九年级数学一元二次方程带答案良心出品必属精品.docx

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九年级数学一元二次方程带答案良心出品必属精品

第二章一元二次方程

第1讲一元二次方程概念及解法

【知识要点】

一.知识结构网络

二、一元二次方程的四种解法

直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法

1.直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为或的形式的方程求解。

当时，可两边开平方求得方程的解；当时，方程无实数根。

2.因式分解法解方程的步骤：

（1）将方程一边化为0；

（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。

3.配方法解一元二次方程的步骤为：

（1）化二次项系数为1

（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

4.公式法解一元二次方程的基本步骤：

（1）将方程化为一般形式，确定a、b、c的值；

（2）计算的值并判别其符号；（3）若，则利用公式求方程的解，若，则方程无实数解。

【典型例题】

（1）（用因式分解法）

解：

（2）（用公式法）

解：

（3）（用配方法）

解：

【经典练习】

一、直接开方法

（1）

（2）

二、配方法注：

（1）

（2）

二、公式法

1.用求根公式法解下列方程

；

解：

；

解：

；

解：

；

解：

；

解：

；

解：

；

解：

（7）方程无实数根；

；

解：

；

解：

（9）先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式，

解：

。

三、因式分解

1.用因式分解法解下列各方程：

（1）x2－5x－24＝0；

解：

；

（2）12x2＋x－6＝0；

解：

；

（3）x2－4x－165＝0

解：

；

（4）2x2－23x＋56＝0；

解：

；

（5）；

解：

（6）；

解：

（7）

解：

；

（8）；

解：

（x－2）2－5（x－2）＋6＝0，（x－2－2）（x－2－3）＝0，x1＝4，x2＝5；

（9）t（t＋3）＝28；

解：

（9）t2＋3t－28＝0，（t＋7）（t－4）＝0，t1＝－7，t2＝4；

（10）（x＋1）（x＋3）＝15。

解：

x2＋4x＋3＝15，（x＋6）（x－2）＝0，x1＝－6，x2＝2

2.用因式分解法解下列方程：

（1）（y－1）2＋2y（y－1）＝0；

解：

；

（2）（3x＋2）2＝4（x－3）2；

解：

（3）9（2x＋3）2－4（2x－5）2＝0；

解：

[3（2x＋3）＋2（2x－5）][3（2x＋3）－2（2x－5）]＝0，

（4）（2y＋1）2＋3（2y＋1）＋2＝0。

解：

[（2y＋1）＋1][（2y＋1）＋2]＝0，

三、综合练习

1.下列方程中，有两个相等实数根的方程是（B）

A.7x2－x－1＝0B.9x2＝4（3x－1）

C.D.

2.若a，b，c互不相等，则方程（a2＋b＋c2）x2＋2（a＋b＋c）x＋3＝0（C）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.根的情况不确定

解析:

因为△＝4（a＋b＋c）2－12（a2＋b2＋c2）

＝4（－2a2－2b2－2c2＋2ab＋2ac＋2bc）

＝－4[（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2]＜0

3.若方程的两个实根的倒数和是S，求：

S的取值范围。

分析：

本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，，求出m的取值范围，再用S的代数式表示m，借助m的取值范围就可求出S的取值范围。

解：

设方程的两个实根为

∵方程有两个实根

。

4.已知关于x的方程x2＋（2m＋1）x＋（m－2）2＝0。

m取什么值时，

（1）方程有两个不相等的实数根？

（2）方程有两个相等的实数根？

（3）方程没有实数根？

解析:

△＝（2m＋1）2－4（m－2）2＝5（4m－3）。

（1）当，即时，原方程有两个不相等的实数根；

（2）当时，原方程有两个相等的实数根；

（3）当时，原方程没有实数根。

5.已知关于x的方程①

（1）求证：

对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。

（2）如果a是关于y的方程②的根，其中为方程①的两个实数根。

求：

代数式的值。

分析：

第

（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第

（2）题首先利用根与系数关系可将方程②化成，再利用根的定义得到，将代数式化简后，把整体代入即可求出代数式的值。

（1）证明：

∵

∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。

（2）解：

∵是方程①的两个实数根

∴方程②

∵a是方程②的根，∴

注：

第

（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。

6.已知关于x的一元二次方程的两个实数根之差的平方为m

（1）试分别判断当时，是否成立，并说明理由；

（2）若对于任意一个非零的实数a，总成立，求实数c及m的值。

解：

（1）原方程化为

∴

即成立

当时，原方程化为

由，可设方程的两根分别为

则

∴

即不成立

（2）设原方程两个实数根是

则

∵对于任意一个非零的实数a，都有

第2讲根的判别式

【知识要点】

1.根的判别式：

关于x的一元二次方程

当时，方程有两个不相等的实根

当时，方程有两个相等的实根

当时，方程无实根

【典型例题】

1.a，b，c是三角形的三条边，

求证：

关于x的方程b2x2＋（b2＋c2－a2）x＋c2＝0没有实数根

分析：

此题需证出△＜0。

已知条件中a，b，c是三角形的三边，所以有a＞0，b＞0，c＞0。

还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”。

证明：

因为△＝（b2＋c2－a2）2－4b2c2

＝[（b2＋c2－a2）＋2bc][（b2＋c2－a2）－2bc]

＝[（b＋c）2－a2][（b－c）2－a2]

＝（b＋c＋a）（b＋c－a）（b－c＋a）（b－c－a）。

（要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负）

因为b＋c＞a，即b＋c－a＞0，

同理b－c＋a＞0，又c＋a＞b，即b－c－a＜0。

又a＋b＋c＞0，所以△＝（b＋c＋a）（b＋c－a）（b－c＋a）（b－c－a）＜0。

所以，原方程没有实数根。

【经典习题】

为三边长的三角形是（）

A.以a为斜边的直角三角形

B.以c为斜边的直角三角形

C.以b为底边的等腰三角形

D.以c为底边的等腰三角形

2.已知关于x的一元二次方程

（1）k取什么值时，方程有两个实数根。

（2）如果方程的两个实数根满足，求k的值。

解：

（1）

解得时，方程有两个实数根

（2）∵，分两种情况

①当，∴方程有两个相等的实数根。

②当

由根与系数关系，得

∴

3.已知方程的两根的平方和为11，求k的值。

解：

设方程的两根为

则有

∴

当。

∴

注：

用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。

4．含有绝对值的一元二次方程

（1）.方程x|x|－8|x|－4＝0的实数根的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

解：

显然x＝0不是方程的根。

当x＜0时，x｜x｜－8｜x｜－4＜0。

∴x＜0的任何实数不可能是方程的根。

当x＞0时，方程为x2－8x－4＝0。

此方程两根之积为－4＜0，可见两根为一正一负。

又因x＞0，

故负根舍去。

所以方程只有一个实数根。

应选A。

（2）.求方程x2－|2x－1|－4＝0的实数根。

解：

令得

显然不是方程的解

当时，方程是

即

x＝－1舍去，∴x＝3

当时，方程是

即解得

舍去，∴

故方程的实数根是。

5．a，b，c，d为有理数，先规定一种新的运算：

，那么=18时，x=。

6.已知是方程的两根，求代数式的值。

7.（广东广州，19，10分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。

【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值．

【答案】解：

∵有两个相等的实数根，

∴⊿＝，即．全品中考网

∵

∵，∴

8.（四川乐山中考）若关于的一元二次方程有实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）设，求t的最小值．

（3）解：

（1）∵一元二次方程有实数根，

（4）∴，………………………………………………………………………2分

（5）即，

（6）解得．……………………………………………………………………4分

（7）（3）由根与系数的关系得：

，…………………6分

（8）∴，…………………………………………7分

（9）∵，∴，

（10）∴，

（11）即t的最小值为－4．………………………………………………………10分

9.（四川绵阳中考）已知关于x的一元二次方程x2=2（1－m）x－m2的两实数根为x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

【答案】

（1）将原方程整理为x2+2（m－1）x+m2=0．

∵原方程有两个实数根，

∴△=[2（m－1）2－4m2=－8m+4≥0，得m≤．

（2）∵x1，x2为x2+2（m－1）x+m2=0的两根，

∴y=x1+x2=－2m+2，且m≤．

因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得极小值1．

10.（湖北孝感中考）关于x的一元二次方程、

（1）求p的取值范围；（4分）

（2）若的值.（6分）

【答案】解：

（1）由题意得：

…………2分

解得：

…………4分

（2）由得，

…………6分

…………8分

…………9分

…………10分

说明：

1．可利用

代入原求值式中求解；

11.（山东淄博中考）已知关于x的方程．

（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；

（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；

（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数

的图象上，求满足条件的m的最小值．

【答案】解:

（1）由题意得△＝≥0　

化简得≥0，解得k≤5．

（2）将1代入方程，整理得，解这个方程得，.

（3）设方程的两个根为，，

根据题意得．又由一元二次方程根与系数的关系得，

那么，所以，当k＝2时m取得最小值－5

12.（广东茂名中考）已知关于的一元二次方程（为常数）．

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值．

【答案】解：

（1），·················2分

因此方程有两个不相等的实数根．·································3分

（2），·····································4分

又，

解方程组：

解得：

·····················5