《概率与统计》习题答案复旦大学Word文档下载推荐.docx
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故
（2）由分布律的性质知
即.
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：
（1）两人投中次数相等的概率;
（2）甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b（3,0.7）
（1）
+
（2）
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01（每条跑道只能允许一架飞机降落）？
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b（200,0.02），设机场需配备N条跑道，则有
即
利用泊松近似
查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？
【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.
【解】设在每次试验中成功的概率为p，则
所以.
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，
（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；
（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.
（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）
（2）令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.
（1）
（2）
11.设P{X=k}=,k=0,1,2
P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，试求P{Y≥1}.
【解】因为，故.
而
故得
从而
12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b（2000,0.001）.利用泊松近似计算,
得
13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.
【解】
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：
（1）保险公司亏本的概率;
（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
【解】以“年”为单位来考虑.
（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×
12=30000元.
设1年中死亡人数为X，则X~b（2500,0.002），则所求概率为
由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有
（2）P（保险公司获利不少于10000）
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P（保险公司获利不少于20000）
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量X的密度函数为
f（x）=Ae-|x|,-∞<
x<
+∞,
求：
（1）A值；
（2）P{0<
X<
1};
（3）F（x）.
（1）由得
故.
（3）当x<
0时，
当x≥0时，
16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为
f（x）=
（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；
（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；
（3）F（x）.
100时F（x）=0
当x≥100时
17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.
【解】由题意知X~∪[0,a]，密度函数为
故当x<
0时F（x）=0
当0≤x≤a时
当x>
a时，F（x）=1
即分布函数
18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.
【解】X~U[2,5]，即
故所求概率为
19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.
【解】依题意知，即其密度函数为
该顾客未等到服务而离开的概率为
即其分布律为
20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；
第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.
（1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？
（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？
（1）若走第一条路，X~N（40，102），则
若走第二条路，X~N（50，42），则
++
故走第二条路乘上火车的把握大些.
（2）若X~N（40，102），则
若X~N（50，42），则
故走第一条路乘上火车的把握大些.
21.设X~N（3，22），
（1）求P{2<
X≤5}，P{-4<
X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};
（2）确定c使P{X＞c}=P{X≤c}.
（2）c=3
22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±
0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.
23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？
24.设随机变量X分布函数为
F（x）=
（1）求常数A，B；
（2）求P{X≤2}，P{X＞3}；
（3）求分布密度f（x）.
（1）由得
25.设随机变量X的概率密度为
求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.
【解】当x<
1时
2时
当x≥2时
26.设随机变量X的密度函数为
（1）f（x）=ae-l|x|,λ>
0;
（2）f（x）=
试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.
（1）由知
即密度函数为
当x≤0时
0时
故其分布函数
（2）由
得b=1
即X的密度函数为
当x≤0时F（x）=0
当0<
当x≥2时F（x）=1
故其分布函数为
27.求标准正态分布的上分位点，
（1）=0.01，求;
（2）=0.003，求，.
（2）由得
查表得
由得
28.设随机变量X的分布律为
X-2-1013
Pk1/51/61/51/1511/30
求Y=X2的分布律.
【解】Y可取的值为0，1，4，9
故Y的分布律为
Y0149
Pk1/57/301/511/30
29.设P{X=k}=（）k,k=1,2,…,令
求随机变量X的函数Y的分布律.
30.设X~N（0，1）.
（1）求Y=eX的概率密度；
（2）求Y=2X2+1的概率密度；
（3）求Y=｜X｜的概率密度.
（1）当y≤0时，
当y>
当y≤1时
当y≤0时
31.设随机变量X~U（0,1），试求：
（1）Y=eX的分布函数及密度函数；
（2）Z=-2lnX的分布函数及密度函数.
当时
当1<
y<
e时
当y≥e时
故Y的密度函数为
（2）由P（0<
1）=1知
当z≤0时，
当z>
故Z的密度函数为
32.设随机变量X的密度函数为
试求Y=sinX的密度函数.
当y≤0时，
1时，
当y≥1时，
33.设随机变量X的分布函数如下：
试填上
（1）,
（2）,（3）项.
【解】由知②填1。
由右连续性知，故①为0。
从而③亦为0。
即
34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.
【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。
（i=1,2）,P（Ai）=.且A1与A2相互独立。
再设C={每次抛掷出现6点}。
则
故抛掷次数X服从参数为的几何分布。
35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9?
【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则
X~b（n,0.1）
得n≥22
即随机数字序列至少要有22个数字。
36.已知
则F（x）是（）随机变量的分布函数.
（A）连续型；
（B）离散型；
（C）非连续亦非离散型.
【解】因为F（x）在（-∞,+∞）上单调不减右连续，且
所以F（x）是一个分布函数。
但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。
选（C）
37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f（x）=sinx，而在[a,b]外，f（x）=0，则区间[a,b]等于（）
（A）[0,π/2];
（B）[0,π];
（C）[-π/2,0];
（D）[0,].
【解】在上sinx≥0，且.故f（x）是密度函数。
在上.故f（x）不是密度函数。
在上，故f（x）不是密度函数。
在上，当时，sinx<
0，f（x）也不是密度函数。
故选（A）。
38.设随机变量X~N（0，σ2），问：
当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？
【解】因为
利用微积分中求极值的方法，有
得,则
又
故为极大值点且惟一。
故当时X落入区间（1，3）的概率最大。
39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），每个顾客购买某种物品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.
设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b（m,p），即
由全概率公式有
此题说明：
进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.
40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：
Y=1-e-2X在区间（0，1）上服从均匀分布.
【证】X的密度函数为
由于P（X>
0）=1，故0<
1-e-2X<
1，即P（0<
Y<
1）=1
当y≤0时，FY（y）=0
当y≥1时，FY（y）=1
即Y的密度函数为
即Y~U（0，1）
41.设随机变量X的密度函数为
若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围.（2000研考）
【解】由P（X≥k）=知P（X<
k）=
若k<
0,P（X<
k）=0
若0≤k≤1,P（X<
当k=1时P（X<
若1≤k≤3时P（X<
若3<
k≤6，则P（X<
若k>
6,则P（X<
k）=1
故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）=.
42.设随机变量X的分布函数为
求X的概率分布.（1991研考）
【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为
X-113
P0.40.40.2
43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A在一次试验中出现的概率.
【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则
X~b（3,p）
由P（X≥1）=知P（X=0）=（1-p）3=
故p=
44.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？
45.若随机变量X~N（2，σ2），且P{2<
4}=0.3，则
P{X<
0}=.
因此
46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；
以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n（n≥2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求
（1）全部能出厂的概率α；
（2）其中恰好有两台不能出厂的概率β；
（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ.
【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则
={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂}
由题意知B=∪AB，且
令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，0.94）,
故
47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.
【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2）
查表知,即σ=12
从而X~N（72，122）
48.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））.试求：
（1）该电子元件损坏的概率α;
（2）该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β
【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}，
A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。
由X~N（220，252）知
由贝叶斯公式有
49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY（y）.
因为P（1<
2）=1,故P（e2<
e4）=1
当y≤e2时FY（y）=P（Y≤y）=0.
当e2<
e4时，
当y≥e4时，
50.设随机变量X的密度函数为
fX（x）=
求随机变量Y=eX的密度函数fY（y）.（1995研考）
【解】P（Y≥1）=1
当y≤1时，
51.设随机变量X的密度函数为
fX（x）=,
求Y=1-的密度函数fY（y）.
52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.
（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993研考）
（1）当t<
当t≥0时，事件{T>
t}与{N（t）=0}等价，有
即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。
53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=-1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{-1<
1}出现的条件下，X在{-1，1}内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F（x）=P{X≤x}.（1997研考）
【解】显然当x<
-1时F（x）=0；
而x≥1时F（x）=1
由题知
当-1<
此时
当x=-1时，
54.设随机变量X服从正态分N（μ1,σ12）,Y服从正态分布N（μ2,σ22），且P{|X-μ1|<
1}>
P{|Y-μ2|<
1}，试比较σ1与σ2的大小.（2006研考）
解：
依题意，，则
，
因为，即
所以有，即.
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