专练十 材料阅读数论解析版中考数学双减改革重点题型专练Word文件下载.docx

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79＝4819，∴p＝48，q＝19．若A与B的十位数字之和能被5整除，且2p+q能被比B的个位数字大10的数整除，求所有满足条件的自然数N．

（1）∵297＝11×

27，

∵11和27的十位数字相差1，但个位数字1+7≠10，

∴297不是“双十数”．

∵875＝25×

35，25和35十位数字相差1，且个位数字5+5＝10，

∴875是“双十数”；

（2）∵A与B的十位数字之和能被5整除，由“双十数”的定义可知：

A的十位数字和B的十位数字分别为2，3或7，8，

①A的十位数字和B的十位数字分别为2，3时，

设B的个位数字为x，则A的个位数字为10﹣x，则A为20+10﹣x＝30﹣x，B为30+x，

则N＝（30﹣x）（30+x）＝900﹣x2，

∵0＜x＜10且x为整数，

∴0＜x2＜100，

∴800＜900﹣x2＜900，

∴p＝8，q＝900﹣x2﹣800＝100﹣x2，

∴2p+q＝2×

8+100﹣x2＝116﹣x2，

∵2p+q能被比B的个位数字大10的数整除，

∴

为整数，

＝

＝10﹣x+

，

∵10﹣x为整数，

∴只需

∴x+10＝16，

解得x＝6，

∴A为30﹣6＝24，B为30+6＝36，

∴N为24×

36＝864；

②A的十位数字和B的十位数字分别为7，8时，

设B的个位数字为y，则A的个位数字为10﹣y，则A为70+10﹣y＝80﹣y，B为80+y，

则N＝（80﹣y）（80+x）＝6400﹣y2，

∵0＜y＜10且y为整数，

∴0＜y2＜100，

∴6300＜6400﹣y2＜6400，

∴p＝63，q＝6400﹣y2﹣6300＝100﹣y2，

63+100﹣y2＝226﹣y2，

＝10﹣y+

∵10﹣y为整数，

∴y+10＝14或18，

解得y＝4或8，

∴A为80﹣4＝76，B为80+4＝84或A为80﹣8＝72，B为80+8＝88，

∴N为76×

84＝6384或72×

88＝6336．

综上所述，所有满足条件的自然数N为864或6384或6336．

3．如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的差为1，那么称M为“和差数”．“和差数”M的千位数字的二倍与个位数字的和记为P（M），百位数字与十位数字的和记为F（M），令G（M）＝

，当G（M）为整数时，则称M为“整和差数”．

∵6342满足6+4＝10，3﹣2＝1，

且P（6342）＝14，F（6342）＝7，即G（6342）＝2为整数，

∴6342是“整和差数”．

又如∵4261满足4+6＝10，2﹣1＝1，

但P（4261）＝9，F（4261）＝8，即G（4261）＝

不为整数，

∴4261不是“整和差数”．

（1）判断7736，5352是否是“整和差数”？

并说明理由．

（2）若M＝2000a+1000+100b+10c+d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9且a、b、c、d均为整数）是“整和差数”，求满足条件的所有M的值．

（1）∵7736满足7+3＝10，7﹣6＝1，

且P（7736）＝20，F（7736）＝10，即G（7736）＝2为整数，

∴7736是“整和差数”；

∵5352满足5+5＝10，3﹣2＝1，

但P（5352）＝12，F（5352）＝8，即G（5352）＝1.5不为整数，

∴5352不是“整和差数”；

（2）∵M＝2000a+1000+100b+10c+d＝1000×

（2a+1）+100×

b+10c+d，

∴M的千位数字为（2a+1），百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，

∵M是“整和差数”，

∴d＝b﹣1，c＝9﹣2a，

①当a＝1时，

不为整数；

②当a＝2时，

③当a＝3时，

∴b+3＝5或10，即b＝2或7，

∴M的值为7231，7736；

④当a＝4时，

∴b+1＝4或8，即b＝3或7，

∴M的值为9312，9716．

综上所述，M的值为7231，7736，9312，9716．

4．对于任意实数a，b，定义一种新运算，记为a⊗b，当a≤b时，a⊗b＝a+b；

当a＞b时，a⊗b＝a2﹣b2+4．（等号右边皆为通常的加法、减法和乘法）例如：

对于2⊗3，因为2＜3，所以2⊗3＝2+3＝5；

对于5⊗2，因为5＞2，所以5⊗2＝52﹣22+4＝25．

（1）求[（﹣1）⊗4]⊗（﹣

）的值；

（2）若x，y为非负整数，且x2﹣y2≤30，四位数M的百位数字为x，十位数字为y，千位数字比百位数字小1，个位数字是十位数字的2倍，且（3x﹣y）⊗（3y﹣x）能被7整除，求满足条件的所有M．

（1）根据题意：

[（﹣1）⊗4]⊗（﹣

）

＝（﹣1+4）⊗（﹣

＝3⊗（﹣

＝32﹣（﹣

）2+4

＝12

；

（2）由题意得：

个位数字为2y，千位数字为（x﹣1），

∵千位数字不能为0，

∴x﹣1≥0，解得x≥2，

∵个位数字2y＜10，

∴y＜5，

分两种情况讨论：

①（3x﹣y）≤（3y﹣x），解得：

x≤y，

∴①（3x﹣y）⊗（3y﹣x）

＝3x﹣y+3y﹣x

＝2（x+y），

当x+y＝7时，

（不合题意，舍去），

符合题意；

∴M的值为：

2348；

当x+y＝14时，x≤y＜5不合题意；

②（3x﹣y）＞（3y﹣x），解得：

x＞y，

∴（3x﹣y）⊗（3y﹣x）

＝（3x﹣y）2﹣（3y﹣x）2

＝8（x2﹣y2）+4

＝7（x2﹣y2）+（x2﹣y2）+4，

∴x2﹣y2+4能够被7整除，而x2﹣y2≤30，

∴x2﹣y2＝3，即（x+y）（x﹣y）＝3，（其余情况不合题意），

∴x＝2，y＝1，

1212；

综上，M的值为：

2348或1212．

5．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×

B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“等十数”，并把数M分解成M＝A×

B的过程，称为“巧拆分”．

∵616＝28×

22，28和22的十位数字相同，个位数字之和为10，∴616是“等十数”．

∵272＝17×

16，17和16的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴272不是“等十数”．

（1）判断195，624是否是“等十数”？

（2）把一个四位“等十数”M进行“巧拆分”，即M＝A×

B，A的各个数位数字之和与B的各个数位之和的和记为E（M），A的各个数位数字之和与B的各个数位之和的差的绝对值记为F（M）令G（M）＝

，当G（M）能被5整除时，求出所有满足条件的M．

（1）∵195＝13×

15，

∵13和15十位数字相同，但个位数字3+5≠10，

∴195不是“等十数”．

∵624＝24×

26，24和26十位数字相同，且个位数字4+6＝10，

∴624是“等十数”．

（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，

∵M的个位数字不为0，且M是一个四位“等十数”，

∴3≤m≤9，1≤n≤9，

则A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，

∴E（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，F（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|．

（k是整数）．

∵3≤m≤9，

∴8≤m+5≤14，

∵k是整数，

∴m+5＝10，

或

∴当m＝5时，n＝6或4，当m＝5时，n＝7或3，

∴M＝A×

B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝56×

54＝3024或M＝A×

B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝57×

53＝3021，

综上，满足条件的M有：

3024，3021．

6．若一个四位数t的前两位数字相同且各位数字均不为0，则称这个数为“前介数”；

若把这个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数，则称这个新的四位数为“中介数”；

记一个“前介数”t与它的“中介数”的差为P（t）．例如，5536前两位数字相同，所以5536为“前介数”；

则6553就为它的“中介数”，P（5536）＝5536﹣6553＝﹣1017．

（1）P（2215）＝　﹣3006　，P（6655）＝　990　．

（2）求证：

任意一个“前介数”t，P（t）一定能被9整除．

（3）若一个千位数字为2的“前介数”t能被6整除，它的“中介数”能被2整除，请求出满足条件的P（t）的最大值．

（1）P（2215）＝2215﹣5221＝﹣3006，P（6655）＝6655﹣5665＝990．

故答案为：

﹣3006，990；

（2）证明：

设任意一个“前介数”t为

则P（t）＝1100a+10b+c﹣（1000c+110a+b）＝990a+9b﹣999c＝9（110a+b﹣111c），

则P（t）一定能被9整除；

（3）∵一个千位数字为2的“前介数”t能被6整除，它的“中介数”能被2整除，

∴这个“前介数”t为2226或2244或2262或2268或2286，

∴P（2226）＝2226﹣6222＝﹣3996，

P（2244）＝2244﹣4224＝﹣1980，

P（2262）＝2262﹣2226＝36，

P（2268）＝2268﹣8226＝﹣5958，

P（2286）＝2286﹣6228＝﹣3942，

∴满足条件的P（t）的最大值是36．

7．材料一：

如果一个自然数右边的数字总比左边的数字大，我们称它为“上升数”．如果一个三位“上升数”满足百位数字与十位数字之和等于个位数字，那么称这个数为“完全上升数”．例如：

A＝123，满足1＜2＜3，且1+2＝3，所以123是“完全上升数”；

B＝346，满足3＜4＜6．且3+4≠6，所以346不是“完全上升数”．

材料二：

对于一个“完全上升数”m＝100a+10b+c（1≤a＜b＜c≤9且a，b，c为整数）交换其百位和个位数字得到新数m′＝100c+10b+a，规定：

F（m）＝

．

m＝123为“完全上升数”m′＝321，F（m）＝

＝6．

（1）判断“上升数168，235是否为“完全上升数”，并说明理由．

（2）若m是“完全上升数”，且m与m′的和能被7整除，求F（m）的值．

（1）∵1+6＝7≠8，2＜3＜5，2+3＝5，

∴168不是“完全上升数”，235是“完全上升数”．

（2）∵m＝100a+10b+c，m′＝100c+10b+a，

∴m+m′＝101a+20b+101c．

∵m是”完全上升数“，

∴a+b＝c．

∴m+m′＝101a+20b+101a+101b＝202a+121b．

m′﹣m＝99b．

∵202÷

7＝28•••6，121÷

7＝17•••2．

∴当6a+2b能被7整除时，m+m′能被7整除．

∴当a＝1，b＝4时，6a+2b＝14符合题意，m′﹣m＝99×

4＝396．

∴F（m）＝

＝12．

当a＝3，b＝5时，6a+2b＝28符合题意，m′﹣m＝99×

5＝495．

＝15．

∴F（m）＝12或15．

8．对于任意一个三位正整数m，如果m满足百位上的数字小于个位上的数字，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数m为“时空伴随数”，用“时空伴随数”m的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为F（m）．例如：

m＝143，满足1＜3，且1+3＝4，所以143是“时空伴随数”，则F（143）＝42﹣32﹣12＝6；

m＝395，满足3＜5，但是3+5≠9，所以395不是“时空伴随数”；

再如：

m＝352，满足3+2＝5，但是3＞2，所以352不是“时空伴随数”．

（1）判断264和175是不是“时空伴随数”？

（2）若t是“时空伴随数”，且t的3倍与t的十位数字之和能被7整除，求满足条件的“时空伴随数”t以及F（t）的最大值．

（1）264是“时空伴随数”，175不是“时空伴随数”，理由如下：

∵2＜4且2+4＝6，

∴264是“时空伴随数”．

∵1＜5但是1+5≠7，

∴175不是“时空伴随数”．

（2）∵t是“时空伴随数”，

∴设t＝a×

100+（a+b）×

10+b，

（1≤a≤4，2≤b≤8，3≤a+b≤9，a＜b，a，b均为整数）．

∴3t+（a+b）＝331a+34b＝7（47a+5b）+2a﹣b能被7整除．

∴2a﹣b是7的倍数，

∵1≤a≤4，2≤b≤8，3≤a+b≤9，a＜b，

∴﹣6≤2a﹣b≤6，

∴2a﹣b＝0，

或

t＝132，264，396，

F（132）＝32﹣22﹣12＝4，

F（264）＝62﹣42﹣22＝16，

F（396）＝92﹣62﹣32＝36，

∵4＜16＜36，

∴F（t）的最大值为36．

9．若在一个两位正整数N的个位数与十位数字之间添上数字6，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“君子数”，如34的“君子数”为364；

若将一个两位正整数M加6后得到一个新数，我们称这个新数为M的“淑女数”，如32的“淑女数”为38．

（1）35的“君子数”是　365　，“淑女数”是　41　．

对任意一个两位正整数A，其“君子数”与“淑女数”之差能被18整除；

（3）若一个两位正整数B的“淑女数”的各位数字之和是B的“君子数”各位数字之和的

，求B的值．

（1）根据题意得，35的“君子数”是365，“淑女数”是41，

365，41；

（2）设一个正整数A的个位数字为b，十位数字为a（0≤a≤9，0＜b≤9，且a，b为整数），

则正整数A，其“君子数”为100a+60+b，它的“淑女数”为10a+b+6，

∴正整数A的“君子数”与“淑女数”之差为（100a+60+b）﹣（10a+b+6）＝90a+54＝18（5a+3），

∵a为整数，

∴18（5a+3）能被18整除；

即任意一个两位正整数A，其“君子数”与“淑女数”之差能被18整除；

（3）设一个正整数B的个位数字为m，十位数字为n（0≤m≤9，0＜n≤9，且m，n为整数），

∴正整数B的“君子数”为100n+60+m，其各位数字之和为m+n+6，

①当0≤m＜4时，正整数B的“淑女数”的各位数字之和为m+n+6，

此时，正整数B的“淑女数”和“君子数”的各位的数字之和相等，不符合题意，

②当4≤m≤9时，正整数B的“淑女数”的各位数字之和为n+1+（m+6﹣10）＝m+n﹣3，

∵正整数B的“淑女数”的各位数字之和是B的“君子数”各位数字之和的

∴m+n﹣3＝

（m+n+6），

∴m+n＝6，

∵4≤m≤9，0＜n≤9，

∴当m＝4时，n＝2，

当m＝5时，n＝1，

当m＝9，n＝9时，正整数B的“淑女数”的各位数字之和为6，

正整数B的“君子数”为900+60+9，其各位数字之和为24，

符合正整数B的“淑女数”的各位数字之和是B的“君子数”各位数字之和的

∴正整数B为24或15或99．

10．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．

定义：

对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．

426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；

643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．

（1）判断312，675是否是“好数”？

（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．

（1）312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且3+1＝4，4能被2整除，

675不是“好数”，因为6+7＝13，13不能被5整除；

（2）611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：

设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），

∴a+a+5＝2a+5，

当a＝1时，2a+5＝7，

∴7能被1，7整除，

∴满足条件的三位数有611，617，

当a＝2时，2a+5＝9，

∴9能被1，3，9整除，

∴满足条件的三位数有721，723，729，

当a＝3时，2a+5＝11，

∴11能被1整除，

∴满足条件的三位数有831，

当a＝4时，2a+5＝13，

∴13能被1整除，

∴满足条件的三位数有941，

即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．

11．如果一个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差（较大数减较小数）能被13整除，那么我们就称这个自然数为“幸运数”．例如，对于自然数383357，因为383﹣357＝26，26能被13整除，所以383357是“幸运数”．

（1）判断82121和254154是否为“幸运数”，请说明理由；

（2）已知1≤x≤9，0≤y≤5，且x、y为整数，若2x+y能被13整除，求x、y的值．

思路分析：

根据题意可得2≤2x+y≤23，若2x+y能被13整除，则2x+y＝13，所以0≤13﹣2x≤5，解得4≤x≤

，…

请根据这个思路直接写出x、y的值为，　

　；

（3）若一个四位自然数，千位数字与百位数字相同，十位数字与个位数字相同，并且它是“幸运数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．

（1）82121是“幸运数”，254154不是“幸运数”；

理由：

∵121﹣82＝39，能被13整除，

∴82121是“幸运数”，

∵254﹣154＝100，不能被13整除，

∴254154不是“幸运数”；

（2）∵1≤x≤9，0≤y≤5，

∴2≤2x+y≤23，

∵2x+y能被13整除，则2x+y＝13，

∴y＝13﹣2x，

∵0≤y≤5，

∴0≤13﹣2x≤5，

∴4≤x≤

∵1≤x≤9，x为整数，

∴x＝4或5或6，

即

（3）设这个四位数的千位数字为a，十位数字为b（1≤a≤9，0≤b≤9，a，b均为整数），

由题意知，100a+10b+b﹣a＝99a+11b能被13整除，

∵99a+11b＝104a+13b﹣5a﹣2b＝13（8a+b）﹣（5a+2b），

∴5a+2b能被13整除，

∵1≤a≤9，0≤b≤9，

∴5≤5a+2b≤63，

∴5a+2b＝13或26或39或52，

∴这个四位自然数为1144或2288或4433或5577或7722或8866，

∴最大数为886，最小为1144，

即满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为8866﹣1144＝7722．

12．若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，得

＝n，即a＝bn，例如：

若整数a能99整除，则一定存在整数n，使得

＝n，即a＝99n将一个数从最后两位开始，两位一截所得的所有数（如果有偶数个数位，则拆出的数都是两位数：

如果有奇数个数位，则拆出的数中有若干个两位数和一个一位数）的和能被99整除，那么原数一定能被99整除．例如：

自然数202106，先分成20，21，06，因为20+21+6＝47，47不能被99整除，故202106不能被99整除；

自然数4173543，先分成4，17，35，43，因为4+17+35+43＝99，99能被99整除，故4173543能被99整除．一个能被99整除的自然数我们称为“完美数”．

（1）自然数264033　能　被99整除，5201314　不能　被99整除；

（请填入“能”或者“不能”）

满足上述规律的四位数是“完美数”；

（3）若五位整数

能被99整除，请求出所有符合要求的五位整数．

（1）自然数264033，

先分成26，40，33，因为26+40+33＝99，99能被99整除，故264033能被99整除；

自然数5201314，

先分成5，20，13，14，因为5+20+13+14＝52，52不能被99整除，故5201314不能被99整除；

故答案为能，不能；

（2）设满足上述规律的四位数为

（0＜c≤9，0≤d≤9，0≤e≤9，0≤f≤9，且为整数），

先分成

+

＝10c+d+10e+f，

∵10c+d+10e+f能被99整除，

设10c+d+10e+f＝99n（n为正整数），

∴10e+f＝99n﹣（10c+d），

则

＝1000c+100d+10e+f

＝1000c+100d+99n﹣（10c+d）

＝990c+99d+99n

＝99（10c+d+n），

∵c，d，n为整数，

∴99（10c+d+n）能被99整除，

∴四位数为

能被99整除，

即满足上述规律的四位数是“完美数”；

（3）∵五位整数

能被99整除，先分成4，

∴4+

＝4+10+b+70+a＝a+b+84能被99整除，

∵0≤a≤9，0≤b≤9，