k+3]
其中k=l,2,3,…….
（1）求。
5；
（2）求｛%｝的通项公式.
它的解答就可以转化为如下课本第一册（上）第三章数列习题的3.1第3
（1）题的模型.
6=；
，4=4%+1（〃22）.
值得一提的是，该题又和2003年天津高考压轴题的逆推关系式相近.
设。
为常数，且=3心一2《1（”£
N.）
（/）证明对任意心1,%=：
[3〃+（—1广'
・2〃]+（—1）〃・2%o；
（〃）假设对任意〃>
侑。
〃〉。
心,求。
的取值范围.
（链接）是近年高考常考常新的
值得注意的是，数列的逆推关系％+i
热门话题.
n+\
•高考命题探索链接（关于an+]=ca^d型递推数列的高
考题探讨）
2.从资料陈题出发来改编
例2005年全国卷3文科的第21题：
最大容积是多少？
和天星教育编辑的《试题调研》第8辑高考数学押题，第104页的
押题3从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后拆成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.
（1）把铁盒的容积V表示为x的函数，并指出其定义域；
（2）x为何值时，容积V有最大值.
极其相似！
3.从高考试题出发来改编
例12005年全国卷3理科第3题
在（x-r）（A-+r）8的展开式中x5的系数是
（A）-14（B）14
与2002年全国高考理科数学第15题：
（x2+1）（x-2）7的展开式中尸项的系数是
本质是一样的
例22004年全国3卷中的第19题
某村计划建造一个室内面积为8002的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左.右两侧与后侧内墙各保留Im宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时？
蔬菜的种植面积最大.最大种植面积是多少？
与如下2001年全国文科第21题相近.
设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为入（人vl）,画面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？
例32004年全国1卷中的第19题：
己知。
£
/?
求函数/（尤）=尸峪的单调区间.
与如下2003年天津第19题的题型相同.
＞0,求函数/（x）=V^-ln（x+«
）（x€（0,+8）的单调区间.
例42005年天津高考数学第20题：
某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在
的山高0B=220（米），0A=200（米），图中所示的山坡可视为直线1且点P在直线1上，/与水平地面的夹角为a,tana=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角匕BPC最大（不计此人的身高）
和1986年全国高考试题基本一致!
4.
从竞赛试题出发来改编
例12005年全国卷3理科第6题
（D）b<
a<
c
（A）a<
b<
c（B）c<
a（C）c<
b
雷同于2005年河南数学竞赛试题，见《中等数学》杂志.
例22005年全国卷3理科第16题
已知在Z\ABC中，ZACB=90°
BC=3,AC=4,P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离
乘积的最大值是」
和1979年陕西数学竞赛试题相近.
5.从经典名题出发来改编
例2005年全国卷3理科第11题
不共面的四个定点到平面。
的距离都相等，这样的平面。
共有
（A）3个（B）4个（C）6个（D）7个
在8、90年代，常见的经典问题!
6.从高等数学的定理出发来改编
例1关于凸凹函数的不等式模型是高考的常考题型，如：
•2005年湖北高考数学理科第6题
当0<
玉<
易<
1时，使
在y=2'
y=log2x,y=x2,y=cos2尤这四个函数中,
也）〉./（气）;
./（扬）恒成立的函数的个数是（）
A.0B.1C.2D.3
•2005年北京高考数学文理科第13题
对于函数f（x）定义域中任意的七,易（玉。
心），有如下结论：
①/（玉+工2）=/（^）*/（X2）；
②f（x}*^2）=/（^）+f（x2）；
当/（x）=\gx时上述结论中正确结论的序号是.
•2002年北京卷中的一道选择题：
如图1所示，九（x）（i=l,2,3,4）是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足性质:
“对[0,1]
中任意的玉和x2，任意Ag[0,1],f[Ax}+（1-九风]源朋）+（1-2）/（x2）恒成立"
的只有
yyyy1-
/iW
图1-1
事实上，从直观上表达了凸函数的性质，下面给出凸（凹）函数的定义：
设/'
（I）为定义在区间/上的函数.若对/上任意两点玉和实数人6（0」）总有
/（危L+（1-^）x2）"
•/（xi）+（1-4）•/（x2），
则称/（x）为/上的凸函数・反之，如果总有不等式
f㈤+（1-A）x2）>
2-/（X]）+（1-A）•/（x2）,
则称f（x）为J上的凹函数.
琴生（Jensen）不等式：
若上的凸函数，则有不等式
/（伞1+久2尤2+***+）~f（Xl）+）+*••+^ltf（Xn）③
其中,XjG>
0（z=1,2,•••,〃），且A]+人2九1=1•
例2以双曲函数/（x）=-（ax+）,g（x）=-（ax-a'
x）为载体的试题，如:
22
2005年天津理科数学第9题：
-广）（白>
1）的反函数，则使r,（x）>
i成立的尤的取值
设厂⑴是函数=
//2—1
C、（二
2a
范围为
.a2-1、_/a2-1.
A、（——,+8）B、（一8,—）
2a2a
2005年江西高考数学文理科第13题:
若函数/（x）=log〃（尤+J^+2/）是奇函数，则。
=
1992年全国高考数学卷第16题
函数y=ln（A*+Jx'
+1）的反函数是
说明：
人教版数学第一册（上）•复习参考题二B组・6
X-X-A.-X
设f3）=-—；
—,g（x）=-一；
一，求证：
（1）[gW]2-[/W]2=1
（2）/（2x）=[/（x）]2+[g（x）]2
（3）g（2x）=[/（jc）]2+[g（x）]2
例3数列的迭代法背景
如果/•（'
）是闭区间[。
四上的压缩映象，贝
（i）方程]=/'
（]）在区间[。
力]上有且只有一个根。
；
（ii）对任何x（）g[a.b],按迭代公式Lh=/（易）求出的数列｛、〃｝收敛于
（iii）〃次近似迭代的误差q=xn-a满足条件|£
n|=|xn-a\<
|玉）-茶I，其中
1_L
L是压缩系数.
2005年高考辽宁卷第12题：
一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意。
*（0,1）,由关系式
an+l=f（an）得到的数列｛%｝满足％+|>
an（neN*）,则该函数的图象是
2005年高考辽卷第19题：
己知函数/（x）=^^（x^-l）,设数列｛%｝满足=1,%]=）（%）,数列｛如｝满X+1
足如=|-V3|,Sn=Z?
1+/"
H*■bn（ngN）.
（I）用数学归纳法证明如
2R（II）证明：
s*w.
7.从初等数学研究成果中来改编
在数学名著《常用不等式》（湖南师范大学匡继昌著）上有如下不等式:
•设e<
x<
y,贝U
xInxy—<
<
—
yInyx
InY
证明：
考虑f（x）=——（X>
0）的单调性.
•设x.y.a.b均为正数，则
xIn—+yIn—>
（x4-v）In.
a■b•a+b
仅当时，等号成立.
ab
证明:
考虑（ilnx）>
0.
特别取。
=人=1,有
xIn尤+yIny>
（x+y）In.
取y=l—x,得如下问题的第1小题.
2005年全国高考数学卷1第22题：
（1）设函数/（X）=xlog2X+（1-x）log2（1-x）（0<
1）,求JO）的最小值；
（2）设正数P],P2,满足Pl+P2+P3+•..+Py=1，
求证:
p}log2P]+p2log2P2+P3log2p3+•••+Pylog2Pr>
-n.
需要说明的是：
该问题的背景也可以用凸凹函数的性质，即高等数学中的著名的琴生不等式.
•高考命题探索链接（2004年全国高考数学3理试题与2002年
全国高考数学试题的比较）
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