中考常见几何模型分析Word文档格式.docx
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手拉手模型：
?
BCE，与【条件】如图两个等边三角形1、ABD?
CD，连结与AEDBC?
ABE【结论】
（1）DC?
AE）（2DC之间的夹角为3）与（AE?
60DC,
与的交点设为（4）HAEAHC?
平分BHEDGADC二者相交于点。
，连结,2、【条件】如图两个等腰直角三角形与HCEAG,
CDE?
ADG是否成立）【结论】（1AG=CE
2（）CEAG为（3）与之间的夹角90是否平分）4（AHEHD?
旋转模型：
一、邻角相等对角互补模型
ABCDABAD，中，【条件】如图，四边形=BADBCD90?
ACBACD45BCCD2AC
【结论】?
①?
?
②?
A二、角含半角模型：
全等
B角含半角要旋转：
构造两次全等?
45CD?
EAF?
E、FABCDBC、EF，【条件】：
如图，点连接；
分别是正方形上的点，的边EFD?
BE?
EF
（2）；
【结论】
（1）AFE△AGE?
△CD:
一线三等角模型【条件】一条直线同一侧三个相等的角（如图）；
CDE△ABC∽△【结论】2、直角形一线三等角1、锐角形一线三等角
3、钝角形一线三等角【真题拾遗】、BG都是正方形，点G在线段CD上，连接1．（2014?
广州）如图，四边形ABCD、CEFG；
②）．下列结论：
①△bBCG≌△DCE相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞DE，DE和FG
=；
④（a﹣b）?
S=b?
S．其中结论正确的个数是（；
③BG⊥DE）22DGO△△EFOB．3个A．4个C．2个D．1个
2．（2016?
广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°
得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
③∠DFG=112.5°
④①四边形AEGF②△AED≌△GED
是菱形
BC+FG=1.5
．其中正确的结论是
三、解答题
3．（2011广州中考）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°
，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．
（1）证明：
B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：
MN=OM；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°
＜α＜90°
）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立若是，请证明；
若不是，
说明理由．上，且不与ABD的外接圆上的一动点（点C不在4．（2016广州中考）如图，点C为△
，D重合），∠ACB=∠ABD=45°
点B1）求证：
BD是该外接圆的直径；
（，求证：
（2）连结CDAC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM，AM，BM三222者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
参考答案
一、选择题
1、C
考点：
相似三角形的判定与性质；
全等三角形的判定与性质；
正方形的性质．
分析：
由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，
CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°
，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；
然后根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°
，则可得②BH⊥DE．由△DGF与△DCE相似即可判定③错误，由△GOD与△FOE相似即可求得④．
是正方形，CEFG和四边形ABCD明：
①∵四边形证解答：
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°
，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
②∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∠CBG+∠BGC=90°
∴∠CDE+∠DGH=90°
，∴∠DHG=90°
，∴BH⊥DE；
③∵四边形GCEF是正方形，
∴GF∥CE，
=，∴
是错误的．=∴④∵DC∥EF，∴∠GDO=∠OEF，∵∠GOD=∠FOE，∴△OGD∽△OFE，
=，∴（a﹣b）?
S∴==（）（）2222B△EFO．故应选△DGO点评：
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直
角三角形的判定和性质．
二、填空题
2、①②③
三角形全等、三角形内角和、菱形
首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出
AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断．
明：
∵四边形解答：
证ABCD是正方形，CAD=∠BDC=∠ADB=°
，∠ABC=90∠DCB=∠ADC=∠DAB=，∠AD=DC=BC=AB∴．
∠CAB=45°
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°
在RT△ADE和RT△GDE中，
，∴AED≌△GED，故②正确，∴∠ADE=∠EDG=22.5°
，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°
，∴AE=AF，同理EG=GF，∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，故①正确，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°
，故③正确．
＜，∴CB+FG＜AE1.5，故④错误，BE=AE，∴BE＞AE，∴∵AE=FG=EG=BG
故答案为①②③．
点评：
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三
角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型．
3、
（1）三点共线
（2）中位线、全等三角形（手拉手性质）（3）同
（2）
（1）根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°
，∠DCE是直角，即可得到∠BCA+∠DCE=90°
+90°
=180°
；
（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°
，即BD⊥AE，再利用三角形
OM=AE，ON∥BD，AE∥OM，的中位线的性质得到ON=BD，于是有ON=OM，为等腰直角三角形，即可得到结论；
ONM，即△OM⊥ON．
（3）证明的方法和
（2）一样．
解答：
∵AB是直径，
∴∠BCA=90°
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，
∴∠BCA+∠DCE=90°
，∴B、C、E三点共线；
（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图1，
∵CB=CA，CD=CE，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°
，即BF⊥AE，
又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，
11BD∴AE==OMON，ON∥，BD，AE∥OM；
22∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，
MN=OM∴；
（3）成立．
理由如下：
如图2，连接BD1，AE1，ON1，∵∠ACB﹣∠ACD1=∠D1CE1﹣∠ACD1，
∴∠BCD1=∠ACE1，又∵CB=CA，CD1=CE1，∴△BCD1≌△ACE1，
与
（2）同理可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形，
M1N1=OM1．从而有点评：
本题考查主要三角形全等的判定和中位线的性质，熟练掌握手拉手模型，作为本题切
入点，可以非常顺利的解决本题。
4、
圆的相关概念、等腰三角形、截长补短（旋转模型性质）、勾股定理
（1）要证明BD是该外接圆的直径，只需要证明∠BAD是直角即可，又因为∠分析：
°
ADB=45°
，所以需要证明∠ABD=45．
（2）在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，只需要证明△EAF是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于
点F，证明△AMF是等腰三角形后，可得出AM=AF，MF=AM，然后再证明△ABF≌△ADM可得出BF=DM，最后根据勾股定理即可得出DM2，AM2，BM2三者之间的数量关系．
解：
（1）∵=，ADB=45°
，∴∠ACB=∠∵∠ABD=45°
，∴∠BAD=90°
，∴BD是△ABD外接圆的直径
（2）在CD的延长线上截取DE=BC，
连接EA，∵∠ABD=∠ADB，AB=AD∴，
∵∠ADE+∠ADC=180°
，∠ABC+∠ADC=180°
，∴∠ABC=∠ADE，
ADE中，在△ABC与△
，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE=90°
，∵
∴△=∴∠ACD=∠ABD=45°
，CAE是等腰直角三角形，
AC=CE，∴AC=CD+DE=CD+BC；
∴）过MM于，过AM于MA交于点F，连接BF，
由对称性可知：
∠AMB=ACB=45°
∴∠FMA=45°
是等腰直角三角形，AMF∴△
∴AM=AF，MF=AM，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，
∴∠FAB=∠MAD，
在△ABF与△ADM中，
，∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF=DM，在Rt△BMF中，∵BM2+MF2=BF2，BM2+2AM2=DM2．
本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与
判定，勾股定理等知识，熟练掌握旋转模型的特征和性质，作为本题切入点，构造出等腰直角三角形，方向明确，减小了本题的难度。
【模拟演练】
ABCDAEECAB的中点，1、（2014番禺华附一模）如图2，在矩形中交边
FFC，下列结论不正确的是（，连D）．于．．．ABAEAEFDCE．△∽△B．A≥
AEFECFAEFBFC不可能相似与△．△D∽△．△C．
有．BD相交于点O的正方形ABCD的对角线AC、、2（2017十六中一模）如图，边长为1重合，然后逆OB分别与OA、O重合，直角边PM、PN直角∠MPN，使直角顶点P与点两点，连FE、分别交AB、BC于（0°
＜θ＜90°
），PM、PN时针旋转∠MPN，旋转角为θ．）C接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是（
4；
：
S：
S=1OE；
（2）
（1）EF=
ABCD四边形OEBF正方形OA；
3）BE+BF=（
COF的面积之和最大时，4）在旋转过程中，当△BEF与△（
AE=；
．OG?
BD=AE+CF（5）225）2）（3）（4）（）（3）（4）（5）B.（A.
（1）2）（3）（41）（5）D.（）（1C.（）
（2）（3二、填空题ABC6?
AED?
边上，如图、（2016黄埔区一模）均为等边三角形，，已知点在和3BCDDE．，与相交于点，如果，那么的长度为4?
12CD?
ACFBFAB
三、解答题PABCOBC不与点，上的一点（内接于⊙是弧P4、（2016荔湾区一模）如图，正三角形FEBCPBPCPCCF?
PB?
13?
AB，是交，，于延长线上的点，CB、重合），且，点PA
．4?
PAACF?
1）求证≌；
（ABP?
；
）求证（2AEPA?
AC?
2PC和的长．（3）求PBP点，点BC于O，连接海珠区一模）已知正方形5、（2016ABCD和正方形CEFGAF交。
CG=1，CD=2，H于DG⊥PH作P的中点，过点AF是
得长；
边上，求PH在同一直线上，点E在BCC
（1）如图1，点D、、G?
）＜180（0°
＜
（2）把正方形CEFG绕着点C逆时针旋转aCO的长；
AF，当点E落在上时，求①如图2
7PH，当DG=的长。
时，求②如图3
36、（2017二中一模）已知抛物线C：
2经过点A（1，0）和B（-3，0）a?
y?
ax?
bx?
（1
20）．
（1）求抛物线C的解析式，并写出其顶点C的坐标；
1
（2）如图1，把抛物线C沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C，此时点A，C分21别平移到点D，E处．设点F在抛物线C上且在x轴的上方，若△DEF是以EF为底的等腰1直角三角形，求点F的坐标；
（3）如图2，在
（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：
①tan∠ENM的值如何变化请说明理由；
②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．
1、D
相似三角形、三角形内角和（一线三直角）
利用等角的余角相等得到∠AFE=∠DEC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似
得到Rt△AEF∽Rt△DCE，由相似的性质得CD：
AE=DE：
AF，而CD=AB，DE=AE，则AB：
AE=AE：
AF，即AE2=AB?
AF，利用AF≤AB，得到AB≥AE；
再利用Rt△AEF∽Rt△DCE得到EF：
EC=AF：
DE，把DE=AE代入得到EF：
AE，根据比例性质得EF：
AF=EC：
AE，加上∠A=∠FEC=90°
，则根据两组对应边的比相等且夹角相似BFC∽△AEF°
可判断△90≠EFC由∠；
ECF∽△AEF对应相等的两个三角形相似得到△．
．AEF∽△BCF时，可判断△不成立，而当∠AFE=∠BFC，AFE=∠DEC∠DEC=90°
，∵∠AEF+∠AFE=90°
，∴∠解答：
∴∠AEF+的中点，ABCD的边AD；
∴△DCECD:
AE=DE:
AF，∵E为矩形∴Rt△AEF∽Rt，AB:
AE=AE:
AF,即AE2=AB?
AF∴CD=AB，DE=AE，∴；
AF?
AB，∴AB?
AE而，，而DE=AERt∽△DCE，∴EF:
EC=AF:
DE∵Rt△AEF；
∽△ECFA=∠FEC=90°
，∴△AEF∴EF:
AE，即EF:
AF=EC:
AE，∵∠相似不成立，∽△BFC≠90°
∴△AEF∵∠EFCD.
BCF.故选,△AEF∽△但当∠AFE=∠BFC时题为非常明显的考查相似三角形知识点，根据一线三等角模型特征快速得出答案。
点评：
此C
2、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质考点：
①由四边形ABCD是正方形，直角∠MPN，易证得△BOE≌△COF（ASA），则可证得
结论；
1，②由
（1）易证得S?
SS
BOC△ABCD四边形OEBF四边形4则可证得结论；
的面积之和，然BEF③首先设AE=x，则BE=CF=1-x，BF=x，继而表示出△与△COF后利用二次函数的最值问题，求得答案；
，④易证得△OEG，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG?
OB=OE2∽△OBEEFOE与的关系，即可证得结论．BD再利用OB与的关系，是正方形，①解答：
∵四边形ABCD∠BOF+COF=90°
，°
，∴∠∠°
∠∠∴OB=OC,OBE=OCF=45,BOC=90，COF∠BOE=°
，∴∠COE=90∠BOF+°
，∴∠EOF=90∵∠．在△BOE和△COF中，∠BOE=∠COF，OB=OC
∠OBE=∠OCF，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，BE=CF，
22OE;
故正确∴EF=;
1②∵SS=+S=SS=S+S=BOC△△BOE△BOECOF△BOE△ABCD正方形OEBF边边四44S:
S=1:
∴；
故正确；
ABCD正方形OEBF四边边OH=12BC=12，，∵BC=1，∴BC③过点O作OH⊥BF=x，，则BE=CF=1?
x，设AE=x1111119，∴2+-14）x）（1-×
S+S==（xx）OHBFBE?
+CF?
=x（1-+COF△BEF△22222232a=?
12<
0，∵,时∴当x=14SS+最大；
COFBEF△△,AE=14BEF即在旋转过程中,当△与△COF的面积之和最大时；
故错误；
，OEG=∠BOE,∠∠OBE=45EOG=④∵∠OEG∽△，OBE∴△，OE:
OB=OG:
OE∴122，OGOEOB=EF∴BD,OE=，2?
OB=∵2∴2EFBDOG?
=，222,中∵在△BEFBF+BEEF=，∴222CF+AEEF=CBOA故正确故C.
从图形上看是一个比较复杂的题，但是实际题目难度并不是很大，利用对角互补旋转
模型结论再结合个够定理就能解决此题。
83、
3．
相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质
先利用等边三角形的性质得到∠C=∠ADE=∠B=60°
，AB=BC=AC=12，再利用三角
形外角性质证明∠BDF=∠CAD，则可判断△DBF∽△ACD，然后利用相似比计算BF的长．
∴∠C=∠ADE=∠B=60°
，AB=BC=AC=12，
∵∠ADB=∠DAC+∠C，
而∠ADB=∠ADE+∠BDF，
∴∠BDF=∠CAD，
∴△DBF∽△ACD，
∴BF:
CD=BD:
AC，
8.BF=即BF:
4=8:
12,解得38.故答案为3点评：
此题利用对角互补旋转模型推导过程得到对应结论，再利用相似解决第
（2）（3）问
圆周角定理，等边三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的任何一个外角
都等于它的内对角
对于
（1），先根据等边三角形的性质得到AB=AC，再利用圆的内接四边形的性质得
∠ACF=∠ABP，根据“SAS”即可得证；
对于），先根据等边三角形的性质得到ABCACB=6°
，再根据圆周角定理APCABB=6°
加上CAEPA于是可判断AC∽AP然后利用相似即可得到结论
1APAAP，再证PE=AP-AE，AE计算），先利对于（．为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP∽△CEP，得到2x-4x+3=0看作方程PC和PB·
PC=PE·
AP=3，然后根据根与系数的关系，可把PB的两实数解，再解此方程即可得到PB和PC的长.
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴AB=AC.
∵四边形ABPC为圆的内接四边形，
∴∠ACF＝∠ABP.
在△ABP和△ACF中，
∴△ABP≌△ACF.
（2）证明：
∴∠ABC＝∠ACE=60°
∴∠APC＝∠ABC=60°
∴∠ACE=∠APC
∵∠CAE=∠PAC
∴△ACE∽△APC
∴AE:
AC=AC:
AP
AC=PAAE∴2?
.
AC=PAAE）∵（32?
，AB=AC，
1AAA1PAA∵AB≌AC
∴APBF=6.
°
APC=6而∠．
为等边三角形，∴△APF，∴PF=PA=4PC+CF=PC+PB=4.
∴，∠APCBAP=∠PCE，∠APB=∵∠，∽△CEP∴△ABP，∴PB:
PE=AP:
PC3×
AP=4=3.PB·
∴4，∵PB+PC=4043可看作方程PCPB和∴23?
x?
1,x?
.的两实数解，解此方程得21，∵PB＜PC．∴PB=1，PC=3题为标准手拉手模型，所以除了相似三角形得出答案，还能利用手拉手模型性质解点评：
此决。
5
梯形中位线、相似三角形、勾股定理、全等三角形（一线三直角）
先判断出四边形APGF是梯形，再判断出PH是梯形的中位线，
1PH=（FG+AD）
2得到；
（2）①先判断出△COE∽△AOB，得到AO是CO的2倍，设出CO，表示出BO，AO，再用勾股定理计算，②先找出辅助线，再判断出△ARD≌△DSC，△CSG≌△GTF，求出AR+FT，最后用梯形中位线即可．
（1）PH⊥CD，AD⊥CD，
，FG∥AD∥PH∴．∵点P是AF的中点，
∴PH是梯形APGF的中位线，
13∴（FG+AD）=PH=，22
（2）①∵∠CEO=∠B=90°
，∠COE=∠AOB，
∴△COE∽△AOB，
∴COAO=CEAB，
∴COAO=12，
设CO=x，
∴AO=2x，BO=2?
x，
22,根据勾股定理得在△ABO中,）（2xx）=4+（2-，27?
2-27?
2∴x?
（舍），或3327?
2∴CO=x=x?
.3②如图3，
分别过点A，C，F作直线DG的垂线，垂足分别为R，S，T，
∵∠ADR+∠CDS=90°
∠CDS+∠DCS=90°
∴∠ADR=∠DCS，
∵∠ADR=∠CSD=90°
，
AD=CD
∴AR≌DS
AR=D
同理：
CS≌GT
SG=F∴．
7AR+FT=DS+SG=DG=，∴ARTF的中位线，
（1）的方法得，PH是梯形同71∴==+FT）（ARPH.222）利用相似结合勾股定理这中常用方此题利用梯形中位线性质解决第
（1）问，第（点评：
3）问构造一线三直角模型解决问题。
法求长度，第（6、
二次函数、等要直接三角形、相似三角形（一线三直接）、三角函数、中位线
（1）根据解析式求出坐标；
2DF求出EF）根据等腰三角形的性质，EF=的长度，再根据抛物线与直线纵（2坐标差值求出答案。
（3）①根据答案需
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