解；由=可得，
解得或（舍去）
而3cos2x+cosxsinx—sin2x===
三、公式及的应用
例5．已知函数的最小正周期是．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．
解：
（Ⅰ）由题设，函数=+2
=+2的最小正周期是，可得，所以．
（Ⅱ）解：
由（Ⅰ）知，．
当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为
例6．求sin220°-sin225°sin20°+cos250°+cos225°sin20°的值。
解:
原式=sin220°+sin20°（cos225°-sin225°）+cos250°
=sin220°+sin20°cos50°+cos250°=（1-cos40°）+（1+cos100°）+（sin70°-sin30°）
=+（cos100°-cos40°+sin70°）=+[cos（70°+-300）—cos（70°-30°）+sin70°]
=+（-2sin70°sin30°+sin70°）=。
例7．设向量a＝（sinx，cosx），b＝（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）＝a·（a＋b）
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值与最小正周期（Ⅱ）求使不等式f（x）≥成立的x的取值集.
解：
（Ⅰ）∵
∴的最大值为，最小正周期是
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
即成立的的取值集合是。
例8．设，
（Ⅰ）化简；（Ⅱ）解方程
解：
（1）原式=
==
===-2
（2）由得
即得（+1）2=0,=-1
三角变形课后作业
1．化简
A221B222C223D–223
解：
利用公式又tan450=1，可得原式=223
2．化简（D）
A.B.C.D.
解：
（切化弦）原式==
3．化简的值为-3。
提示：
变角
4．已知函数求：
（1）函数的最大值及取得最大值时的自变量的集合；
（2）函数的单调增区间。
解：
（1）,当，时有最大值；
（2）的单调增区间为。
5.已知，
（1）求的值；
（2）求函数的最大值．
解：
（1）由得，于是=.
（2）因为所以
的最大值为.
6．求值
解：
原式===2。
7．已知函数，．
（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．
（II）求函数的单调递增区间．
解：
（I）由题设知．
因为是函数图象的一条对称轴，所以，
即（）．所以．
当为偶数时，，
当为奇数时，．
（II）
．
当，即（）时，
函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．
8．已知向量m=（sinA,cosA）,n=，m·n＝1，且A为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数的值域.
解：
（Ⅰ）由题意得=1
故得 由A为锐角得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以
因为x∈R，所以，因此，当时，f（x）有最大值.
当sinx=-1时，f（x）有最小值-3，所以所求函数f（x）的值域是。
9．已知向量函数。
（1）求的最小值；
（2）若，求的值。
解：
（1）
因为，所以，
当，即时，有最小值0
（2），得，，又
，得
变角技巧
10．已知函数，．
（I）求的最大值和最小值；
（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
解：
（Ⅰ）．
又，，即，．
（Ⅱ），，
且，，即的取值范围是．
课后小结
2019-2020年高三数学三角函数的概念、图象、性质教案同步教案新人教A版
一、教学进度
高考总复习之九-----三角函数的概念、图象、性质
角的定义，弧度制，终边相同的角，象限角，三角函数的定义，各象限三角函数的符号，同角三角函数间关系，诱导公式，三角函数线，三角函数的图象和性质。
二、学习指导
用平面内射线端点旋转的观点定义角，由于运动中存在“向什么方向转”和“转多少”的问题，从而把角的范围扩大到了整个实数集。
用弧长与半径的比值来度量角，单位是统一的——弧度、而无须象角度制那样用分级单位：
度、分、秒……，比较先进在数学研究中统统采用它。
把角置于直角坐标系中，同角的终边上非顶点的一点的坐标（x，y）及它列顶点的距离r来定义三角函数，克服了初中时定义的局限性，适应了角的概念的推广，由此定义就可确定各象限角三角函数的符号和同角三角函数间的关系（按记忆法则牢记）以及诱导公式的推导。
根据三角函数的图象记忆三角函数的性质——定义域、值域、对称轴方程，对称中心，奇偶性，单调性，周期性，不仅行之有效，而且有列于对数形结合能力的培养。
三角函数线是作三角函数图象的基础，特别二、三、四象限角的三角函数线是难点之一，应予重视。
三、典型例题讲评
例1．
（1）周长为定值m的扇形的最大面积是多少？
此时扇形的中心角是多少？
（2）一扇形周长为m，面积为S，这样的扇形是确定的吗？
满足怎样的条件，扇形是确定的？
此时中心角是多少？
内切圆半径是多少？
第
（1）小题中可设扇形半径为r，则弧长为m－2r，则其面积S=r（m－2r）的最大值，只要利用二次函数或基本不等式即可求出：
第
（2）小题是“开放性问题”，由
（1）知，S=r（－r）是关于r的二次方程，如果有实根，两根均正，故可用判解式解决它。
例2．α是第三象限角，是否存在实数m，使关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两根恰当sinα和cosα？
若存在求出相应的m，若不存在，说明理由。
α为第三象限角，故sinα，cosα∈（－1，0）如果这样的m存在，
则故m＞0，由两式消α，9m2－8m－20=0，m=2（－舍去）
若此时不仅使+cosα∈，cosα∈，还使与方程判别式≥0，则此m即为所求，但本领中m=2，－m=－＜－，故不存在.
例3．设sinα+cosα=k，若sin3α+cos3α＜0成立，求k的取值范围.
用k来表示sin3α+cos3α：
k（1－）＜0成立，亦即k（k2－3）＞0，同时注意到k=sin（α+）的取值范围即可求了k的范围.
例4．设函数f（x）满足2f（－sinx）+3f（sinx）=4sinxcosx（x∈[－，]）
（1）判断f（x）的奇偶性。
（2）求出f（x）的解析式
由2f（－sinx）+3f（ε·x）=4ε·xcosx，以－x代x，有2f（sinx）+3f（－sinx）=－4sinxcosx两式相加，5（f（－sinx）+f（sinx））=0，知f（x）为奇函数于是原式即f（sinx）=4sinxcosx，∵x∈[－，]∴cosx=，∴f（x）=4xx∈[－1，1]
例5．已知函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（ω＞0）的最小正周期为2，当x=时，f（x）取得最大值2.
（1）求f（x）的表达式；
（2）在[，]上是否有x0，使x=x0是f（x）的对称轴？
如果存在，求对称轴方程，如不存在，说明理由。
f（x）=sin（ωx+），其中tan=，由T==2，
知ω=，故+=2kπ+，tan=与=2联立，可解得A、B.
第
（2）小题只须写出对称轴的一般方程，看有无合适的k即可。
例6．讨论函数f（x）=cos2（x－α）－2cos（x－α）cosxcosα+cos2α的奇偶性，周期性，单调性，值域。
本题中把f（x）化简是关键，配方后，利用两角差的余弦公式，做三角题，相关公式要熟记，才能“见景生情”、“浮想联翩”
例7．已知函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象过A（0，1）和B（，1）两点，当x∈
[0，]时，恒有≤2，求实数a的取值范围。
当a上述范围内的最大整数值时，若存在实数m、n、，使mf（x）+nf（x－）=1，求m、n、的值
f（x）图象过A、B可求得b与a、c与a的关系。
恒有≤2，即最大值≤2，最小值大于等于－2，可以讨论a与1的大小关系加以解决，也可换无后无作直线段，加以解决（见附录）
后半题一下涌出3个未知数的m、n、，似使人无所适从，因是寻找m、n、，使式子恒成立，故可取n个特殊值，解出m、n、后再以验证。
巩固练习
1．已知函数f（x）=1―2a―2acosx―2sin2x的最小值为f（a）.
（1）用a表示f（a）
（2）求使f（a）=的a的值，并对此a求f（x）最大值.
2．已知函数f（x）=2asin2x－2sinx+a+b的定义域为[0，]值域为[－5，1]求a、b的值.
3．把函数y=sin（π－x）cos（x+）的图象向右平移a（a＞0）个单位后，图象关于直线x=对称。
（1）求a的最小值；
（2）当a取最小值，x∈（π，―π）时，图象上任意两点连线的斜率恒大于零。
4．化简：
（1）tanθtan2θ+tan2θtan3θ+…+tannθtna（n+1）θ
（2）（1+tan10）（1+tan20）…（1+tan450）
5．若函数y=f（x）图象上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图象按=（－，－1）平移，所得新图象的解析式为y=sinx，求f（x）表达式。
6．右图为函数y=Acos（ωx+θ）－B的图象的一
部分，式中A，ω＞0写出该图象的解析式，并
求a的值。
7．求下列函数的值域和单调递增区间。
（1）y=；
（2）y=sinxcosx+sinx+cosx+1
（3）y=log3
8．讨论函数的奇偶性：
（1）y=
（2）y=sin4x－cos4x+cos2x
（3）y=lg
9．函数y=5cos（πx－）对任意实数a，在[a，a+3]上的值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k.
10．α、β∈（cos），x＞0，f（x）=（）x+（）x，α+β＞是f（x）＜2的什么条件？
证明你的结论。
参考答案
1．
（1）f（x）=2cos2x－2acosx－2a－1
当∈[－1，1]，即a∈[－2，2]时，f（a）=－2a－1.
当a＞2时，f（a）=2－2a－2a－1=1－4a
当a＜－2时，f（a）=2+2a－2a－1=1
∴f（a）=－－2a－1x∈[－2，2]
1－4ax∈（2，+∞）
1x∈（－∞，－2）
（2）令－－2a－1=a=－1或－3∴a=－1
令1－4a=,a=＜2，舍去.
∴a=－1，此时f（x）=2a2x+2ax+1，最大值为2+2+1=5
2．记t=sinx∈[0，1]，f（t）=2at2－2at+a+b的对称轴为t=，故f（）=b和f（0）=a+b为其最值，当a＞0时
当a＜0时
3．
（1）把函数y=sin（π－x）·cos（x+）=sin[π－（π－
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