我们的高铁建模论文Word格式.docx
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百姓会不会“被高速”——被迫承受高铁的高价票?
人们的担心不无道理，用数学建模的方法进行研究，从而说明中国修建高铁的利弊关系。
二、问题分析
问题要求我们对中国高铁的利弊进行评估，在这个评估的过程中，我们发现需要考虑的因素较多，有些是定性的，有些是定量的，我们要对这些指标进行评估。
这就涉及到层次分析方法来估算各个指标的权重，再利用模糊分析决策方法评出其利弊。
具体思路如下：
（1）我们选择对方案有影响的6个指标作为评价要素。
指标规定如下：
建设成本：
指造价费和设计费，假设单位长度造价一样，建设成本等于单位造价乘以建设长度，因此，长度越长，建设成本越高。
运行成本：
指设施设备火车维修费、折旧费、定额供应水、电费、管理人员费等，这与乘客人数有关，假设人均运行成本相同。
收费标准：
指单位造价乘以建设长度除以火车站收回成本的年限再除以乘客总人数加运行成本。
上座率：
指每次列车的乘客数除以总座位数。
舒适程度：
指夏天是否有空调或者电扇，冬天是否有暖气，座位是硬的，还是软的，上车是否拥挤，坐在座位上乘客之间的间距的大小等。
安全程度：
指一段时间内（比如一年）发生事故次数，及伤亡情况等。
三、模型假设
1、所有数据均真实可靠稳定，变化很小，可以忽略不计；
2、假设中国高铁仅以武汉之间的高铁为例，作为标准进行评估；
3、假设客流量不受节假日的影响；
4、假设各交通武汉至广州的路程相等；
5、假设高铁不会发生任何事故；
四、符号说明
Q：
表示方案中各个指标的权重；
Pj：
表示第j个数据的名称（j=1.2……7，其中j=1表示建造成本，j=2表示收费标准，j=3表示进出方便，j=4表示舒适度，j=5表示事故发生次数，假
J=6表示节能环保，j=7表示排出物）；
x：
表示评价指标特征值矩阵；
Y：
表示相对优属度矩阵；
Yij：
表示第i个因素评价指标的特征值；
Z：
表示综合评价值；
五、模型的建立
从旅客的角度考虑，从武汉到广州可以选飞机、高铁、普快、汽车交通方式，从用时、票价、安全性、舒适度、环保四方面考虑，用层次分析法得出最后结论，判别高铁对其他交通的影响。
5.1模型一的准备
5．1．1我们将决策分为三个层次进行分析
最上层为目标层，即从武汉到广州乘坐的交通方式；
中间层为准则层，有
用时、票价、安全性、舒适度、环保5个准则；
最下层为方案层，有飞机、高铁、普快、汽车4种方案供选择。
从而针对下层因素之间对上层的影响，建立了层次结构模型，通过成对比较来解决在定性中下层具有不同性质的因素对上层因素的影响，由于相对尺度难以把握，我们运用Saaty等人提出使用尺度1~9对定性关系进行量化，具体表示见表1。
表1定性关系量化表：
标度
含义
1
3
5
7
9
2,4,6,8
倒数
表示两个元素相比，具有同样的重要性
表示两个元素相比，前者比后者稍重要
表示两个元素相比，前者比后者明显重要
表示两个元素相比，前者比后者强烈重要
表示两个元素相比，前者比后者极端重要
表示上述相邻判断的中间值
若元素i与元素j的重要性之比为Pij,那么元素j与元素i重要性之比为Pij=1/Pij
注：
[参考文献552]
5.1.2建立层次分析模型
方案层
准则层
目标层
5.2.1定量基础上的方案选择——组合权重
首先，对用时、票价、安全性、舒适度、环保5个准则相对于交通方式选择的重要性进行比较，即相对于目标层、准则层的比较。
我们不妨假设，用时：
票价：
安全性：
舒适度：
环保=4：
3：
4：
2：
1。
其次，对4种交通方式高铁、普快、飞机、汽车就5个准则进行反复比较，即相对于目标层的比较。
我们不妨假设相对于用时，高铁：
普快：
飞机：
汽车=1：
1/2：
5；
相对于票价，高铁：
汽车=2：
1：
4；
相对于安全度，高铁：
:
1；
相对于舒适度，高铁：
相对于环保，高铁：
解决此类问题，为了保证公平性，我们首先对所有的比例关系（即权重）进行归一化处理。
5个准则之间的比较4：
1=4/14：
3/14：
4/14：
2/14：
1/14；
相对于用时，高铁：
5=2/19：
6/19：
1/19：
10/19；
4=2/10：
3/10：
1/10：
4/10;
相对于安全度，高铁：
1=2/6：
2/6：
1/6：
1/6；
1=1/4：
1/4：
1/4，然后进行组合即可。
高铁的组合权重：
4/14*2/19+3/14*2/10+4/14*2/6+2/14*2/6+1/14×
1/4=0.2790
普快的组合权重：
4/14*6/19+3/14*3/10+4/14*2/6+2/14*1/6+1/14*1/4=0.2892
飞机的组合权重：
4/14*1/19+3/14*1/10+4/14*1/6+2/14*2/6+1/14*1/4=0.1473
汽车的组合权重：
4/14*10/19+3/14*4/10+4/14*1/6+2/14*1/6+1/14*1/4=0.3231
显然，汽车为首选,
模型二定性基础上的方案选择——层次分析法
1.成对比较阵构造——定性向定量的转换
Saaty等人提出通过使用尺度1-9对定性关系进行量化，具体表示见表1。
量化后的全部结果可用成对比较矩阵表示。
交通方式选择问题中票价等5个准则可记为C1，C2，C3，C4，C5，用aij表示Ci和Cj对目标层O的重要性之比，即aij=Ci/Cj，显然aij=1/aji且aij>
0,即成对比较矩阵一定是正互反矩阵。
表2武广路线各交通工具比较表
交通方式
高铁
普快
汽车
飞机
里程（km）
1069
1255
873
票价（元）
490
140
341
930
运行时间（小时）
3.75
12.18
16.75
1.5
载客量（万人/天）
2.202
3.831
0.780
0.252
所有材料
电能
煤
汽油
柴油
（数据来源于XX百科）
通过表2的数据，用成对比较法对票价等准则进行定性的两辆比较，并使
用1~9尺度进行转化后，可得到成对比较矩阵。
同理，相对于票价、舒适度、环保、安全、用时、五个准则，飞机、汽车、普快、高铁的重要性也可以进行比较，从而得到成对比较阵：
2.计算权向量
若一个正反阵X满足xjk.xkj=xij（i,j,k=1,2,……，n），则X称为一致性
矩阵，可以证明n阶一致性X有系列性质：
①X的秩是1，X的唯一的非零特征根是n；
②对应于特征根n的特征向量的标准化向量的标准化向量，即为权向量。
实际建立的成对比较阵一般是非一致阵。
例如，矩阵A中C1：
C2=1：
2。
但当非一致性较小时，我们仍可以借助一致阵的性质，即一个接近于n的特征根所对应的特征向量标准化后，既可作为权向量。
利用MATLAB软件可计算成对比较阵A的最大特征根λ=5.0721，归一化的特征向量ω
（2）=（0.3980.1250.2650.0770.134）T就是第2层（准则层）对第一层（目标层）的权向量。
同理可以就成对比较阵B1B2B3B4B5进行类似的计算，从而得到所有的权重，我们将成为对比较阵Bk的最大特征根λk所对应的权向量ωk（3）的计算结果列入表3
K
2
4
ω（3）k
0.474
0.134
0.058
0.334
0.489
0.189
0.089
0.232
0.251
0.107
0.551
0.280
0.114
0.135
0.469
0.589
0.093
0.209
λk
4.0686
4.0248
4.0220
4.0310
4.0770
CIk
0.022
0.0082
0.0073
0.01
0.023
3、组合权向量
利用模型一，我们可以通过权重的组合就高铁，普快，飞机，汽车作出选择。
例如对于高铁组合权重可以用第3层对第2层权向量w的第1个分量与第2层对第1层的权向量w组合而成，即
0.398*0.334+0.125*0.125+0.265*0.551+0.077*0.469+0.134*0.209=0.371
同理，可以计算普列的组合权重为0.082，飞机的组合权重为0.417，汽车的组合权重0.124，计算结果表示，高铁应作为第一选择。
上述计算可以利用矩阵运算来表示，对于交通工具的选择，以w为列向量构成矩阵
W（3）=[ω1（3）ω（3）2ω3（3）ω4（3）ω（3）5]
则第3层对第1层的组合权向量为
ω（3）=w（3）*ω
（2）
4、一致性检验
前面讨论权向量求解的前提是非一致性较小时，那么怎样衡量所谓的较小呢
（1）单个矩阵的一致性检验
Saaty使用一致性指标CI=（λ-n）/（n-1）来衡量，CI=0是时，为一致阵；
CI越大，不一致程度越严重。
为了放宽高维矩阵的判断要求，引入随机一致性指标RI，其数值如下：
[参考文献554页]
n
1
6
8
RI
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
注：
RI由随机抽取数字1~9构造正互反矩阵，并求一致性指标的平均值而得。
用RI来修正CI，使用一致性比率CR=CI/RI<
0.1,作为一致性的衡量标准。
例如对于矩阵A可计算的，CI=（5.0721-5）/（5-1）=0.018,查表得RI=1.12，由此CR=0.016<
0.1,矩阵A一致阵检验通过。
类似A一致性通过。
（2）组合一致性检验
通过上面计算，各成对比较阵都已具有较为满意的一致性。
但当综合考察时，各层次的非一致性有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。
我们通过一致性检验加权重来解决这个问题，称为组合一致性检验。
组合一致性检验考虑了各准则的权重，相当于单一的一致性检验具有更好的科学性。
以选择交通方式为例，则有
第2层对第1层的组合一致性比率为CR（
（2）=0.016<
0.1
第3层对第2层的组合一致性比率为
CR（3）=CI（3）/RI（3）=[CI1（3）,CI2（3）,CI3（3）,CI4（3）,CI5（3）]ω
（2）/
[RI1（3）,RI2（3）,RI3（3）,RI4（3）,RI5（3）]ω
（2）
CI（3）=0.022*0.398+0.0082*0.125+0.0073*0.265+0.01*0.077+0.023*0.134
=0.015
RI（3）=0.9
CR（3）=0.016
CR*=CR
（2）+CR（3）=0.017+0.016=0.033<
可见整个层次的比较判断通过组合一致性检验。
说明上述电脑选购问题可以通过组合一致性检验，所作决策有一定的科学性
5.根据模糊决策求出各个指标的相对优属度
下面是各指标的判断标准：
指标类型
指标名称
判别标准
各方案指标计算和评价值
交通
方式
各项
指标
建设成本（亿元）
小者优
1166
96.76
110.2
23
载客量（万人）
舒适度
优者优
优
中
良
安全性
极差
（数据来源于XX百科）
对于评估交通方式中高铁利弊方案中5个指标，有2个定性指标，为了便于计算，必须对其量化处理，方法是定性指标的论域[0,1],采用线性隶属度数值｛0.2,0.4,0.6,0.8,1.0｝来描述定性指标的语言变量词集｛较差，差，中，良，优｝。
得到指标特征值矩阵：
11664902.2021.01.0
96.761403.8310.60.8
X=｛110.23410.7801.00.8｝
239300.2520.80.2
确定评价指标的相对优属度矩阵
（1）对于越大越优指标的特征值确定
取第i方案中第j指标的最大特征值的相对隶属度为1，取方案集中指标i的最小特征值的相对隶属度为0，可得相对优的相对隶属度公式：
yij=（xij-ximin）/（xmax-ximin）①
（2）对于越小越优的指标的特征值的确定取第i方案中第j指标的最小特征值的相对优属度为1，取方案集中指标i的最大特征值的相对优属度为0，可得相对隶属度的公式：
yij=（xmax-xij）/（ximax-ximin）②
用公式①②对上述矩阵X中的3个定量指标（即P1，P2，P3）的属性进行无量纲化处理，可得到评价指标的相对优属度矩阵：
00.55700.554811
Y={0.1736110.60.8}
0.92370.74560.147510.8
1000.80.2
0.398
0.125
{0.265}
0.077
00.55700.554811
Z=Y*Q={0.1736110.60.8}
0.92370.74560.147510.8
=（z1z2z3z4）T
=（0.42760.61250.68410.4864）T
比较z值大小可知，z3值最大，即飞机的值最大，表明在这四个交通工具中，飞机交通方式最好，普快次之，继后是汽车，高铁最不好，只有综合考虑四种方式的经济性、合理性、舒适性和安全性才能评出最优交通方式，从而得出高铁交通方式是利是弊。
六、模型改进
就模型一而言，知识凭个人主观意见把票价，用时，舒适度，安全性，环保这五个方面进行了比例划分，可能不具有普遍性，应通过调查对数据进行处理，得出一定的比例，从而进一步计算权向量，使结果更有说服力。
七、模型评价和推广
模型优点：
（1）运用定量基础上的方案选择——组合权重法，计算方便，简单易懂。
（2）通过利用数学工具和Matlab编程的方法，严格的对模型进行求解。
（3）建立的模型能与实际紧密联系起来，从而进行求解。
模型缺陷：
（1）未能搜集大量数据使之更具有说服力。
（2）模型以武广高铁为例，不具有全面性，模糊决策法运用的不够全面
模型推广：
层次分析法的整个过程条理清楚，有较强的成效性和可操作性，所以目前已被泛地应用于军事指挥，运输，农业，人才，医疗，环境等各个领域，层次分析法的应用让我们解决了很多看似很难很模糊的实际问题，从而更好的运用到实际生活中。
八、参考文献
[1]、张彩红，夏慧娟，数学模型甘肃：
甘肃文化出版社，2004年
[2]、任善强，雷鸣，数学建模（第二版）重庆：
重庆大学出版社，1998年
[3]、王莲芬，层次分析法引论，北京：
中国人民大学出版社，1990年
[4]、李洪学，工程模糊数学方法及应用，天津：
天津科技技术出版社，1991年
[5]戎笑，于德明，高职数学建模竞赛，北京：
清华大学出版社，2010年
[6]阮晓青，周义仓，数学建模引论（第一版），北京：
高等教育出版社，2005年
九、附件
一模型一中求各判断矩阵的特征值及特征向量的源程序
A=
1.00003.00002.00004.00003.0000
0.33331.00000.33332.00001.0000
0.50003.00001.00003.00002.0000
0.25000.50000.33331.00000.5000
0.33331.00000.50002.00001.0000
B1=
1.00003.00007.00002.0000
0.33331.00003.00000.3333
0.14290.33331.00000.1429
0.50003.00007.00001.0000
B2=
1.00003.00005.00002.0000
0.33331.00002.00001.0000
0.20000.50001.00000.3333
0.50001.00003.00001.0000
B3=
1.00002.00003.00000.5000
0.50001.00001.00000.2000
0.33331.00001.00000.1429
2.00005.00007.00001.0000
B4=
1.00003.00002.00000.5000
0.33331.00001.00000.2500
0.50001.00001.00000.3333
2.00004.00003.00001.0000
B5=
1.00008.00006.00002.0000
0.12501.00001.00000.5000
0.16671.00001.00000.6667
0.50002.00001.50001.0000
>
[d,v]=eig（A）
d=
Columns1through4
-0.76830.73570.73570.8142
-0.2423-0.2451-0.0411i-0.2451+0.0411i0.1109-0.1199i
-0.51100.0119+0.6084i0.0119-0.6084i-0.3473-0.1406i
-0.15060.0477-0.1298i0.0477+0.1298i-0.1448-0.0945i
-0.2591-0.0735-0.0466i-0.0735+0.0466i0.0346+0.3727i
Column5
0.8142
0.1109+0.1199i
-0.3473+0.1406i
-0.1448+0.0945i
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v=
5.0721000
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00-0.0073-0.5906i0
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0000
Column5
0
-0.0287-0.1220i
[d,v]=eig（B1）
0.79190.82120.8212-0.7350
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000-0.0281
[d,v]=eig（B2）
0.84250.76250.76250.9537
0.3267-0.0699
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