学年度苏教版高中数学苏教版必修一学案33 幂函数文档格式.docx

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单调性

增

在[0，＋∞）上____，在（－∞，0]上____

在（0，＋∞）上___，

在（－∞，0）上____

知识点三　一般幂函数的图象特征

思考　类比y＝x3的图象和性质，研究y＝x5的图象与性质．

梳理　一般幂函数特征

（1）所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图象都过点________．

（2）α>

0时，幂函数的图象通过________，并且在区间[0，＋∞）上是单调______函数．特别地，当α>

1时，幂函数的图象________；

当0<

α<

1时，幂函数的图象____________．

（3）当________时，幂函数的图象在区间（0，＋∞）上是单调减函数．

（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．

（5）在第一象限，作直线x＝a（a>

1），它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从____到____的顺序排列．

类型一　幂函数的概念

例1　已知y＝（m2＋2m－2）

＋2n－3是幂函数，求m，n的值．

反思与感悟　幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：

y＝3x2，y＝（2x）3，y＝

4都不是幂函数．

跟踪训练1　在函数y＝

，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数为________．

类型二　幂函数的图象及应用

例2　若点（

，2）在幂函数f（x）的图象上，点（2，

）在幂函数g（x）的图象上，问当x为何值时，

（1）f（x）>

g（x）；

（2）f（x）＝g（x）；

（3）f（x）<

g（x）．

引申探究

若对于例2中的f（x），g（x），定义h（x）＝

试画出h（x）的图象．

反思与感悟　注意本题中对f（x）＞g（x），f（x）＝g（x）的几何解释．这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法．

跟踪训练2　幂函数y＝xα（α≠0），当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线（如图）．设点A（1,0），B（0,1），连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于________．

类型三　幂函数性质的综合应用

命题角度1　比较大小

例3　设a＝

，b＝

，c＝

，则a，b，c的大小关系是________．

反思与感悟　此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：

指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．

跟踪训练3　比较下列各组数中两个数的大小．

（1）

0.3与

0.3；

（2）

－1与

－1；

（3）

.

命题角度2　幂函数性质的综合应用

例4　已知幂函数y＝x3m－9（m∈N*）的图象关于y轴对称且在（0，＋∞）上单调递减，求满足

<

的a的取值范围．

反思与感悟　幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．

跟踪训练4　已知幂函数f（x）＝

（m∈N*）．

（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

（2）若函数还经过点（2，

），试确定m的值，并求满足f（2－a）>

f（a－1）的实数a的取值范围．

1．已知幂函数f（x）＝k·

xα的图象过点

，则k＋α等于________．

2．已知幂函数f（x）的图象经过点（2，

），则f（4）的值等于________．

3．设α∈{－1,1，

，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为________．

4．下列是y＝

的图象的是________．（填序号）

5．以下结论正确的是________．

①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；

②幂函数的图象都经过（0,0），（1,1）两点；

③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；

④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．

1．幂函数y＝xα（α∈R），其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．

2．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

（1）当α＞0时，图象过点（0,0），（1,1），在第一象限的图象上升；

当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．

（2）曲线在第一象限的凹凸性：

当α＞1时，曲线下凸；

当0＜α＜1时，曲线上凸；

当α＜0时，曲线下凸．

3．在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，

，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　底数为x，指数为常数．

梳理　y＝xα

知识点二

2．R　R　R　[0，＋∞）　{x|x≠0}　R　[0，＋∞）　R　[0，＋∞）　{y|y≠0}　奇　偶　奇　非奇非偶　奇　增　减　增　增　减　减

知识点三

思考　y＝x3与y＝x5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同．只不过当0<

x<

1时，x5＝x3·

x2<

x3，当x>

x2>

x3，结合两函数性质，可得图象如下：

梳理　

（1）（1,1）　

（2）原点　增　下凸　上凸　（3）α<

0　小　大

题型探究

例1　解　由题意得

解得

所以m＝－3或1，n＝

跟踪训练1　y＝

解析　因为y＝

＝x－2，所以是幂函数；

y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；

y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；

y＝1＝x0（x≠0），可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点（0,1）,所以常数函数y＝1不是幂函数．

例2解　设f（x）＝xα，因为点（

，2）在幂函数f（x）的图象上，所以，将点（

，2）代入f（x）＝xα中，得2＝（

）α，解得α＝2，则f（x）＝x2.同理可求得g（x）＝x－2.

在同一坐标系里作出函数f（x）＝x2和g（x）＝x－2的图象（如图所示），观察图象可得：

（1）当x>

1或x<

－1时，f（x）>

（2）当x＝1或x＝－1时，f（x）＝g（x）；

（3）当－1<

1且x≠0时，f（x）<

解　h（x）的图象如图所示：

跟踪训练2　1

解析　由条件知，M（

，

），

N（

∴

＝（

）α，

）β，

∴（

）αβ＝[（

）β]α＝（

）α＝

∴αβ＝1.

例3　b>

a>

c

解析　∵y＝

x在R上为单调减函数，

，即a<

b；

∵f（x）＝

在（0，＋∞）上为单调增函数，

>

，即a>

c.∴b>

c.

跟踪训练3　解　

（1）∵0<

0.3<

1，

∴y＝x0.3在（0，＋∞）上为单调增函数．

又

0.3>

0.3.

（2）∵y＝x－1在（－∞，0）上是单调减函数，

又－

－

－1>

－1.

（3）∵y＝x0.3在（0，＋∞）上为单调增函数，

∴由

0.3，可得

0.30.3.①

又y＝0.3x在（－∞，＋∞）上为单调减函数，

∴0.30.3>

.②

由①②知

例4　解　因为函数在（0，＋∞）上单调递减，所以3m－9<

0，

解得m<

3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.

因为函数的图象关于y轴对称，

所以3m－9为偶数，故m＝1.

则原不等式可化为

因为y＝

在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，

所以a＋1>

3－2a>

0或3－2a<

a＋1<

0或a＋1<

0<

3－2a.

a<

或a<

故a的取值范围是{a|a<

－1或

}．

跟踪训练4　解　

（1）∵m∈N*，

∴m2＋m＝m×

（m＋1）为偶数．

令m2＋m＝2k，k∈N*，则f（x）＝

∴定义域为[0，＋∞），在[0，＋∞）上f（x）为单调增函数．

（2）∵

＝

∴m2＋m＝2，

解得m＝1或m＝－2（舍去），

∴f（x）＝

由

（1）知f（x）在定义域[0，＋∞）上为单调增函数，

∴f（2－a）>

f（a－1）等价于2－a>

a－1≥0，

解得1≤a<

当堂训练

1.

　2.

　3.1,3　4.②　5.④