几何最值问题参考答案Word格式文档下载.docx

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MK=40+10=50,

作BL丄x轴交KN于L点，过A点作AS丄BP交BP于S点.\

•••ln=as=M5/—（純―io）'

mo.\

•••KN=60+40=100.

二MN=^^i^=50丽.\

•/MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50.；

•四边形PABQ的周长=50!

.+50.

故选D.

A

-WE

B

Bs>

h.

Q

=丁

o

点本题考查轴对称-最短路线问题以及坐标和图形的性质，本题关键是找到何时四边形

的周长最短，以及构造直角三角形，求出周长.

3.（2014秋？

贵港期末）如图，AB丄BC，AD丄DC，/BAD=110°

在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，/MAN的度数为（）

AH

A.30°

B.40°

C.50°

D.60°

考轴对称-最短路线问题.

分根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作

出A关于BC和CD的对称点A'

A〃，即可得出/AAM+/A〃=/HAA'

=70°

进而得出/MAB+/NAD=70°

即可得出答案.\

作A关于BC和CD的对称点A'

A〃，连接AA〃，交BC于M,交CD于N,答：

则A,〃即为△AMN的周长最小值，作DA延长线AH,.

•/ZDAB=110\

:

.ZHAA=70°

•••ZAA'

M+ZA〃=ZHAA=70°

\

•/ZMA'

=ZMAB,ZNAD=ZA〃，\

•ZMAB+ZNAD=70°

•ZMAN=110。

-70°

=40°

故选B.

点本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的

外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M,N的位置是解题关键.

4.（2014?

无锡模拟）如图，ZMON=90°

矩形ABCD的顶点A,B分别在OM、ON上，

当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2,

BC=运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）

M

A.-；

-B.严C.2D.-■:

考勾股定理；

三角形三边关系；

直角三角形斜边上的中线.

分取AB的中点，连接OE、DE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE,

利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出O、E、

D三点共线时点D到点O的距离最大，过点A作AF丄OD于F,利用ZADE的余弦列式求出DF，从而得到点F是OD的中点，判断出AF垂直平分OD，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=AD.

如图，取AB的中点，连接OE、DE,

•/ZMON=90°

/

•OE=AE=*AB=*>

2=1,

•••三边形ABCD是矩形，

•AD=BC=|f:

;

\/

在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE=•••|；

-j-J=2,

由三角形的三边关系得，0、E、D三点共线时点D到点0的距离最大,

此时，OD=OE+DE=1+2=3,

过点A作AF丄0D于F,则cos/ADE=—丄,

DEAD

•/0D=3,

•••点F是0D的中点,

•••AF垂直平分0D,

•0A=AD=：

.故选B.

点本题考查了勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，直角三角形斜边上的中线评：

等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助

线并判断出0D最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观.

5.（2015?

鞍山一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1,长为：

的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan/MBC的值是（）

D

A.二

\B.1

C..二

D.1

3

C

考轴对称-最短路线问题；

正方形的性质.

分根据题意得出作EF//AC且EF=二，连结DF交AC于M,在AC上截取MN=.■:

此时四边形BMNE的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案.

作EF//AC且EF=】：

，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=.；

，延长DF答：

交BC于P,作FQ丄BC于Q,

则四边形BMNE的周长最小，

由/FEQ=/ACB=45°

可求得FQ=EQ=1,

•//DPC=/FPQ,/DCP=/FQP,

•••△PFQs^PDC,

丄一

FQ

PQ+QE4EC

'

|，

1-

11

PQ+2

解得：

PQ二二

3/

•PC』，

S

由对称性可求得tan/MBC=tan/PDC=_'

二.

Z40

故选：

A.

点此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M,N的位置是解

题关键.

6.（2015?

江干区一模）如图，△ABC中，CA=CB,AB=6,CD=4,E是高线CD的中点,

以CE为半径OC.G是OC上一动点，P是AG中点，贝UDP的最大值为（）

D.4'

2\2

考圆的综合题.

分根据等腰三角形的性质可得点D是AB的中点，然后根据三角形中位线定理可得

1

DP==BG，然后利用两点之间线段最短就可解决问题.

连接BG,如图.

答:

•/CA=CB,CD丄AB,AB=6,

•••AD=BD=1AB=3.

2

又•/CD=4,

•BC=5.

•••E是高线CD的中点，

•CE=」CD=2,

\2/

•CG=CE=2.

根据两点之间线段最短可得：

BGCG+CB=2+5=7.

当B、C、G三点共线时，BG取最大值为7.

•••P是AG中点，D是AB的中点，

•DP最大值为丄

故选A.

点本题主要考查了圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定

理、两点之间线段最短等知识，利用三角形中位线定理将DP转化为BG是解决本题

的关键.

二.填空题（共3小题）

7.（2014?

江阴市校级模拟）如图，线段AB的长为4,C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是2.

考

分

析:

等腰直角三角形.

设AC=x,BC=4-x,根据等腰直角三角形性质，得出

根据勾股定理然后用配方法即可求解.

设AC=x,BC=4-x,

占

八、、

评:

•••△ABC,△BCD均为等腰直角三角形,

•••CD=L,CD=:

（4-x）

22

•/ZACD=45°

/BCD=45°

•ZDCE=90°

•DE2=CD2+CE2=^x2+丄（4-x）2=x2-4x+8=（x-2）2+4,

2^2\

•••当x取2时，DE取最小值，最小值为：

4.

故答案为：

2.

本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值.

&

（2012?

河南校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP=4时，四边形APQE的周长最小.

V

£

p

分要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即析：

可.为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F'

、点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线

交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交

DC的延长线于H点，那么先证明ZGEH=45°

再由CQ=EC即可求出BP的长度.

如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G,连接EG与答：

BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作

BC的平行线交DC的延长线于H点.

•/GH=DF=6,EH=2+4=6,ZH=90°

.ZGEH=45°

.\/

设BP=x，贝UCQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x,

在厶CQE中，•/ZQCE=90°

ZCEQ=45°

•CQ=EC,

•6-x=2,

解得x=4.

故答案为4.

题目具有一定的代表性，是

一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求.

9.（2013?

武汉）如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是_辰1.\

n

专

压轴题.

根据正方形的性质可得AB=AD=CD,/BAD=/CDA,/ADG=/CDG，然后利用

\边角边”证明△ABE和厶DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得/仁/2,利用

SAS”证明△ADG和厶CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得/2=/3,从而得

到/仁/3，然后求出/AHB=90°

取AB的中点O,连接OH、OD，根据直角三角

形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=2aB=1，利用勾股定理列式求出OD，然

\2/

后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小.

在正方形ABCD中，AB=AD=CD,/BAD=/CDA,/ADG=/CDG,

在厶ABE和厶DCF中，

[

AB=CP\/

ZBAD=ZCDA,\/

AE=DF\/

.△ABE◎△DCF（SAS）,

•••/1=/2,

在厶ADG和厶CDG中，

1

AD=CE

Zadg=Zcdg，

DG=DG//、

.△ADG◎△CDG（SAS）,

•••/2=/3,

•••/1=/3,

•//BAH+/3=/BAD=90°

•/1+/BAH=90°

•/AHB=180°

-90°

=90°

取AB的中点0,连接OH、0D,

贝U0H=A0=_AB=1,

/2

在Rt△A0D中，0D=」j.j丄•：

='

!

,

根据三角形的三边关系，0H+DH>

0D,

•••当0、D、H三点共线时，DH的长度最小,

最小值=0D-0H=!

-1.

（解法二：

可以理解为点H是在RtAAHB,AB直径的半圆上■，上运动当0、H、D

点共线时，DH长度最小）

直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关

键，也是本题的难点.

三.解答题（共1小题）

10.（2015?

黄冈中学自主招生）阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：

如图1，在△ABC（其中/BAC是一个可以变化的角）中，AB=2,

AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值.

小伟是这样思考的：

利用变换和等边三角形将边的位置重新组合•他的方法是以点B为旋

转中心将△ABP逆时针旋转60°

得到△A'

BC，连接AA，当点A落在AC上时，此题可解（如图2）.\/

请你回答：

AP的最大值是6.

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3,等腰Rt△ABC.边AB=4,PABC内部一点，贝UAP+BP+CP的最小值是_

（或不化简为二二「厂—.（结果可以不化简）

考点专题分析解答

旋转的性质；

全等三角形的判定与性质；

等边三角形的性质；

勾股定理；

等腰直角三角形.

几何综合题.

（1）根据旋转的性质知AA=AB=BA=2,AP=AC,所以在△AA'

C中，利用三角形三边关系来求A'

C即AP的长度；

（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°

P'

B.根据旋转的性质推知

PA+PB+PC=P'

A+P'

B+PC.当A'

、P'

、P、C四点共线时，（P'

A'

+P'

B+PC）最短，即线段A'

C最短•然后通过作辅助线构造直角三角形ADC,在该直角三角形内利用勾

股定理来求线段AC的长度.

解：

（1）如图2,•/△ABP逆时针旋转60°

得到△ABC,

•••/ABA=60°

AB=AB,AP=AC

•••△ABA是等边三角形，

•A'

A=AB=BA=2,

在厶AA'

C中，A'

CvAA+AC，即APv6,

则当点AA、C三点共线时，AC=AA'

+AC，即AP=6，即AP的最大值是：

6；

故答案是：

6.

（2）如图3,•/Rt△ABC是等腰三角形，•AB=BC.

以B为中心，将△APB逆时针旋转60。

B.贝UA'

B=AB=BC=4,PA=PA'

PB=PB,

•PA+PB+PC=P'

A'

B+PC.

•••当A'

、P、C四点共线时，（P'

A+P'

B+PC）最短，即线段A'

C最短，

•A'

C=PA+PB+PC,

C长度即为所求.

过A'

作A'

D丄CB延长线于D.

•••/A'

BA=60°

（由旋转可知），

•/仁30°

•/A'

B=4,

D=2,BD=2々花

•CD=4+2二

在Rt△A'

DC中A'

C=；

|「一厶_-；

=2■+2i.；

•AP+BP+CP的最小值是：

2琲弓+2」（或不化简为■'

:

1'

；

）.

故答案是：

2：

+2（或不化简为.—―；

）

本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质•注意：

旋转前、后的图形全等.