高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理Word格式文档下载.docx
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同名相乘用余弦；
SS
[C（
-）
异名相乘用正弦。
SC
[S（
S（
留首项，用加法；
剩尾项，用减法。
CS
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（2）和差化积
2[S2
]
正弦加减得异名；
余弦加减得同名。
2[C2C2
加法得2倍首项；
减法得2倍尾项。
2[S2S2
（3）万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式）
2T2
S1T2
1T
（4）辅助角公式
b
asinx
bcosx
a
bsinx（）
其中：
tan
常见的几种特殊辅助角公式：
①sinxcosx2sin（x）
4
②sinx3cosx2sin（x）
3
③3sinxcosx2sin（x）
6
④sinxcosx2sinx（）
⑤sinx3cosx2sinx（）
⑥3sinxcosx2sinx（）
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二、理解证明
1、两个基本公式的证明
①CCCSS的证明方法：
（）
在单位圆内利用两点间的距离公式证明。
计算繁杂。
在化简中注意使用
“
”
sin
cos
②C（
）CCSS的证明方法：
在单位圆内利用向量的数量积证明。
计算简便。
运用向量数量积与两向量的夹角关系来证明。
或者：
在单位圆内利用三角函数线证明。
构图较难。
利用三角函数线的加减、平移来代换。
2、由两角和向差的演变
方法：
用代替，代入两角和的公式即可推导出两角的差公式。
3、由余弦向正弦的演变
用诱导公式把余弦转化为正弦：
cos[（））]sin（），展开即
可推导出正弦的两角的和公式。
4、由正弦和余弦推导正切
利用：
sin（）tan（）可以推导出正切的两角和与差有的公式。
cos（）
5、由两角和推导二倍角
把换成代入两角和的公式，即可得到二倍角的三角函数公
式。
6、由余弦的二倍角推导半角
由余弦的二倍角公式：
C2
112S
，把2
换
成，即换成
，通过移项，整理，开方即得正弦、余弦的半角公式。
然
后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式。
另外：
关于正切的另一个半角公式：
1cos
可以通过：
2来理解。
特别体会其演变过程中的转化思想：
分子、
分母同时乘一个式子，向二倍角靠拢！
然后再利用二倍角化简。
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7、由两角的和与差推导积化和差
整体思考法：
两角的和与差的和差必然会相互抵清一些项。
相加会抵消尾项，相减会抵消首项。
这与完全平方的和与差的加减类似。
（ab）
（ab）会抵消中间项，剩
下首尾项的2倍；
而（ab）（a
b）会抵消首尾项，剩下中间项的
2倍。
8、由两角的和与差推导和差化积
对于两角和差的和与差来说，化成积并不难。
利用展开相抵原则即可得到。
关键是角度的转换问题。
只有一个角无法展开。
因此引入了一个合新
的角度变换方法：
把单角：
和转换成两角的和与差：
，
22
。
于时可以利用和差展开相抵原则得到和差化积的目的。
22
9、万能公式的理解
利用二倍角公式转换：
2sin
，然后把分母“1”巧妙利
2，这种思路在三角函数的转化中应用非常广泛。
值
用。
sin
得高度关注。
，然后上下再同时除以
sin2
cos2
即得。
同样利用二倍角公式转化余弦：
cos
=
再巧妙利用“1”的转化：
，上下同时除以cos
对于正切的万能公式，直接利用二倍角公式即得。
10、
辅助角公式的理解
辅助角公式实际上是两角和与差的逆运算。
只是通过一些转换化成：
coscos
的形式而已。
对于asinx
bcosx来说：
要通过换元法
来转换，这种换元法叫三角换元法（以前的换元法叫代数换元法）。
三角换元法是一种非常巧妙的换元方法，利用它能把两个毫不相干的变量联系起来，从而得到简化式子的作用。
分析思考过程如下：
若直接换元：
令cosa，则怎样用三角函数式表示b
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呢？
无法完成换元过程，因此：
asinx
bcosx化不成sin
coscossin
的形式。
若提公因式呢！
假如公因式为
ab，
则得：
asinx
bcosxab（1sinx
1cosx），此时令cos
1，也无法用三角
函数表示出1
，因而化不成：
cossin的形式。
所以公因式必然与a、b同时有联系。
考虑到三角函数的产生环境，我们不妨将常数a、b放到直角三角形中来思考：
若a、b分别是直角三角形的两直
角边，得斜边为：
这个常数
ab
显然与a、b都有关系。
假
如公因式是
b，则asinx
bcosx化为：
2sinx
bcosx
b（
cosx）
此时令
（此时在直角三角形中，a为邻边，
b为斜边）
b为对边，
所以：
（此时在直角三角形中，
于是asinxbcosx化为：
b（cos
sinx
根据两角和的正弦公式得：
cosx）=
bsin（x
在直角三角形中：
b（对边：
邻边）
当然：
若令
，则
则于是asinx
b（sin
bcos（x
bcosx=
2cos（x
）=a
cos（
x）
此时：
a（对边：
在此推导过程中，千万注意：
两种演变中的是不同的（实质上这两个角
互余）。
不然就会产生以下错觉：
sin（x）cos（x）。
第5页共23页
如果注意到两个
角互余，那么就会得到：
sin（x
cos[x
（
下面来分析这个结论：
右边＝
cos[（x
cos{[
（x
）]}
cos[
（x
由诱导公式得：
cos[
sin（x
左边
所以结论成立。
三、
实际运用
1、给角求值：
告诉已知角度，求出它的一些倍角、半角等的值。
（1）求sin15
、cos15
的值
方法1：
直接用半角公式可求得：
cos30
sin15
1）
cos15
方法2：
由两角的差求得：
sin（45
30）
sin45cos30
cos45
sin30
同理可得：
cos15
cos（45
sin45
方法3：
用60°
与45°
的差角求得
sin（60
45）
sin60cos45
cos60
第6页共23页
cos（60
cos60cos45sin60sin45
方法4：
利用直角三角形作图计算
如图：
直角三角形ABC中，∠A=30°
，∠C=90°
B
15°
30°
D
A
延长CA到D，使AD=AB。
则易知：
∠D=15°
设BC=1，则AB=2，AC=
3；
CD=2+3
∴
BC
DB
2（4
23）
CD
1（2
3）
843
2（
31）
同理可求得cos15°
8
43
（24
62）
（2
方法5：
利用诱导公式和倍角公式求解：
利用诱导公式我们知道：
cos150°
的值，然后利用倍角公式可求得cos75°
的值，再利用诱导公式就可以求出sin15°
的值。
∵cos150°
3，
第7页共23页
cos150
∴cos75
°
∴sin15
∵sin150°
=1，
=1
∴sin75
∴cos15
（2）求sin15+cos15的值
分别求出sin15
的值：
和cos15的值：
62
二者相加得：
sin15+cos15
2+
2=26
直接利用辅助角公式计算：
+cos15
2sin（15
2sin60
1和倍角公式
巧妙利用公式：
（sin15
+cos15=
cos15）
2sin15cos15
1sin30
运用向量计算：
将sin15
+cos15
写成：
sin15
1+cos15
这样可以看成两个向量的数量积。
在单位圆内，设向量OA（cos15，sin15），向量OB（1，1）。
则向量OA和OB之间的夹角为45°
—15°
=30°
|OA|1,|OB|
2。
由向量数量积公式得：
OAOB|OA||O
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