Function 函数Word文档格式.docx
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如果X到Y的二元关系f&
Iacute;
X×
Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得<
x,y>
∈f，则称f为X到Y的函数，记做：
f:
X→Y。
当X=X1×
…×
Xn时，称f为n元函数。
其特点：
前域和定义域重合；
单值性：
<
∈f∧<
x,y’>
∈f→y=y’
编辑本段
定义域、对映域和值域
输入值的集合X被称为f
的定义域；
可能的输出值的集合Y被称为f
的
陪域。
函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f
得到的实际输出值的集合。
注意，把对映域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对映域的子集。
计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对映域。
因此定义域和对映域是函数一开始就确定的强制约束。
另一方面，值域和实际的实现有关。
单射、满射与双射函数
单射函数，将不同的变量映射到不同的值。
即：
若x和y属于定义域，则仅当x=y时有f（x）=f（y）。
满射函数，其值域即为其对映域。
对映射f的对映域中之任意y，都存在至少一个x满足f（x）=y。
双射函数，既是单射的又是满射的。
也叫一一对应。
双射函数经常被用于表明集合X和Y是等势的，即有一样的基数。
如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。
三角函数
三角函数（Trigonometric），是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
它包含六种基本函数：
正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
像和原象
元素x∈X在f
的像
就是f（x）。
子集A⊂X
在f
的像是以其元素的像组成Y的子集，即
f（A）:
={f（x）:
x∈A}。
注意f
的值域就是定义域X
的像f（X）。
在我们的例子里，{2,3}在f
的像是f（{2,3}）={c,d}而f
的值域是{c,d}。
根据此定义，f
可引申成为由X
的幂集（由X
的子集组成的集）到Y
的幂集之函数，亦记作f。
子集B⊂Y在f
的原像（或逆像）是如下定义X的子集：
f−1（B）:
={x∈X:
f（x）∈B}。
在我们的例子里，{a,b}的原像是f
−1（{a,b}）={1}。
−1是由Y的幂集到X的幂集之函数。
以下是f
及f
−1的一些特性：
f（A1∪A2）=f（A1）∪f（A2）.
f（A1∩A2）⊆f（A1）∩f（A2）.f−1（B1∪B2）=f−1（B1）∪f−1（B2）.f−1（B1∩B2）=f−1（B1）∩f−1（B2）.f（f−1（B））⊆B.f−1（f（A））⊇A.这些特性适合定义域的任意子集A,
A1及A2和输出值域的任意子集B,
B1及B2，甚至可推广到任意子集群的交集和并集。
函数图像
函数f
的图像是平面上点对（x,f（x））的集合，其中x取定义域上所有成员的。
函数图像可以帮助理解证明一些定理。
如果X
和Y
都是连续的线，则函数的图像有很直观表示
注意两个集合X
的二元关系有两个定义：
一是三元组（X,Y,G），其中G
是关系的图；
二是索性以关系的图定义。
用第二个定义则函数f
等于其图象。
函数的性质
函数的有界性
设函数f（x）的定义域为D，数集X包含于D。
如果存在数K1，使得f（x）＜=K1对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有上界，而K1称为函数f（x）在X上的一个上界。
如果存在数K2，使得f（x）>
=K2对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有下界，而K2称为函数f（x）在X上的一个下界。
如果存在正数M，使得|f（x）|<
=M对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f（x）在X上无界。
函数f（x）在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。
函数的单调性
设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。
如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<
x2时，恒有f（x1）<
f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调增加的；
x2时，恒有f（x1）>
f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调减少的。
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
函数的奇偶性
设f（x）为一个实变量实值函数，则f为奇函数若下列的方程对所有实数x都成立：
f（x）=−
f（−
x）或
x）=−
f（x）几何上，一个奇函数对原点对称，亦即其图在绕原点做180度旋转后不会改变。
奇函数的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。
设f（x）为一实变量实值函数，则f为偶函数若下列的方程对所有实数x都成立：
f（x）=
x）几何上，一个偶函数会对y轴对称，亦即其图在对y轴为镜射后不会改变。
偶函数的例子有|x|、x、x^2、cos（x）和cosh（sec）（x）。
偶函数不可能是个双射映射。
函数的周期性
狄利克雷函数
设函数f（x）的定义域为D。
如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有（x士l）∈D，且f（x+l）=f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，l称为f（x）的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。
并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函数。
函数的连续性
在数学中，连续是函数的一种属性。
直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。
如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
设f
是一个从实数集的子集射到的函数：
。
f
在中的某个点c
处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：
f
在点c
上有定义。
c
是中的一个聚点，并且无论自变量x
在中以什么方式接近c，f（x）的极限都存在且等于f（c）。
我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。
更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。
不用极限的概念，也可以用下面所谓的方法来定义实值函数的连续性。
仍然考虑函数。
假设c是f的定义域中的元素。
函数f被称为是在c
点连续当且仅当以下条件成立：
对于任意的正实数，存在一个正实数δ>
0使得对于任意定义域中的，只要x满足c−δ<
x<
c+δ，就有成立。
实函数或虚函数
实函数（Realfunction），指定义域和值域均为实数域的函数。
实函数的特性之一是可以在座标上画出图形。
虚函数是面向对象程序设计中的一个重要的概念。
当从父类中继承的时候，虚函数和被继承的函数具有相同的签名。
但是在运行过程中，运行系统将根据对象的类型，自动地选择适当的具体实现运行。
虚函数是面向对象编程实现多态的基本手段。
函数概念的发展历史
1.早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽俐略（G．Galileo，意，1564－1642）在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔（Descartes，法，1596－1650）在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。
与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系。
2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数
1718年约翰•贝努利（JohannBernoulli，瑞，1667－1748）在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：
“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。
”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。
1755，欧拉（L．Euler，瑞士，1707－1783）把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。
”
18世纪中叶欧拉（L．Euler，瑞，1707－1783）给出了定义：
“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。
”他把约翰•贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。
不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰•贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数
1821年，柯西（Cauchy，法，1789－1857）从定义变量起给出了定义：
“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。
”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。
不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
1822年傅里叶（Fourier，法国，1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。
1837年狄利克雷（Dirichlet，德，1805－1859）突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：
“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。
”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。
这就是人们常说的经典函数定义。
等到康托（Cantor，德，1845－1918）创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦（Veblen，美，1880－1960）用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。
4.现代函数概念──集合论下的函数
1914年豪斯道夫（F．Hausdorff）在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。
库拉托夫斯基（Kuratowski）于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。
1930年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合Ｎ确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）。
元素x称为自变元，元素y称为因变元。
特殊的函数
反函数
一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=f（y）.若对于y在C中的任何一个值，通过x=f（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=f（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=f（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作x=f^-1（y）.反函数y=f^-1（x）的定义域、值域分别是函数y=f（x）的值域、定义域.
说明：
⑴在函数x=f^-1（y）中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1（y）中的字母x,y，把它改写成y=f^-1（x），今后凡无特别说明，函数y=f（x）的反函数都采用这种经过改写的形式.
⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义.从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f（x）来说，不一定有反函数，若函数y=f（x）有反函数y=f^-1（x），那么函数y=f^-1（x）的反函数就是y=f（x），这就是说，函数y=f（x）与y=f^-1（x）互为反函数.
⑶从映射的定义可知，函数y=f（x）是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1（x）是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f（x）的定义域正好是它的反函数y=f^-1（x）的值域；
函数y=f（x）的值域正好是它的反函数y=f^-1（x）的定义域（如下表）：
函数y=f（x）反函数y=f^-1（x）
定义域AC
值域CA
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
若确定函数y=f（x）的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1（x）就叫做函数y=f（x）的反函数.反函数x=f^-1（x）的定义域、值域分别是函数y=f（x）的值域、定义域.
开始的两个例子：
s=vt记为f（t）=vt,则它的反函数就可以写为f^-1（t）=t/v，同样y=2x+6记为f（x）=2x+6，则它的反函数为：
f^-1（x）=x/2-3.
有时是反函数需要进行分类讨论，如：
f（x）=X+1/X，需将X进行分类讨论：
在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。
一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d（a/c不等于b/d）--y=b-dx/cx+a
反函数的应用：
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的
1.先求出原函数的值域，因为原函数的值域就是反函数的定义域
（我们知道函数的三要素是定义域，值域，对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步）
2.反解x，也就是用y来表示x
3.改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x
4.写出反函数及其定义域
就关系而言，一般是双向的，函数也如此，设y＝f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）＝y，这是一个由y找x的过程，即x成了y的函数，记为x＝f-1（y）。
则f-1为f的反函数。
习惯上用x表示自变量，故这个函数仍记为y＝f-1（x），例如y＝sinx与y＝arcsinx互为反函数。
在同一坐标系中，y＝f（x）与y＝f-1（x）的图形关于直线y＝x对称。
隐函数
若能由方程F（x，y）＝0确定y为x的函数y＝f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数。
此处为方程F（x,y）=0并非函数。
思考：
隐函数是否为函数？
不是，因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”。
多元函数
设点（x1，x2，…，xn）∈G&
Rn，U&
R1，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的u∈U与之对应：
f：
G→U，u＝f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。
基本初等函数及其图像
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。
①幂函数：
y＝xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：
μ为正整数时为（－∞，＋∞），μ为负整数时是（－∞，0）∪（0，＋∞）；
μ＝α（为整数），当α是奇数时为（－∞，＋∞），当α是偶数时为（0，＋∞）；
μ＝p／q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。
略图如图2、图3。
②指数函数：
y＝ax（a＞0，a≠1），定义成为（－∞，＋∞），值域为（0，＋∞），a＞1时是严格单调增加的函数（即当x2＞x1时，），0＜a＜1时是严格单减函数。
对任何a，图像均过点（0，1），注意y＝ax和y＝（）x的图形关于y轴对称。
如图4。
③对数函数：
y＝logax（a＞0），称a为底，定义域为（0，＋∞），值域为（－∞，＋∞）。
a＞1时是严格单调增加的，0＜a＜1时是严格单减的。
不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数。
如图5。
以10为底的对数称为常用对数，简记为lgx。
在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。
④三角函数：
见表2。
正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。
⑤反三角函数：
见表3。
双曲正、余弦如图8。
⑥双曲函数：
双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦?
（ex＋e-x），双曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x），双曲余切（ex＋e-x）／（ex－e-x）。
按照未知数次数分类
一次函数
I、定义与定义式：
自变量x和应变量y有如下关系：
y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
则称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
II、一次函数的性质：
y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即△y/△x=k
III、一次函数的图象及性质：
1．作法与图形：
通过如下3个步骤
（1）列表（一般找4-6个点）；
（2）描点；
（3）连线，可以作出一次函数的图象。
（用平滑的直线连接）
2．性质：
在一次函数图象上的任意一点P（x，y），都满足等式：
y=kx+b。
3．k，b与函数图象所在象限。
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；
当k＜0时，直线只通过二、四象限。
IV、确定一次函数的表达式：
已知点A（x1，y1）；
B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：
y1=kx1+b①和y2=kx2+b②。
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
V、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过（0,b）和（-b/k,0）两点
VI、一次函数在生活中的应用
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
设水池中原有水量S。
g=S-ft。
反比例函数
形如y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的图像为双曲线。
如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。
二次函数
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a≠0）
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>
0时，开口方向向上，a<
0时，开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。
）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数
二次函数的三种表达式
一般式：
y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：
y=a（x-h）^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]对于二次函数y=ax^2+bx+c其顶点坐标为（-b/2a,（4ac-b^2）/（4a））
交点式：
y=a（x-x₁）（x-x₂）[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]
其中x1，2=（-b±
√（b^2－4ac））/（2a）
注：
在3种形式的互相转化中，有如下关系:
______
h=-b/（2a）k=（4ac-b^2）/（4a）x₁,x₂=（-b±
√b^2-4ac）/2a
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
二次函数标准画法步骤
（在平面直角坐标系上）
（1）列表
（2）描点
（
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