人教版高一数学必修1教案§1.3.1函数的单调性.docx

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一、教学目标

课题：

第一章 第三节第一课时

§函数的单调性



备课札记

、知识与技能：

（）建立增（减）函数的概念

通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识.再通过具体函

数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义.掌握用定义证明函数单调性的步骤。

（）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

、过程与方法:

（）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

（）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．

、情态与价值:

使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感.

二、教学重难点

、教学重点：

函数的单调性及其几何意义．

、教学难点：

利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．三、教学准备

、学法：

从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。

通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。

、教学用具：

投影仪、计算机.

四、教学过程：

（一）创设情景，揭示课题

1.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

随的增大，的值有什么变化？

能否看出函数的最大、最小值？

函数图象是否具有某种对称性？

2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：

（）（）

从左至右图象上升还是下降?

在区间 上，随着的增大，（）的值随着．



备课札记

备课札记

（）（）

在区间 上，

（）的值随着的增大而．在区间 上，（）的值随着的增大而．

、从上面的观察分析，能得出什么结论？

学生回答后教师归纳：

从上面的观察分析可以看出：

不同的函数，其图象的变

化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

（二）研探新知

、的图象在轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？

学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：

函数在（，∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：

对于（，∞）上的任意的，，当＜时，都有＜.即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。

．增函数

一般地，设函数（）的定义域为，

如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，，当<时，都有（）<（），那么就说（）在区间上是增函数．

、从函数图象上可以看到，的图象在轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？

注意：

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间内的任意两个自变量，；当<时，总有（）<（）．

．函数的单调性定义

如果函数（）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数（）在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做（）的单调区间：

（三）质疑答辩，发展思维。

根据函数图象说明函数的单调性．

例如图是定义在区间[－，]上的函数（），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

解：

略

例物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减少时，压强将增大。

试用函数的单调性证明之。

分析：

按题意，只要证明函数在区间（，∞）上是减函数即可。

证明：

略

．判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数（）在给定的区间上的单调性的一般步骤：

①任取，∈，且<；

②作差（）－（）；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差（）－（）的正负）；

⑤下结论（即指出函数（）在给定的区间上的单调性）．巩固练习：

课本练习第、、题；

证明函数 在（，∞）上为增函数．

例． 解：

（略）

思考：

画出反比例函数的图象．

这个函数的定义域是什么？

它在定义域上的单调性怎样？

证明你的结论．

（四）归纳小结

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取值→作差→变形→定号→下结论

（五）设置问题，留下悬念

、教师提出下列问题让学生思考：

①通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？

②增（减）函数的图象有什么特点？

如何根据图象指出单调区间？

③怎样用定义证明函数的单调性？

师生共同就上述问题进行讨论、交流，发表自己的意见。

§函数的单调性

、由引例得出增（减）函数的定义

、例

、例

证明函数增减性的步骤

、课本练习第、、题；

、例

、思考

的增减性，

、书面作业：

课本习题、题（组）第题。

五、板书设计

备课札记

六、课后反思