数值分析.docx
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数值分析
滨州学院
数学与信息科学系
《数值分析》
实验指导书
应用数学教研室
2007年8月
前言
结合课程教学，配备适当的上机实验（8个学时）以便加深课堂教学的实践性，同时通过实验可以加强对数学模型的总体分析，算法选取，程序结构，上机调试和结果分析等环节的训练。
本实验指导书共包含4个实验，要求学生在4个实验课时内完成。
为使实验更为有成效,需要写出实验报告（格式要求见附录）,以此可作为《数值分析》课程平时成绩评定的参考。
实验一一元非线性方程求根
一、问题提出
1、设方程
有一个实根x
=1.732现采用二分法对f（x）=0的根x
=
进行逼近。
P169
2、利用牛顿迭代法求
在
上的根。
对照7.2
二、要求
1、编制一个程序进行运算，输出每种迭代格式的敛散情况；
2、用事后误差估计
来控制迭代次数，输出迭代的次数；
3、初始值的选取对迭代收敛有何影响；
4、分析迭代收敛和发散的原因。
三、目的和意义
1、通过实验进一步了解方程求根的算法；
2、认识选择计算格式的重要性；
3、掌握迭代算法和精度控制；
4、明确迭代收敛性与初值选取的关系。
M=2
a=1
b=2
b=1.5000
a=1.2500
a=1.3750
b=1.4375
a=1.4063
b=1.4219
a=1.4141
b=1.4180
b=1.4160
b=1.4150
b=1.4146
b=1.4143
a=1.4142
b=1.4142
b=1.4142
M=2
a=1
b=2
k=0;
whileb-a>eps
x=（a+b）/2;
ifx^2>M
b=x
else
a=x
end
k=k+1;
end
实验二数值积分
一、问题提出
选用复合梯形公式，复合Simpson公式，计算
（1）I=
二、要求
1、编制数值积分算法的程序；
2、分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果；
3、分别取不同步长
，试比较计算结果（如n=10,20等）；
4、给定精度要求
，试用变步长算法，确定最佳步长。
三、目的和意义
1、深刻认识数值积分法的意义；
2、明确数值积分精度与步长的关系；
3、认识Romberg方法的优点。
实验三函数插值方法
一、问题提出
对于给定的一元函数
的n+1个节点值
。
试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。
数据如下：
（1）
0.4
0.55
0.65
0.80
0.95
1.05
0.41075
0.57815
0.69675
0.90
1.00
1.25382
求五次Lagrange多项式L
，和分段三次插值多项式，计算
的值。
（2）
1
2
3
4
5
6
7
0.368
0.135
0.050
0.018
0.007
0.002
0.001
试构造Lagrange多项式L
，计算
的值。
结果
0.165299
0.00213348
二、要求
2、利用Lagrange插值公式
编写出插值多项式程序；
3、给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；
4、根据节点选取原则，对问题
（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；
5、对此插值问题用Newton插值多项式其结果如何。
三、目的和意义
1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；
2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；
3、熟悉插值方法的程序编制；
4、如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。
实验四曲线拟合
一、问题提出
从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量
与时间
的拟合曲线。
分）
0510152025303540455055
01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64
二、要求
1、用最小二乘法进行曲线拟合；
2、近似解析表达式为
；
3、打印出拟合函数
，并打印出
与
的误差，
；
4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；
5、*绘制出曲线拟合图。
三、目的和意义
1、掌握曲线拟合的最小二乘法；
2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；
3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系
实验五解线性方程组的迭代法
一、问题提出
对线性方程组
，试分别选用Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法计算其解。
二、要求
1、体会欧拉公式的基本思想；
2、分别对不同精度要求，选取不同的步长体会该迭代法的收敛快慢；
3、给出各种算法的设计程序和计算结果。
三、目的和意义
1、通过上机计算体会欧拉公式的特点，并能和消去法比较；
2、运用所学的算法，解决各类常微分方程，编出算法程序；
3、比较算法的差异，领会算法改进的背景和思路。
实验六欧拉公式
一、问题提出
对常微分方程，试分别选用欧拉公式，改进的欧拉公式计算其解。
二、要求
1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；
2、分别对不同精度要求，如
由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；
3、对方程组2，3使用SOR方法时，选取松弛因子
=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；
4、给出各种算法的设计程序和计算结果。
三、目的和意义
1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；
2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序；
3、体会上机计算时，终止步骤
<
或k>（予给的迭代次数），对迭代法敛散性的意义；
4、体会初始解x
，松弛因子的选取，对计算结果的影响。
附录一：
实验报告内容要求
实验报告内容要求
一、课题名称
二、班级、姓名
三、目的和意义
方法的理论意义和实用价值，如解超越方程的弦截法，改进了牛顿法，它适用于任意连续函数在大范围中求解，并且避免计算导数值，使其更具有实用性。
四、实验仪器
五、计算公式
六、结构程序设计
七、结果讨论和分析
如初值对结果的影响；不同方法的比较；该方法的特点和改进；整个实验过程中（包括程序编写，上机调试等）出现的问题及其处理等广泛的问题，以此扩大知识面和对实验环节的认识。
附录二：
部分程序示例
（本部分程序与本指导书配套而且均已采用TurboC2.0调试通过）
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