云南省大理丽江怒江届高三毕业生第二次复习统一检测数学理试题及答案.docx
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云南省大理丽江怒江届高三毕业生第二次复习统一检测数学理试题及答案
绝密★启用前【考试时间：
1月2日下午15∶00—17∶00】
云南省大理、丽江、怒江
2020届高中毕业生第二次复习统一检测
数学（理）试题
2020年1月2日
本试卷满分150分，考试时间120分钟
考生注意：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮檫干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合,,则为（）
A．B．C．D．
2．设是虚数单位,如果复数的实部与虚部是互为相反数,那么实数的值为（）
A．B．C．D．
3．甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说：
丙被录用了；乙说：
甲被录用了；丙说：
我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是（）
A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了
4．设,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,给出下列四个命题：
①若,,则,为异面直线；②若,,,则；
③若,,则；④若,,,则．
则上述命题中真命题的序号为（）
A．①②B．③④C．②③D．②④
5．若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如．下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》,执行该程序框图,则输出的值等于（）
A．29
B．30
C．31
D．32
6．曲线在处的切线的倾斜角为,则的值为（）
A．B．C．D．
7．已知函数,,则函数的大致图象是（）
A．B．
C．D．
8．等比数列的前项和为,若,,则（）
A．510B．255C．127D．6540
9．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为（）
A．
B．
C．
D．
10．已知,,,,则（）
A．B．
C．D．
11．设、分别是椭圆的焦点,过的直线交椭圆于、两点,且,,则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
12．已知函数,,若函数的所有零点依次记为,,,,,且,则（）
A．B．C．D．
二、填空题：
本题共4小题,每小题5分,共20分．
13．在的展开式中,的系数是．
14．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：
“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今共织九十尺,问织几日？
”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布,则每天比前一天少织布的尺数为．
15．已知双曲线的两条渐进线均与圆相切,且双曲线的右焦点为圆的圆心,则双曲线的方程为．
16．平行四边形中,,,,是平行四边形内一点,且．若,则的最大值为．
三、解答题：
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题,考生根据要求作答．
17．（12分）
在中,内角、、的对边分别为、、,已知,
且．
（1）求；
（2）求的面积．
18．（12分）
某工厂预购买软件服务,有如下两种方案：
方案一：
软件服务公司每日收取工厂60元,对于提供的软件服务每次10元；
方案二：
软件服务公司每日收取工厂200元,若每日软件服务不超过15次,不另外收费,若超过15次,超过部分的软件服务每次收费标准为20元．
（1）设日收费为元,每天软件服务的次数为,试写出两种方案中与的函数关系式；
（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计,得到如图所示的条形图,依据该统计数据,把频率视为概率,从节约成本的角度考虑,从两个方案中选择一个,哪个方案更合适？
请说明理由．
19．（12分）
在四棱锥中,,．
（1）设与相交于点,若存在点使得,且平面,求实数的值；
（2）若,,,且,求二面角的余弦值．
20．（12分）
设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在有零点,证明：
．
21．（12分）
设、为曲线上两点,与的横坐标之和为．
（1）求直线的斜率；
（2）设弦的中点为,过点、分别作抛物线的切线,则两切线的交点为,过点作直线,交抛物线于、两点,连接、．
证明：
.
请考生在第22、23题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．[选修4―4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中,圆C的参数方程为（为参数）,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是,射线与圆C的交点为O、P,与直线l的交点为Q,求线段的长度．
23．[选修4—5：
不等式选讲]（10分）
设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为实数集,求的取值范围．
绝密★启用前【考试时间：
1月2日下午15∶00—17∶00】
云南省大理、丽江、怒江
2020届高中毕业生第二次复习统一检测
数学（理）试题参考答案及评分标准
2020年1月2日
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
C
D
A
A
B
B
D
B
C
12、函数,
令得,,即的对称轴方程为,．
的最小正周期为,,当时,可得,
在上有31条对称轴,根据正弦函数的性质可知：
函数与的交点,关于对称,,关于对称,,
故．即,,,,
将以上各式相加得：
．故选C．
二、填空题
13、014、15、16、2
三、解答题
17、解：
（1）因为
由正弦定理得：
…………………………2分
又,所以即
又,由余弦定理得………………………………………4分
所以……………………………………………………6分
（2）因为…………………………………………………………8分
所以,即……………………………………………………10分
所以…………………………………………12分
18、解：
（1）由题可知,方案一中的日收费与的函数关系式为
…………………………………………………………………2分
方案二中的日收费与的函数关系式为.…5分
（2）设方案一中的日收费为,由条形图可得的分布列为
190
200
210
220
230
0.1
0.4
0.1
0.2
0.2
所以（元）……8分
方案二中的日收费为,由条形图可得的分布列为
200
220
240
0.6
0.2
0.2
（元）…………………………………11分
所以从节约成本的角度考虑,选择方案一.…………………………………………………12分
19、解：
（1）因为,所以．……………………1分
因为平面,平面,平面平面，
所以．………………………………………………………………3分
所以，即．…………………………………………4分
（2）因为，可知三角形ABD为等边三角形，所以，
又，故，所有．
由已知，所以平面，
如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，
所以，
则，…………………………6分
设平面的一个法向量为，则有
即令，则，
即，………………………………………………………………………8分
设平面的一个法向量为，则有
即令，则，
即．…………………………………………………………………10分
所以，
设二面角的平面角为，则………………………………12分
20、解：
（1）
，………………………………………………………………2分
时，，函数在上单调递增；
时，，函数在上单调递减；………………4分
（2）证明：
函数在有零点，可得方程有解，
有解，
令，
则，…………………………………6分
设函数，，函数在上单调递增,
又，，………………………………………………8分
又函数在上单调递增，
存在，当时，；当时，，
函数存在唯一最小值点，满足，
，
有解，
，．………………………………………………………………12分
21、解：
设则
（1）直线的斜率……………………………………3分
（2）由
（1）知，等价于证明，
，
………………………………………………5分
设直线
过点的切线方程为，整理得
同理，过点处切线的方程为，
联立方程组解得：
…………………………………………………………………………7分
设易知割线的斜率存在，因为，设割线的方程为
，代入抛物线，整理得，
则．
所以，
，
……………8分
因为，
所以
所以
………………………………………………………………………………………11分
综上可得
所以………………………………………………12分
22、解：
（1）圆C的普通方程为，……………………………………2分
又，
所以圆C的极坐标方程为.……………………………………………………5分
（2）设，则由解得，，得；…………7分
设，则由解得，，得；…9分
所以.……………………………………………………………………10分
23、
（1）………………………3分
由，得.……………………………………………………5分
（2），
的图象如图所示：
…………………………………………………8分
由的解集为实数集，可得，，
即.………………………………………………………………………………10分
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