九年级数学一元二次方程带答案良心出品必属精品.docx

1、九年级数学一元二次方程带答案良心出品必属精品第二章 一元二次方程 第1讲 一元二次方程概念及解法【知识要点】一. 知识结构网络二、一元二次方程的四种解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为或的形式的方程求解。当时，可两边开平方求得方程的解；当时，方程无实数根。2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移

2、项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算的值并判别其符号；（3）若，则利用公式求方程的解，若，则方程无实数解。【典型例题】（1）（用因式分解法） 解：（2）（用公式法） 解： （3）（用配方法）解： 【经典练习】一、直接开方法（1） （2）二、配方法注：（1） （2）二、公式法1. 用求根公式法解下列方程； 解：； 解：； 解： ； 解：； 解：；解：； 解：(7)方程无实数根

3、； 解：； 解：(9)先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式， 解：。三、因式分解 1. 用因式分解法解下列各方程：（1）x25x240； 解：；（2）12x2x60；解：；（3）x24x1650 解：；（4）2x223x560；解：；（5）； 解： （6）；解：（7） 解：； （8）； 解： (x2)25(x2)60，(x22)(x23)0，x14，x25；（9）t(t3)28； 解：（9）t23t280，(t7)(t4)0，t17，t24；（10）(x1)(x3)15。解：x24x315，(x6)(x2)0，x16，x222. 用因式分解法解下列方程：（1）(y1)22y(

4、y1)0； 解：； （2）(3x2)24(x3)2； 解： （3）9(2x3)24(2x5)20； 解：3(2x3)2(2x5)3(2x3)2(2x5)0， （4）(2y1)23(2y1)20。 解：(2y1)1(2y1)20， 三、综合练习 1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ） A. 7x2x10 B. 9x24(3x1) C. D. 2. 若a，b，c互不相等，则方程(a2bc2)x22(abc)x30（ C ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 根的情况不确定 解析: 因为4(abc)212(a2b2c2) 4(2a22b22c

5、22ab2ac2bc) 4(ab)2(bc)2(ca)203. 若方程的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。 分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，求出m的取值范围，再用S的代数式表示m，借助m的取值范围就可求出S的取值范围。 解：设方程的两个实根为 方程有两个实根 。4. 已知关于x的方程x2(2m1)x(m2)20。m取什么值时， （1）方程有两个不相等的实数根？ （2）方程有两个相等的实数根？ （3）方程没有实数根？ 解析:(2m1)24(m2)25(4m3)。 （1）当，即时，原方程有两个不相等的实数根； （2）当时，原方程有两个相等的实数根； （3）当时，原

6、方程没有实数根。5. 已知关于x的方程 （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根。 （2）如果a是关于y的方程 的根，其中为方程的两个实数根。 求：代数式的值。 分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程化成，再利用根的定义得到，将代数式化简后，把整体代入即可求出代数式的值。 （1）证明： 对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根。 （2）解：是方程的两个实数根 方程 a是方程的根， 注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。6. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根之差的平方为m （1）试分别判断当时，是否成立，并说明理由

7、； （2）若对于任意一个非零的实数a，总成立，求实数c及m的值。 解：（1）原方程化为 即成立 当时，原方程化为 由，可设方程的两根分别为 则 即不成立 （2）设原方程两个实数根是 则 对于任意一个非零的实数a，都有 第2讲 根的判别式【知识要点】1.根的判别式： 关于x的一元二次方程 当时，方程有两个不相等的实根 当时，方程有两个相等的实根 当时，方程无实根【典型例题】1. a，b，c是三角形的三条边， 求证：关于x的方程b2x2(b2c2a2)xc20没有实数根分析：此题需证出0。已知条件中a，b，c是三角形的三边，所以有a0，b0，c0。还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，

8、“任意两边之差小于第三边”。 证明：因为(b2c2a2)24b2c2 (b2c2a2)2bc(b2c2a2)2bc (bc)2a2(bc)2a2 (bca)(bca)(bca)(bca)。 (要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负) 因为bca，即bca0， 同理bca0，又cab，即bca0。 又abc0，所以(bca)(bca)(bca)(bca)0。 所以，原方程没有实数根。【经典习题】为三边长的三角形是（ ） A. 以a为斜边的直角三角形 B. 以c为斜边的直角三角形 C. 以b为底边的等腰三角形 D. 以c为底边的等腰三角形 2. 已知关于x的一元二次方程（1）k取什么值时

9、，方程有两个实数根。（2）如果方程的两个实数根满足，求k的值。 解：（1） 解得时，方程有两个实数根 （2），分两种情况 当，方程有两个相等的实数根。 当 由根与系数关系，得 3. 已知方程的两根的平方和为11，求k的值。 解：设方程的两根为 则有 当。 注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。4含有绝对值的一元二次方程 （1）. 方程x|x|8|x|40的实数根的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解： 显然x0不是方程的根。 当x0时，xx8x40。 x0的任何实数不可能是方程的根。 当x0时，方程为x28x40。 此方程两根之积为40，可见两根为一正一负。又因

10、x0， 故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选A。 （2）. 求方程x2|2x1|40的实数根。 解：令得 显然不是方程的解 当时，方程是 即 x1舍去，x3 当时，方程是 即解得 舍去， 故方程的实数根是。5a，b，c，d为有理数，先规定一种新的运算：，那么=18时，x= 。6. 已知是方程的两根，求代数式的值。7.（广东广州，19，10分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值【答案】解：有两个相等的实数根，即 全品中考网，8.（四川乐山中考）若关于

11、的一元二次方程有实数根（1） 求实数k的取值范围；（2） 设，求t的最小值（3） 解：（1）一元二次方程有实数根，（4） ， 2分（5） 即，（6） 解得4分（7） （3）由根与系数的关系得：， 6分（8） ， 7分（9） ，（10） ，（11） 即t的最小值为4 10分9.（ 四川绵阳中考）已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1m）xm2 的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值【答案】（1）将原方程整理为 x2 + 2（m1）x + m2 = 0 原方程有两个实数根， = 2（m1）24m2 =8m + 40

12、，得 m（2） x1，x2为x2 + 2（m1）x + m2 = 0的两根， y = x1 + x2 =2m + 2，且m因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得极小值110.（ 湖北孝感中考）关于x的一元二次方程、 （1）求p的取值范围；（4分） （2）若的值.（6分）【答案】解：（1）由题意得： 2分解得： 4分 （2）由得， 6分 8分 9分 10分说明：1可利用代入原求值式中求解；11.（山东淄博中考）已知关于x的方程（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值【答案】解: （1）由题意得0化简得 0，解得k5（2）将1代入方程，整理得，解这个方程得 ，.（3）设方程的两个根为，根据题意得又由一元二次方程根与系数的关系得，那么，所以，当k2时m取得最小值512.（广东茂名中考）已知关于的一元二次方程（为常数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值 【答案】解：（1），2分因此方程有两个不相等的实数根3分（2），4分又，解方程组： 解得：5