版高考数学大一轮复习 第六章 数列 62 等差数列及其前n项和试题 理 北师大版.docx

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版高考数学大一轮复习第六章数列62等差数列及其前n项和试题理北师大版

2019版高考数学大一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和试题理北师大版

1．等差数列的定义

从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母_d_表示．

2．等差数列的通项公式

若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝a1＋（n－1）d.

3．等差中项

如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．

4．等差数列的常用性质

（1）通项公式的推广：

an＝am＋（n－m）d（n，m∈N＋）．

（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N＋），则ak＋al＝am＋an.

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

（4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

（5）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N＋）是公差为md的等差数列．

（6）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…（m∈N＋）构成等差数列．

5．等差数列的前n项和公式

设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.

6．等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝n2＋n.

数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）．

7．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

【知识拓展】

等差数列的四种判断方法

（1）定义法：

an＋1－an＝d（d是常数）⇔{an}是等差数列．

（2）等差中项法：

2an＋1＝an＋an＋2（n∈N＋）⇔{an}是等差数列．

（3）通项公式：

an＝pn＋q（p，q为常数）⇔{an}是等差数列．

（4）前n项和公式：

Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）⇔{an}是等差数列．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．（　×　）

（2）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．（　√　）

（3）等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．（　×　）

（4）已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.（　√　）

1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于（　　）

A．－1B．0C．1D．6

答案　B

解析　由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，故选B.

2．（教材改编）设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于（　　）

A．31B．32C．33D．34

答案　B

解析　由已知可得解得

∴S8＝8a1＋d＝32.

3．（2016·全国乙卷）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于（　　）

A．100B．99C．98D．97

答案　C

解析　由等差数列性质，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1，

∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.

4．（2016·江西玉山一中模拟）已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＋a4＋a5＝9，则S7等于（　　）

A．21B．28C．35D．42

答案　A

解析　∵a3＋a4＋a5＝9，∴a4＝3，

∴S7＝7a4＝21，故选A.

5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．

答案　8

解析　因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大．

题型一　等差数列基本量的运算

例1　

（1）在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N＋有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为（　　）

A．2B．10C.D.

（2）（2016·北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.

答案　

（1）C　

（2）6

解析　

（1）由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝，

所以数列{an}是首项为－2，公差为的等差数列，

所以S10＝10×（－2）＋×＝.

（2）∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.

又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.

∴S6＝6×6＋×（－2）＝6.

思维升华　等差数列运算问题的通性通法

（1）等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程（组）求解．

（2）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

（1）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于（　　）

A．13B．35

C．49D．63

（2）（2016·江苏）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．

答案　

（1）C　

（2）20

解析　

（1）∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，

∴S7＝＝49.

（2）设等差数列{an}的公差为d，由题意可得

解得

则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.

题型二　等差数列的判定与证明

例2　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－（n≥2，n∈N＋），数列{bn}满足bn＝（n∈N＋）．

（1）求证：

数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

（1）证明　因为an＝2－（n≥2，n∈N＋），

bn＝（n∈N＋），

所以bn＋1－bn＝－

＝－＝－＝1.

又b1＝＝－.

所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．

（2）解　由

（1）知bn＝n－，则an＝1＋＝1＋.

设f（x）＝1＋，

则f（x）在区间（－∞，）和（，＋∞）上为减函数．

所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.

引申探究

本例中，若将条件变为a1＝，nan＋1＝（n＋1）an＋n（n＋1），试求数列{an}的通项公式．

解　由已知可得＝＋1，即－＝1，又a1＝，

∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，

∴＝＋（n－1）·1＝n－，∴an＝n2－n.

思维升华　等差数列的四个判定方法

（1）定义法：

证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．

（2）等差中项法：

证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．

（3）通项公式法：

得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．

（4）前n项和公式法：

得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．

（1）在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋（n∈N＋），则该数列的通项为（　　）

A．an＝B．an＝

C．an＝D．an＝

答案　A

解析　由已知式＝＋可得

－＝－，知{}是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.

（2）数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.

①设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；

②求{an}的通项公式．

①证明　由an＋2＝2an＋1－an＋2，

得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，

即bn＋1＝bn＋2.

又b1＝a2－a1＝1，

所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

②解　由①得bn＝1＋2（n－1）＝2n－1，

即an＋1－an＝2n－1.

于是（ak＋1－ak）＝（2k－1），

所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.

又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.

题型三　等差数列性质的应用

命题点1　等差数列项的性质

例3　

（1）（2015·广东）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.

（2）已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.

答案　

（1）10　

（2）21

解析　

（1）因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，所以a5＝5，故a2＋a8＝2a5＝10.

（2）因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2（a3＋b8）＝（a1＋b10）＋（a5＋b6），即2×15＝9＋（a5＋b6），解得a5＋b6＝21.

命题点2　等差数列前n项和的性质

例4　

（1）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________.

（2）在等差数列{an}中，a1＝－2018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2018的值等于（　　）

A．－2018B．－2016

C．－2019D．－2017

答案　

（1）114　

（2）A

解析　

（1）因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2（S6－S3）＝S3＋（S9－S6），即2（S6＋12）＝－12＋（45－S6），解得S6＝3.

又2（S9－S6）＝（S6－S3）＋（S12－S9），

即2×（45－3）＝（3＋12）＋（S12－45），解得S12＝114.

（2）由题意知，数列{}为等差数列，其公差为1，

∴＝＋（2018－1）×1

＝－2018＋2017＝－1.

∴S2018＝－2018.

思维升华　等差数列的性质

（1）项的性质：

在等差数列{an}中，am－an＝（m－n）d⇔＝d（m≠n），其几何意义是点（n，an），（m，am）所在直线的斜率等于等差数列的公差．

（2）和的性质：

在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则

①S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；

②S2n－1＝（2n－1）an.

（1）在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于（　　）

A．58B．88C．143D．176

（2）等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于（　　）

A.B.

C.D.

答案　

（1）B　

（2）A

解析　

（1）S11＝＝

＝＝88.

（2）＝＝＝＝

＝＝.

6．等差数列的前n项和及其最值

考点分析　公差不为0的等差数列，求其前n项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大．

典例1　

（1）在等差数列{an}中，2（a1＋a3＋a5）＋3（a7＋a9）＝54，则此数列前10项的和S10等于（　　）

A．45B．60

C．75D．90

（2）在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________.

解析　

（1）由题意得a3＋a8＝9，

所以S10＝＝＝＝45.

（2）方法一　设数列{an}的首项为a1，公差为d，

则解得

所以S110＝110a1＋d＝－110.

方法二　因为S100