高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理Word格式文档下载.docx

1、同名相乘用余弦；S SC（- ）异名相乘用正弦。S C S（S（留首项，用加法；剩尾项，用减法。C S第1页共23页（ 2） 和差化积2S 2正弦加减得异名；余弦加减得同名。2C2C2加法得 2 倍首项；减法得 2 倍尾项。2S2 S2（ 3） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式）2T 2S 1 T21T（ 4） 辅助角公式ba s i nxb c o sxab s i nx（ ）其中： tan常见的几种特殊辅助角公式： sinx cos x 2 sin（ x ）4 sinx 3 cos x 2sin（ x ）3 3sinx cos x 2 sin（ x ）6 s i nx

2、c o sx 2 s i nx（ ） s i nx 3 c o sx 2s i nx（ ） 3s i nx c o sx 2s i nx（ ）第2页共23页二、 理解证明1、两个基本公式的证明C C C S S 的证明方法：（ ）在单位圆内利用两点间的距离公式证明。计算繁杂。在化简中注意使用“”sincos C（）CC SS的证明方法：在单位圆内利用向量的数量积证明。计算简便。运用向量数量积与两向量的夹角关系来证明。或者：在单位圆内利用三角函数线证明。 构图较难。利用三角函数线的加减、平移来代换。2、由两角和向差的演变方法：用 代替 ，代入两角和的公式即可推导出两角的差公式。3、由余弦向正弦的

3、演变用诱导公式把余弦转化为正弦： cos （ ） ） sin（ ） ，展开即可推导出正弦的两角的和公式。4、由正弦和余弦推导正切利用： sin（ ） tan（ ） 可以推导出正切的两角和与差有的公式。cos（ ）5、由两角和推导二倍角把 换成 代入两角和的公式，即可得到二倍角的三角函数公式。6、由余弦的二倍角推导半角由余弦的二倍角公式： C2112S，把 2换成，即换成，通过移项，整理，开方即得正弦、余弦的半角公式。然后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式。另外：关于正切的另一个半角公式：1 cos可以通过：2 来理解。特别体会其演变过程中的转化思想：分子、分母同时乘一个式子，向二倍角靠拢！然

4、后再利用二倍角化简。第3页共23页7、由两角的和与差推导积化和差整体思考法：两角的和与差的和差必然会相互抵清一些项。相加会抵消尾项，相减会抵消首项。这与完全平方的和与差的加减类似。（a b）（a b） 会抵消中间项，剩下首尾项的 2 倍；而 （a b） （ab） 会抵消首尾项，剩下中间项的2 倍。8、由两角的和与差推导和差化积对于两角和差的和与差来说，化成积并不难。利用展开相抵原则即可得到。关键是角度的转换问题。只有一个角无法展开。因此引入了一个合新的角度变换方法： 把单角： 和 转换成两角的和与差： ，2 2。于时可以利用和差展开相抵原则得到和差化积的目的。229、万能公式的理解利用二倍角公

5、式转换：2 sin，然后把分母“ 1”巧妙利2 ，这种思路在三角函数的转化中应用非常广泛。值用。 sin得高度关注。，然后上下再同时除以sin 2cos 2即得。同样利用二倍角公式转化余弦： cos=再巧妙利用“ 1”的转化：，上下同时除以 cos对于正切的万能公式，直接利用二倍角公式即得。10、辅助角公式的理解辅助角公式实际上是两角和与差的逆运算。只是通过一些转换化成：coscos的形式而已。对于 a sin xb cos x 来说：要通过换元法来转换，这种换元法叫三角换元法 （以前的换元法叫代数换元法） 。三角换元法是一种非常巧妙的换元方法，利用它能把两个毫不相干的变量联系起来，从而得到简

6、化式子的作用。分析思考过程如下：若直接换元：令 cos a ，则怎样用三角函数式表示 b第4页共23页呢？无法完成换元过程，因此：a sin xb cos x 化不成 sincoscos sin的形式。若提公因式呢！假如公因式为ab ，则得： a sin xb cos x ab（ 1 sin x1 cos x） ，此时令 cos1 ，也无法用三角函数表示出 1，因而化不成：cos sin 的形式。所以公因式必然与 a 、 b 同时有联系。考虑到三角函数的产生环境，我们不妨将常数 a 、b 放到直角三角形中来思考：若 a 、 b 分别是直角三角形的两直角边，得斜边为：这个常数a b显然与 a 、

7、 b 都有关系。假如公因式是b ，则 a sin xb cos x 化为：2 sin xb cos xb （cos x）此时令（此时在直角三角形中， a 为邻边，b 为斜边）b 为对边，所以：（此时在直角三角形中，于是 a sin x bcos x 化为：b （cossin x根据两角和的正弦公式得：cos x） =b sin（ x在直角三角形中：b （对边：邻边）当然：若令，则则于是 a sin xb （sinb cos（ xb cos x =2 cos（ x） = acos（x）此时：a （对边：在此推导过程中，千万注意：两种演变中的 是不同的（实质上这两个 角互余）。不然就会产生以下错觉

8、： sin（ x ） cos（x ） 。第5页共23页如果注意到两个角互余，那么就会得到： sin（ xcos x（下面来分析这个结论：右边cos（ xcos （x）cos（ x由诱导公式得： cossin（ x左边所以结论成立。三、实际运用1、给角求值：告诉已知角度，求出它的一些倍角、半角等的值。（1）求 sin 15、 cos15的值方法 1：直接用半角公式可求得：cos30sin 151）cos15方法 2：由两角的差求得：sin（4530 ）sin45 cos30cos45sin 30同理可得： cos15cos（45sin 45方法 3：用 60与 45的差角求得sin（6045 ）

9、sin60 cos45cos60第6页共23页cos（60cos60 cos 45 sin 60 sin 45方法 4：利用直角三角形作图计算如图：直角三角形 ABC 中， A=30， C=90B1530DA延长 CA 到 D，使 AD=AB 。则易知： D=15设 BC=1，则 AB=2 ，AC=3 ；CD=2+ 3BCDB2（42 3）CD1 （23）8 4 32 （3 1）同理可求得 cos1584 3（2462）（2方法 5：利用诱导公式和倍角公式求解：利用诱导公式我们知道： cos150 的值，然后利用倍角公式可求得 cos75 的值，再利用诱导公式就可以求出 sin15 的值。 c

10、os150 3 ，第7页共23页cos150 cos75 sin15 sin 150 = 1 ，= 1 sin 75 cos15（ 2）求 sin 15 + cos15 的值分别求出 sin 15的值：和 cos15 的值：62二者相加得： sin 15 + cos152 +2=2 6直接利用辅助角公式计算：+ cos152 sin（152 sin601 和倍角公式巧妙利用公式：（sin15+ cos15 =cos15 ）2sin15 cos151 sin30运用向量计算：将 sin 15+cos15写成： sin 151+ cos15这样可以看成两个向量的数量积。在单位圆内，设向量 OA （cos15 ，sin 15 ） ，向量 OB （1，1） 。则向量 OA 和 OB 之间的夹角为 4515=30 |OA | 1 , | OB |2 。由向量数量积公式得：OA OB | OA | | O