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【问题】组合问题
问题描述:
找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。
例如n=5,r=3的所有组合为:
(1)1、2、3
(2)1、2、4(3)1、2、5
(4)1、3、4(5)1、3、5(6)1、4、5
(7)2、3、4(8)2、3、5(9)2、4、5
(10)3、4、5
则该问题的状态空间为:
E={(x1,x2,x3)∣xi∈S,i=1,2,3}其中:
S={1,2,3,4,5}
约束集为:
x1<
x2<
x3
显然该约束集具有完备性。
问题的状态空间树T:
2、回溯法的方法
对于具有完备约束集D的一般问题P及其相应的状态空间树T,利用T的层次结构和D的完备性,在T中搜索问题P的所有解的回溯法可以形象地描述为:
从T的根出发,按深度优先的策略,系统地搜索以其为根的子树中可能包含着回答结点的所有状态结点,而跳过对肯定不含回答结点的所有子树的搜索,以提高搜索效率。
具体地说,当搜索按深度优先策略到达一个满足D中所有有关约束的状态结点时,即“激活”该状态结点,以便继续往深层搜索;
否则跳过对以该状态结点为根的子树的搜索,而一边逐层地向该状态结点的祖先结点回溯,一边“杀死”其儿子结点已被搜索遍的祖先结点,直到遇到其儿子结点未被搜索遍的祖先结点,即转向其未被搜索的一个儿子结点继续搜索。
在搜索过程中,只要所激活的状态结点又满足终结条件,那么它就是回答结点,应该把它输出或保存。
由于在回溯法求解问题时,一般要求出问题的所有解,因此在得到回答结点后,同时也要进行回溯,以便得到问题的其他解,直至回溯到T的根且根的所有儿子结点均已被搜索过为止。
例如在组合问题中,从T的根出发深度优先遍历该树。
当遍历到结点(1,2)时,虽然它满足约束条件,但还不是回答结点,则应继续深度遍历;
当遍历到叶子结点(1,2,5)时,由于它已是一个回答结点,则保存(或输出)该结点,并回溯到其双亲结点,继续深度遍历;
当遍历到结点(1,5)时,由于它已是叶子结点,但不满足约束条件,故也需回溯。
3、回溯法的一般流程和技术
在用回溯法求解有关问题的过程中,一般是一边建树,一边遍历该树。
在回溯法中我们一般采用非递归方法。
下面,我们给出回溯法的非递归算法的一般流程:
在用回溯法求解问题,也即在遍历状态空间树的过程中,如果采用非递归方法,则我们一般要用到栈的数据结构。
这时,不仅可以用栈来表示正在遍历的树的结点,而且可以很方便地表示建立孩子结点和回溯过程。
例如在组合问题中,我们用一个一维数组Stack[]表示栈。
开始栈空,则表示了树的根结点。
如果元素1进栈,则表示建立并遍历
(1)结点;
这时如果元素2进栈,则表示建立并遍历(1,2)结点;
元素3再进栈,则表示建立并遍历(1,2,3)结点。
这时可以判断它满足所有约束条件,是问题的一个解,输出(或保存)。
这时只要栈顶元素(3)出栈,即表示从结点(1,2,3)回溯到结点(1,2)。
找出从自然数1,2,…,n中任取r个数的所有组合。
采用回溯法找问题的解,将找到的组合以从小到大顺序存于a[0],a[1],…,a[r-1]中,组合的元素满足以下性质:
(1)a[i+1]>
a[i],后一个数字比前一个大;
(2)a[i]-i<
=n-r+1。
按回溯法的思想,找解过程可以叙述如下:
首先放弃组合数个数为r的条件,候选组合从只有一个数字1开始。
因该候选解满足除问题规模之外的全部条件,扩大其规模,并使其满足上述条件
(1),候选组合改为1,2。
继续这一过程,得到候选组合1,2,3。
该候选解满足包括问题规模在内的全部条件,因而是一个解。
在该解的基础上,选下一个候选解,因a[2]上的3调整为4,以及以后调整为5都满足问题的全部要求,得到解1,2,4和1,2,5。
由于对5不能再作调整,就要从a[2]回溯到a[1],这时,a[1]=2,可以调整为3,并向前试探,得到解1,3,4。
重复上述向前试探和向后回溯,直至要从a[0]再回溯时,说明已经找完问题的全部解。
按上述思想写成程序如下:
【程序】
#defineMAXN100
inta[MAXN];
voidcomb(intm,intr)
{inti,j;
i=0;
a[i]=1;
do{
if(a[i]-i<
=m-r+1
{if(i==r-1)
{for(j=0;
j<
r;
j++)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
a[i]++;
continue;
else
{if(i==0)
return;
a[--i]++;
}while
(1)
}
main()
{comb(5,3);
【问题】填字游戏
在3×
3个方格的方阵中要填入数字1到N(N≥10)内的某9个数字,每个方格填一个整数,似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。
试求出所有满足这个要求的各种数字填法。
可用试探发找到问题的解,即从第一个方格开始,为当前方格寻找一个合理的整数填入,并在当前位置正确填入后,为下一方格寻找可填入的合理整数。
如不能为当前方格找到一个合理的可填证书,就要回退到前一方格,调整前一方格的填入数。
当第九个方格也填入合理的整数后,就找到了一个解,将该解输出,并调整第九个的填入的整数,寻找下一个解。
为找到一个满足要求的9个数的填法,从还未填一个数开始,按某种顺序(如从小到大的顺序)每次在当前位置填入一个整数,然后检查当前填入的整数是否能满足要求。
在满足要求的情况下,继续用同样的方法为下一方格填入整数。
如果最近填入的整数不能满足要求,就改变填入的整数。
如对当前方格试尽所有可能的整数,都不能满足要求,就得回退到前一方格,并调整前一方格填入的整数。
如此重复执行扩展、检查或调整、检查,直到找到一个满足问题要求的解,将解输出。
回溯法找一个解的算法:
{intm=0,ok=1;
intn=8;
do{
if(ok)扩展;
else调整;
ok=检查前m个整数填放的合理性;
}while((!
ok||m!
=n)&
&
(m!
=0))
if(m!
=0)输出解;
else输出无解报告;
如果程序要找全部解,则在将找到的解输出后,应继续调整最后位置上填放的整数,试图去找下一个解。
相应的算法如下:
回溯法找全部解的算法:
if(ok)
{if(m==n)
{输出解;
调整;
else扩展;
}while(m!
=0);
为了确保程序能够终止,调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验,即要求按某种有许模型生成填数序列。
给解的候选者设定一个被检验的顺序,按这个顺序逐一形成候选者并检验。
从小到大或从大到小,都是可以采用的方法。
如扩展时,先在新位置填入整数1,调整时,找当前候选解中下一个还未被使用过的整数。
将上述扩展、调整、检验都编写成程序,细节见以下找全部解的程序。
#include<
stdio.h>
#defineN12
voidwrite(inta[])
for(i=0;
i<
3;
i++)
printf(“%3d”,a[3*i+j]);
scanf(“%*c”);
intb[N+1];
inta[10];
intisprime(intm)
{inti;
intprimes[]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};
if(m==1||m%2=0)return0;
primes[i]>
0;
if(m==primes[i])return1;
for(i=3;
i*i<
=m;
)
{if(m%i==0)return0;
i+=2;
return1;
intcheckmatrix[][3]={{-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},
{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};
intselectnum(intstart)
{intj;
for(j=start;
=N;
if(b[j])returnj
return0;
intcheck(intpos)
if(pos<
0)return0;
(j=checkmatrix[pos][i])>
=0;
if(!
isprime(a[pos]+a[j])
intextend(intpos)
{a[++pos]=selectnum
(1);
b[a][pos]]=0;
returnpos;
intchange(intpos)
while(pos>
=0&
(j=selectnum(a[pos]+1))==0)
b[a[pos--]]=1;
0)return–1
b[a[pos]]=1;
a[pos]=j;
b[j]=0;
voidfind()
{intok=0,pos=0;
a[pos]=1;
b[a[pos]]=0;
if(ok)
if(pos==8)
{write(a);
pos=change(pos);
elsepos=extend(pos);
elsepos=change(pos);
ok=check(pos);
}while(pos>
=0)
voidmain()
for(i=1;
b[i]=1;
find();
【问题】n皇后问题
求出在一个n×
n的棋盘上,放置n个不能互相捕捉的国际象棋“皇后”的所有布局。
这是来源于国际象棋的一个问题。
皇后可以沿着纵横和两条斜线4个方向相互捕捉。
如图所示,一个皇后放在棋盘的第4行第3列位置上,则棋盘上凡打“×
”的位置上的皇后就能与这个皇后相互捕捉。
1
2
3
4
5
6
7
8
×
Q
从图中可以得到以下启示:
一个合适的解应是在每列、每行上只有一个皇后,且一条斜线上也只有一个皇后。
求解过程从空配置开始。
在第1列至第m列为合理配置的基础上,再配置第m+1列,直至第n列配置也是合理时,就找到了一个解。
接着改变第n列配置,希望获得下一个解。
另外,在任一列上,可能有n种配置。
开始时配置在第1行,以后改变时,顺次选择第2行、第3行、…、直到第n行。
当第n行配置也找不到一个合理的配置时,就要回溯,去改变前一列的配置。
得到求解皇后问题的算法如下:
{输入棋盘大小值n;
m=0;
good=1;
if(good)
if(m==n)
{输出解;
改变之,形成下一个候选解;
else扩展当前候选接至下一列;
else改变之,形成下一个候选解;
good=检查当前候选解的合理性;
在编写程序之前,先确定边式棋盘的数据结构。
比较直观的方法是采用一个二维数组,但仔细观察就会发现,这种表示方法给调整候选解及检查其合理性带来困难。
更好的方法乃是尽可能直接表示那些常用的信息。
对于本题来说,“常用信息”并不是皇后的具体位置,而是“一个皇后是否已经在某行和某条斜线合理地安置好了”。
因在某一列上恰好放一个皇后,引入一个一维数组(col[]),值col[i]表示在棋盘第i列、col[i]行有一个皇后。
例如:
col[3]=4,就表示在棋盘的第3列、第4行上有一个皇后。
另外,为了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置,设定col[0]的初值为0当回溯到第0列时,说明程序已求得全部解,结束程序运行。
为使程序在检查皇后配置的合理性方面简易方便,引入以下三个工作数组:
(1)数组a[],a[k]表示第k行上还没有皇后;
(2)数组b[],b[k]表示第k列右高左低斜线上没有皇后;
(3)数组c[],c[k]表示第k列左高右低斜线上没有皇后;
棋盘中同一右高左低斜线上的方格,他们的行号与列号之和相同;
同一左高右低斜线上的方格,他们的行号与列号之差均相同。
初始时,所有行和斜线上均没有皇后,从第1列的第1行配置第一个皇后开始,在第m列col[m]行放置了一个合理的皇后后,准备考察第m+1列时,在数组a[]、b[]和c[]中为第m列,col[m]行的位置设定有皇后标志;
当从第m列回溯到第m-1列,并准备调整第m-1列的皇后配置时,清除在数组a[]、b[]和c[]中设置的关于第m-1列,col[m-1]行有皇后的标志。
一个皇后在m列,col[m]行方格内配置是合理的,由数组a[]、b[]和c[]对应位置的值都为1来确定。
细节见以下程序:
stdlib.h>
#defineMAXN20
intn,m,good;
intcol[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
charawn;
printf(“Entern:
“);
scanf(“%d”,&
n);
for(j=0;
=n;
j++)a[j]=1;
=2*n;
j++)cb[j]=c[j]=1;
m=1;
col[1]=1;
col[0]=0;
{printf(“列\t行”);
for(j=1;
printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]);
printf(“Enteracharacter(Q/qforexit)!
\n”);
scanf(“%c”,&
awn);
if(awn==’Q’||awn==’q’)exit(0);
while(col[m]==n)
{m--;
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;
col[m]++;
{a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0;
col[++m]=1;
{while(col[m]==n)
good=a[col[m]]&
b[m+col[m]]&
c[n+m-col[m]];
试探法找解算法也常常被编写成递归函数,下面两程序中的函数queen_all()和函数queen_one()能分别用来解皇后问题的全部解和一个解。
intn;
queen_all(1,n);
voidqueen_all(intk,intn)
if(a[i]&
b[k+i]&
c[n+k-i])
{col[k]=i;
a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0;
if(k==n)
queen_all(k+1,n);
a[i]=b[k+i]=c[n+k-i];
采用递归方法找一个解与找全部解稍有不同,在找一个解的算法中,递归算法要对当前候选解最终是否能成为解要有回答。
当它成为最终解时,递归函数就不再递归试探,立即返回;
若不能成为解,就得继续试探。
设函数queen_one()返回1表示找到解,返回0表示当前候选解不能成为解。
细节见以下函数。
intn;
intcol[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
intqueen_one(intk,intn)
{inti,found;
i=found=0;
While(!
found&
n)
{i++;
if(k==n)return1;
found=queen_one(k+1,n);
a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=1