稳健设计方法Word文档格式.docx

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，

（4）确定试验方案。

（5）试验结果分析

实例：

某化工厂生产一种试剂，产率较低，希望通过试验探索好的生产工艺以提高产率。

考察的因子与水平如下表：

表8-10考查试剂生产效率因素一览表

因子

A

B

C

水平

反应温度

反应时间

搅拌速度

/摄氏度

/小时

一水平

30

1

快

二水平

40

lo5

中

三水平

50

2

慢

这是一个三水平的试验，我们可以在^（罗）和岛仔）中选一张合适的表。

选择的原则是在试验因子能在正交表的列中安排得下的前提下，试验次数越少越好。

本例只有三个因子,故选用厶（扌）表，作9次试验就行了选择了正交表后，将因子安排在矗厅）的表头上,我们将三个因子依次安排在

1,2,3列，并且把表中各列的水平号用相应的实际因子水平写出来,就得到

-张试验设计表。

列

3

号

反应温

搅拌

试验

度（A）/摄氏

（B）/小时

速度（C）

度

11

32

4

5

2lo

6

7

8

表8-12计算表

列号

试验号

1反

应温

⑷/

摄氏

2反反应时

间（B）/小

时

3搅拌

速度

（C）

试验结果产率％

（30）

1

（1）

（快）

82

2（lo

5）

仲）

81

3⑵

76

（慢）

（40）

80

85

（50）

64

72

9

I

（一水平

试验结果总

和）

39

226

23

II

（二水平

47

238

22

III

（三水平

00

222

1/3

9o7

75o3

78

o7

II/3

2o3

79o3

75

o0

III/3

6o7

74o0

极差R

5o6

5o3

3o

按以上所设计的方案进行了9次试验后,将各次试验结果依次填入试验计划表的最右边，并且在表上进行了一系列的计算，形成了上表形式,常称为计算表。

现在根据这9次试验结果,来分析因素各水平对产率的影响。

先看A因子（反应温度）。

它的水平为30摄氏度的是第1,2,3号试验,其总产率IA二82+81+76二239;

它的水平是40摄氏度的是第4,5,6号试验,其总产率IIA二80+85+82二247;

它的水平是50摄氏度的是第7,8,9号试验,其总产率IIIA二64+72+64二200。

在A因子水平相同的三组试验中，不同水平的B因子（反应时间）和不同水平的C因子（搅拌速度）都各出现一次。

从整体上看，可以认为B,C两因子对产率的影响虽然在变动，但这种变动是均衡的。

因此，比较这三个总产率，就可以看出A因子各水平的差别对产率的影响。

为便于说明,把上述三个总产率都取平均值，分别得到IA/3二，IlA/3=,IIIA/3=,这是试剂的平均

产率。

显然A因子取40摄氏度最好50摄氏度最差。

二者之差即极差

J=823~66.7二15.6,它表示反应温度40摄氏度与50摄氏度相比，试剂的产率平均要提高％。

用同样的方法可以比较B因子和C因子的各水平的好与差。

比较各因子极差的大小，就可以看出哪个因子对产率的影响大，哪个因子影响小。

反应温度的高低对试剂的平均产率的影响可以差到%，而搅拌速度的快慢对试剂的平均产率的影响只差到％，显然反应温度是否合适要比搅拌速度是否合适重要的多。

根据这种比较，就可以回答本节开始提出的三个问题了。

（1）反应温度对产率影响最大，其次是反应时间，再其次是搅拌速度。

（2）反应温度是40摄氏度好，反应时间是小时好，搅拌速度是快速好。

（3）好的生产工艺是：

&

禺G?

r卩

反应温度40摄氏度；

反应时间小时；

搅拌速度快速。

色°

】这个条件在试验计划表中并没有出现，它是27次全面试验中的一种。

由此可见，用正交表安排试验确实具有很强的代表性。

虽然只作了9次试验，但是通过对这9次试验结果的计算与分析，仍然不会漏掉最佳的水平组合。

以上利用比较各因子不同水平下试验结果平均值的方法就是直观分析法，也叫做综合比较法。

显然，只有在均衡搭配的试验情况下，才能进行综合分析，这也是正交表的一个特性,常称为“综合可比性”。

四、举例说明稳健设计在机械工程中的应用（包括求解的过程）

在汽车鼓式制动器设计中考虑不确定因素的影响，将可靠性优化理论、可靠性灵敏度分析与稳健设计方法相结合，以制动效能因数为目标函数建立制动器可靠性稳健优化数学模型。

把制动力矩、摩擦衬片压力的可靠性灵敏度溶入可靠性优化设计模型之中，将可靠性稳健优化设计转化为满足可靠性要求的多目标优化问题。

实例计算表明，稳健优化后的制动器不仅有较高的制动效能和可靠性，还具有较低的可靠性灵敏度，取得了满意的结果。

1鼓式制动器的状态方程

为避免制动过程中车轮打滑，制动力矩不得超过车轮与地面的附着力矩,一般希望车轮与地面的附着系数小于规定值。

所以根据文献［2］可以推导出制动力矩的状态方程为

g：

（x,y）=019~Mn/mRl

（1）

Mx=（MfhA）/（R（cosB+fsinB）-fA）

M：

=（MfhA）/（R（cosB-fsinB）+fA）

P=tan~（（cos2alcos2aJ/（23-sin2a：

+sin2ui））

AMR（cosai一cosa2）/（（cos2ai~cos2a2）"

+（2a3一sin2a

:

+sin2a1）2）1/2

式中,M为制动力矩,M-M1+M2；

r为制动鼓半径,R为蹄片支承销中心与制动

鼓中心间的距离,h为制动蹄轴端至末端的距离，a-a2分别是摩擦衬片的

起始与终止点和鼓心连线的夹角，a3=a2-a1为摩擦衬片的包角,b为制

动鼓宽度,f为制动鼓与摩擦衬片间的摩擦系数，F为制动蹄促动力,m为汽

车总质量，n为车轮数或制动器数,R1为午轮半径。

摩擦衬片上承受的最大压力应小于规定值，根据文献［2］可以得到摩擦衬

片的状态方程为

3-4rfhsin（as/2）]}

2可靠性稳健优化设计

由可靠性优化设计的基本理论可知，可靠性设计的目标是计算可靠度

R=Qg（x）>

0fx（X）dX（4）

式中fx（X）为基本随机参数向量X=（x,y）=（xl,x2,,,xn;

yl,y2,,,ym）T

的联合概率密度，Xi是设计变量（可控变量），yi是设计参数（不可控变量），X和y分别是设计变量xi和设计参数yi构成的向

量;

g（X）为状态函数,可表示零部件的两种状态。

g（x,y）F0为失效状态

g（x,y）>

0为安全状态（5）

可靠性指标定义为[3]

B=LgRg=E[g（X）]Var[g（X）]（6）

式中Lg=E[g（X）]=g（X）和Rg=Var[g（X）]=5g（X）5XT2Var（X）分别是状态函数g（X）的均

值与标准差,Var（X）为基本随机参数的方差向量。

这样一方面可以利用可靠性指标直接衡量构件的可靠性，另一方面在基本

随机参数向量X服从正态

分布时，可以用失效点处状态表面的切平面近似地模拟极限状态表面，可

以获得可靠度的一阶估计量

R二5（B）（7）

式中5（#）为标准正态分布函数。

可靠度对基本随机参数向量X均值和方差的灵敏度为[4]dR

dXT=5R5B5B5Lg5Lg5X2（8）

dR

dVar（X）=5R5B5B5Rg5Rg5XT（9）

将以上各式和已知条件代入式（6）和式（7）,在基本随机参数服从正态分布

的情况下,就可以求出可

靠性指标B和可靠度R。

可靠性稳健优化设计的基本思想是在可靠性优化设计模型的基础上，把可

靠性灵敏度加到目标函数

中，考虑约束的可行稳健性，将可靠性稳健优化设计归结为满足可靠性要

求的多目标优化问题。

其数学模

型可描述为

minf1（?

x,?

y）

minf2（?

y）=E

n

i=l

5R

5xi

s.t.g（?

y）-5-l（R0）Rg\0

qj（?

y）+kE5qj5xi2R2xi+E5qj5yi2R2yi1/2[0（j=l,2,,,m）

xli[xi3Rxi[xui（i=l,2,,,n）

（10）

式中fl（?

y）为原优化问题的目标函数,f2（?

y）为可靠度对设计变量

x=（xl,x2,,,xn）T均值的灵敏

度的平方和再开方,Rgl（x,y）=O19-Mn/niRl0为设计所要求的可靠

度,QJ（?

y）为不等式约束函数,?

x>

?

y分别是设计变量和设计参

数的均值,R2xi、R2yi分别是设计变量xi和设计参数yi的方差。

3鼓式制动器的可靠性稳健优化设计

311目标函数

评价制动器性能好坏的最主要指标之一是制动器效能因数,它表征了制动

器将一定大小的制动蹄促

动力转化为制动器制动力矩并进而转化为地面制动力的能力。

在相同的促

动力下，效能因数越大,表明制

动力矩越大,制动效果越好，工作效率越高。

效能因素表示为

K=M1+M2FR（11）

因此，目标函数为

fl（?

y）=l/K（12）

取设计变量x=（r,R,h,Al,A2）T=（xl,x2,x3,x4,x5）T,设计参数y二（m,

Rl,f）T=（yl,y2,y3）T。

另外，要求制动器的可靠度对设计变量均值的灵敏度最小，则

f2（?

y）=E

312约束条件

（1）制动力矩的约束条件

gl（?

x,?

y）-5-1（RO）Rgl\0（14）

（2）摩擦衬片压力的约束条件

g2（?

y）-5-1（RO）Rg2\0（15）

g3（?

y）-5-1（RO）Rg3\0（16）

（3）自锁条件

ql（x,y）=f-RcosBA-RsinB[0（17）

（4）压力分布均匀约束

q2（x,y）=f-RA3hsin（A3/2）[0（19）

（5）摩擦衬片的磨损特性约束

q3（x,y）=[0（20）

式中v为汽车制动初速度，t制动时间。

（6）设计变量边界约束

综合以上目标函数和约束条件，根据式（10）,可得制动器的可靠性稳健优化模型。

4实例计算

某型汽车质量m为（Lm,Rm）二（3500,175）kg,轮胎半径为

（LR1,RR1）=（01343,0100172）m,制动气

压01539^01588MPa,制动初速度v为（Lv,Rv）=（80,4）km/h,制动鼓与摩擦衬片间的摩擦系数f为（Lf,

Rf）=（014,0102），设计可靠度要求R0为01999;

设计变量的边界为:

0U6[r[0119m,0U2[R[0118

m,0126[h[0138m,O115[A1[0180rad,1157[A2[2109rad,可认为它们都服从正态分布、相互独立

的。

根据加工公差和正态分如的3R法则，各设计变量的均方差可取相应均

值的015%[3]o

根据建立的优化模型，按照相容决策支持问题法[5],利用基于Matlab的序

惯二次规划法（SQP）求解，

求得可靠性稳健优化设计的最优解x*o可靠性稳健优化计算结果与常规优

化及初始设计值见表1。

表1优化结果

xl/mx2/mx3/mx4/radx5/radfl（X）f2（X）/10-3

初始设计值011801128012701262210921151416848

常规优化011880112201302011752100731610611684

可靠性稳健优化011870112201314011822105931583019543

由表1可知，常规优化所得的制动器效能因数值要小一些,但其可靠度灵

敏度明显偏大，而且有儿个

约束处于边界上，一旦设计变量发生波动，就可能违反约束。

而采用可靠性

稳健优化方法虽然得到的制动

器效能因数要稍大一些，但设计质量具有较好的不灵敏性，约束具有可行

稳健性，确保了制动器的可靠性

和稳健性。

比较可知，可靠性稳健优化后的制动器结构参数比常规优化后的更加合理。