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北航2008级研究生《数值分析A》计算实习题

2008年11月15日

目录

1引言 1

2算法设计方案 1

3特殊情况处理 4

4计算结果 4

5结论 7

6参考文献 7

7附录 8

1引言

算法背景：

幂法，Jacobi方法及QR方法是求矩阵特征值和特征向量的常用数值方法，它们都是造构造迭代产生的矩阵序列来达到目的的。

幂法计算简单，特别适用于高阶稀疏矩阵，但其收敛速度不能令人满意，要想加快幂法的收敛速度可采用反幂法及位移技术。

Jacobi方法是古典方法，它收敛快，精度高，便于并行计算且算法稳定。

用Jacobi方法求出的特征向量在较好的正交性，不过它的计算量较大，当阶数n增大时收敛速度减慢，因此Jacobi方法适用于求低阶的对称矩阵的全部特征值和特征向量。

由J.G.Francis提出的QR算法的基本思想源于LR算法，即对矩阵分解获得一个相似于原矩阵的序列，使其收敛到一个易于求得特征值的形式。

LR算法比QR算法收敛速度快，但不稳定。

QR方法是60年代发展起来的，被人们称为数值数学，最值得注意的算法之一，它是目前求任意矩阵全部特征值和特征向量最有效的方法。

利用矩阵的QR分解，通过逆序相乘产生对原矩阵的一系列正交相似变换，使其变化为一个近似的上三角矩阵来求全部特征值。

这里QR分解是指将矩阵化为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵左乘的形式。

但是基本QR算法的收敛往往过慢，因此通常采用带原点位移的QR算法。

又由于A是实矩阵，它可能有复特征值，如果采用一般带原点位移的QR算法，变换中带有复位移量，则造成复数运算。

故而采用带双步位移的QR算法，可以减少迭代次数加速收敛，避免复数运算，在计算上是比较经济的。

2算法设计方案

2.1题目

试用带双步位移的QR分解法求矩阵A=的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。

要求程序输出矩阵A经过拟上三角化后所得到的矩阵；对矩阵进行QR分解方法结束后所得的矩阵；矩阵A的全部特征值及相应于实特征值的特征向量。

采用e型输出数据，并且至少显示12位有效数字。

要求迭代的精度水平为=。

已知

2.2算法

2.2.1用带双步位移的QR方法求实矩阵全部特征值的算法

（1）使用矩阵的拟上三角化的算法把矩阵A化为拟上三角矩阵；给定精度水平和迭代最大次数L。

【矩阵A的拟上三角化的算法如下：

记A，并记。

对于r=1，2，，n-2执行

（a）若全为零，则令，转（e）；否则转（b）。

（b）计算，（若，则取），

（c）令

（d）计算，，，，

（e）继续】

（2）记，令k=1，m=n。

（3）如果，则得到A的一个特征值，置m=n-1，转（4）；否则转（5）。

（4）如果m=1，则得到A的一个特征值，转（11）；如果m=0，则直接转（11）；如果m1，则转（3）。

（5）求二阶子阵的两个特征值和，即计算二次方程的两个根和。

（6）如果m=2，则得到A的两个特征值和，转（11）；否则转（7）。

（7）如果，则得到A的两个特征值和，置m=m-2，转（4）；否则转（8）。

（8）如果k=L，则计算终止，未得到A的全部特征值，否则转（9）。

（9）记，计算

（为m阶单位矩阵）

（对作QR分解）

【对作QR分解与的计算算法如下：

记，，。

对于r=1，2，，m-1执行

（a）若全为零，则令，转（e）；否则转（b）。

（b）计算，（若，则取），

（c）令

（d）计算，，，，，，

（e）继续】

（10）置k=k+1，转（3）。

（11）A的全部特征值以计算完毕，停止计算。

2.2.2列主元素Gauss消去法求特征值对应的特征向量的算法

列主元素Gauss消去法具体算法如下：

记，

1.消元过程

对于1，2，，n-1执行

（1）选行号，使

（2）交换与以及与所含的数值

（3）对于i=k+1,k+2,,n计算

，

2.回代过程

3特殊情况处理

（1）由于拟上三角化和QR分解的算法有相同的部分故将两部分的子程序集成在一起（当

m=1时为矩阵的拟上三角化程序和当m=0时为QR分解程序）

（2）当输出“未求出矩阵A的全部特征值”时，检查L的大小，增大L的数值再计算。

4计算结果

4.1矩阵A经过拟上三角化后得到的矩阵

（由于一行放不下十个元素，故将矩阵每一行的十个元素分成两行列出）

矩阵A经过拟上三角化后所得的矩阵A（n-1）：

-8.82751675883e-001 -9.93313649183e-002 -1.10334928599e+000 -7.60044358564e-001 1.54910107991e-001

-1.94659186287e+000 -8.78243638293e-002 -9.25588938718e-001 6.03259944053e-001 1.51886095647e-001

-2.34787836242e+000 2.37237010494e+000 1.81929082221e+000 3.23780410155e-001 2.20579844032e-001

2.10269266255e+000 1.81613808610e-001 1.27883908999e+000 -6.38057812440e-001 -4.15407560380e-001

-1.05568548241e-016 1.72827459997e+000 -1.17146764279e+000 -1.24383926270e+000 -6.39975834174e-001

-2.00283307904e+000 2.92494720612e-001 -6.41283006839e-001 9.78399762128e-002 2.55776357416e-001

-5.39338381277e-017 -3.16587386518e-017 -1.29166953413e+000 -1.11160351340e+000 1.17134682410e+000

-1.30735603002e+000 1.80369917775e-001 -4.24638535837e-001 7.98895523930e-002 1.60881992807e-001

1.53346499662e-017 5.96332140618e-017 -3.27306215536e-017 1.56012629853e+000 8.12504939751e-001

4.42175683292e-001 -3.58861612814e-002 4.69174231367e-001 -2.73659505009e-001 -7.35933465775e-002

1.30056273723e-016 -3.09706001089e-017 8.55612756587e-017 0.00000000000e+000 -7.70777375519e-001

-1.58305142574e+000 -3.04284317680e-001 2.52871244603e-001 -6.70992540145e-001 2.54461992908e-001

1.61021672477e-016 -2.21157183737e-016 -3.92548490401e-017 0.00000000000e+000 0.00000000000e+000

-7.46345345694e-001 -2.70836515702e-002 -9.48652189368e-001 1.19587108150e-001 1.92926561795e-002

1.36855018620e-016 7.15151319080e-017 -8.67261531120e-017 0.00000000000e+000 0.00000000000e+000

-1.07207471836e-016 -7.70180137436e-001 -4.69762399062e-001 4.98825946801e-001 1.13769160378e-001

-2.78085130072e-017 -6.70863078836e-017 8.47612717394e-017 0.00000000000e+000 0.00000000000e+000

-4.87977428748e-017 1.85482928622e-016 7.01316709211e-001 1.58218068848e-001 3.86259461423e-001

-2.12460444005e-017 -1.70797975893e-016 -2.79894228707e-017 0.00000000000e+000 0.00000000000e+000

4.15375832524e-017 1.22262169189e-016 0.00000000000e+000 4.84380760278e-001 3.99277799518e-001

4.2对矩阵进行QR分解后所得的矩阵

（由于一行放不下十个元素，故将矩阵每一行的十个元素分成两行列出）

对拟三角化后的矩阵A（n-1）进行QR分解方法结束后的矩阵：

1.53147700891e+000 -2.31151347770e+000 -5.13352162117e-002 -1.56228767543e-001 3.95270218975e-001

-4.60307123730e-001 -4.92665761043e-001 1.54615717231e-001 4.58107069729e-002 9.01038975186e-002

-3.19420475749e+000 -5.63497701019e-001 -2.71483239643e-001 -6.42858659429e-001 1.03913640971e+000

2.87072983195e+000 -7.00811288884e-001 -8.03485266055e-001 -7.59721306153e-001 2.13060816678e+000

3.55229096910e-016 1.78505809730e+000 -1.74399102792e+000 7.97374725643e-001 -6.25624360652e-001

-1.11600242269e+000 2.59559452545e-001 3.42921412680e-001 5.10113644468e-001 -9.75562845054e-001

-2.38895193340e-016 -2.87790678694e-016 -4.06561715572e-001 -5.06868432472e-001 1.82855102452e+000

5.18941002166e-001 -3.59510952371e-001 -1.13845216101e-001 -4.51225605836e-002 5.59740463210e-001

1.13201004533e-016 -9.76111965681e-018 3.31049963415e-016 1.486766072