届高三专题复习专题一函数与导数不等式文档格式.docx

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③若y＝f（x）是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f（x）是周期为4|a|的周期函数；

④若f（x＋a）＝－f（x）

，则y＝f（x）是周期为2|a|的周期函数.

2.函数的图象

对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：

一是描点法；

二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.

3.函数的零点与方程的根

（1）函数的零点与方程根的关系

函数F（x）＝f（x）－g（x）的零点就是方程f（x）＝g（x）的根，即函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象交点的横坐标.

（2）零点存在性定理

注意以下两点：

①满足条件的零点可能不唯一；

②不满足条件时，也可能有零点.

热点一　函数性质的应用

[微题型1]　单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性

【例1－1】

（1）（2015·

全国Ⅰ卷）若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝________.

（2）（2015·

济南三模）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（　　）

A.＞B.ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）C.sinx＞sinyD.x3＞y3

（3）设f（x）＝（a∈R）的图象关于直线x＝1对称，则a的值为（　　）

A.－1B.1C.2D.3

[微题型2]　综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性

【例1－2】

（1）（2015·

湖南卷）设函数f（x）＝ln（1＋x）－ln（1－x），则f（x）是（　　）

A.奇函数，且在（0，1）上是增函数B.奇函数，且在（0，1）上是减函数

C.偶函数，且在（0，1）上是增函数D.偶函数，且在（0，1）上是减函数

长沙模拟）已知偶函数f（x）在[0，＋∞）单调递减，f

（2）＝0.若f（x－1）＞0，则x的取值范围是________.

【训练1】（2015·

天津卷）已知定义在R上的函数f（x）＝2|x-m|－1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.c＜b＜a

热点二　函数图象与性质的融合问题

[微题型1]　函数图象的识别

【例2－1】

（1）（2015·

安徽卷）函数f（x）＝的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）

A.a>

0，b>

0，c<

0B.a<

0，c>

0C.a<

0D.a<

0，b<

（2）（2014·

江西卷）在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a（a∈R）的图象不可能的是（　　）

[微题型2]　函数图象的应用

【例2－2】

（1）已知函数f（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，设a＝f，b＝f

（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞c＞bD.b＞a＞c

全国Ⅰ卷）设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a<

1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）<

0，则a的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

【训练2】（2015·

成都诊断）已知f（x）＝2x－1，g（x）＝1－x2，规定：

当|f（x）|≥g（x）时，h（x）＝|f（x）|；

当|f（x）|＜g（x）时，h（x）＝－g（x），则h（x）（　　）

A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值

C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值

热点三　以函数零点为背景的函数问题

[微题型1]　函数零点个数的求解

【例3－1】函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

[微题型2]　由函数零点（或方程根）的情况求参数

【例3－2】（2015·

天津卷）已知函数f（x）＝函数g（x）＝b－f（2－x），其中b∈R，若函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

【训练3】（2015·

南阳模拟）已知函数f（x）＝－m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为________.

1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f（x）＝的定义域时，只考虑x＞0，忽视lnx≠0的限制.

2.函数定义域不同，两个函数不同；

对应关系不同，两个函数不同；

定义域和值域相同，也不一定是相同的函数.

3.如果一个奇函数f（x）在原点处有意义，即f（0）有意义，那么一定有f（0）＝0.

4.奇函数在两个对称的区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性.

5.函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化.在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的（如分类讨论求参数的取值范围等）问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.

6.不能准确把握基本初等函数的形式、定义和性质.如讨论指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的单调性时，不讨论底数的取值；

忽视ax＞0的隐含条件；

幂函数的性质记忆不准确等.

7.判断函数零点个数的方法有：

（1）直接求零点；

（2）零点存在性定理；

（3）数形结合法.

8.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

一、选择题

广东卷）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）

A.y＝x＋exB.y＝x＋C.y＝2x＋D.y＝

2.函数f（x）＝log2x－的零点所在的区间为（　　）

A.B.C.（1，2）D.（2，3）

3.已知函数f（x）＝|x－2|＋1，g（x）＝kx.若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）

A.B.C.（1，2）D.（2，＋∞）

4.（2015·

山东卷）设函数f（x）＝则满足f（f（a））＝2f（a）的a取值范围是（　　）

A.B.[0，1]C.D.[1，＋∞）

5.（2015·

全国Ⅱ卷）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（　　）

二、填空题

6.（2015·

福建卷）若函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）的值域是[4，＋∞），则实数a的取值范围是________.

7.（2015·

洛阳模拟）若函数f（x）＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________.

8.已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，对x∈R都有f（x＋4）＝f（x）＋f

（2）成立.当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，给出下列命题：

①f

（2）＝0；

②直线x＝－4是函数y＝f（x）图象的一条对称轴；

③函数y＝f（x）在[－4，4]上有四个零点；

④f（2014）＝0.其中所有正确命题的序号为________.

三、解答题

9.定义在[－1，1]上的奇函数f（x），已知当x∈[－1，0]时，f（x）＝－（a∈R）.

（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；

（2）求f（x）在[0，1]上的最大值.

10.（2015·

太原模拟）已知函数f（x）＝ax2－2ax＋2＋b（a≠0）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.

（1）求a，b的值；

（2）若b＜1，g（x）＝f（x）－2mx在[2，4]上单调，求m的取值范围.

11.已知函数f（x）＝－x2＋2ex＋m－1，g（x）＝x＋（x＞0）.

（1）若g（x）＝m有实根，求m的取值范围；

（2）确定m的取值范围，使得g（x）－f（x）＝0有两个相异实根.

第2讲　不等式及线性规划

高考定位　不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.

（1）主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；

（2）不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；

在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.

重庆卷）“x＞1”是“log（x＋2）＜0”的（　　）

A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

北京卷）若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为（　　）

A.0B.1C.D.2

3.设f（x）＝lnx，0＜a＜b，若p＝f（），q＝f，r＝（f（a）＋f（b）），则下列关系式中正确的是（　　）

A.q＝r＜pB.q＝r＞pC.p＝r＜qD.p＝r＞q

全国Ⅰ卷）若x，y满足约束条件则的最大值为________.

1.解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：

①对二次项系数与0的大小进行讨论；

②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；

③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论.

2.利用基本不等式求最值

已知x，y∈R＋，则

（1）若x＋y＝S（和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值

；

（2）若xy＝P（积为定值），则当x＝y时，和x＋y取得最小值2（x＋y≥2＝2）.

3.平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集.线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－x＋，可知是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.

4.不等式的证明

不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：

比较法、作差法、作商法（要注意讨论分母）、分析法、综合法、数学归纳法、反证法，还要结合放缩和换元的技巧.其中，比较法是应用最为广泛的证明方法，在导数、解含参不等式、数列等知识点都有渗透.

热点一　利用基本不等式求最值

[微题型1]　基本不等式的简单应用

【

例1－1】（2015·

武汉模拟）已知两个正数x，y满足x＋4y＋5＝xy，则xy取最小值时，x，y的值分别为（　　）

A.5，5B.10，C.10，5D.10，10

[微题型2]　带有约束条件的基本不等式问题

【例1－2】（2015·

四川卷）如果函数f（x）＝（m－2）x2＋（n－8）x＋1（m≥0，n≥0）在区间上单调递减，那么mn的最大值为（　　）

A.16B.18C.25D.

【训练1】

（1）（2015·

广州模拟）若正实数x，y满足x＋y＋1＝xy，则x＋2y的最小值是（　　）

A.3B.5C.7D.8

（2）已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈（a，＋∞）上恒成立，则实数a的最小值为（　　）

A.1B.C.2D.

热点二　含参不等式恒成立问题

[微题型1]　运用分离变量解决恒成立问题

【例2－1】关于x的不等式x＋－1－a2＋2a＞0对x∈（0，＋∞）恒成立，则实数a的取值范围为________.

[微题型2]　构造函数（主辅元转换）解决恒成立问题

【例2－2】已知f（t）＝log2t，t∈[，8]，对于f（t）值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，求x的取值范围.

【训练2】

（1）（2015·

合肥模拟）已知a＞0，b＞0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为（　　）

A.4B.16C.9D.3

（2）若不等式x2－ax＋1≥0对于一切a∈[－2，2]恒成立，则x的取值范围是________.

热点三　简单的线性规划问题

[微题型1]　已知约束条件，求目标函数最值

【例3－1】设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为（　　）

A.10B.8C.3D.2

[微题型2]　已知最值求参数问题

山东卷）已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝（　　）

A.3B.2C.－2D.－3

[微题型3]　非线性规划问题

【例3－3】已知动点P（x，y）在过点且与圆M：

（x－1）2＋（y＋2）2＝5相切的两条直线和x－y＋1＝0所围成的区域内，则z＝|x＋2y－3|的最小值为（　　）

A.B.1C.D.5

【训练3】若x，y满足条件且z＝2x＋3y的最大值是5，则实数a的值为________.

1.应用不等式的性质时应注意的两点

（1）两个不等式相加的前提是两个不等式同向；

两个不等式相乘的前提是两个不等式同向，且不等式两边均大于0；

不等式原则上不能相减或相除.

（2）不等式的性质是不等式变形的依据，但要注意区分不等式各性质的是否可逆性.

2.多次使用基本不等式的注意事项

当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.

3.均值不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中

也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.

4.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点（或边界上的点），但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.

5.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法（如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等）.在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.

天津卷）设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

临汾模拟）若点A（m，n）在第一象限，且在直线＋＝1上，则mn的最大值是（　　）

A.3B.4C.7D.12

广东卷）若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为（　　）

A.B.6C.D.4

4.已知正数x，y满足x＋2≤λ（x＋y）恒成立，则实数λ的最小值为（　　）

A.1B.2C.3D.4

5.已知约束条件表示的平面区域为D，若区域D内至少有一个点在函数y＝ex的图象上，那么实数a的取值范围为（　　）

A.[e，4）B.[e，＋∞）C.[1，3）D.[2，＋∞）

福建卷改编）若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于________.

浙江卷）已知函数f（x）＝则f（f（－3））＝________，f（x）的最小值是________.

8.（2015·

南昌模拟）已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.

9.已知函数f（x）＝.

（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；

（2）对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，求t的取值范围.

10.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－（1＋k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？

请说明理由.

11.已知函数f（x）＝ax3－bx2＋（2－b）x＋1在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2.

（1）证明：

a＞0；

（2）若z＝a＋2b，求z的取值范围.

第3讲　导数与函数的单调性、极值、最值问题

高考定位　高考对导数计算的考查贯穿于与之有关的每一道题目之中，函数的单调性，函数的极值与最值均是高考命题的重点内容，在选择题、填空题、解答题中都有涉及，试题难度不大.

（2015·

全国Ⅱ卷）设函数f（x）＝emx＋x2－mx.

f（x）在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；

（2）若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f（x1）－f（x2）|≤e－1，求m的取值范围.

1.导数与函数的单调性

（1）函数单调性的判定方法：

设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果f′（x）＞0，则

y＝f（x）在该区间为增函数；

如果f′（x）＜0，则y＝f（x）在该区间为减函数.

（2）函数单调性问题包括：

①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；

②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.

2.极值的判别方法

当函数f（x）在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值；

如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是点x0两侧导数异号，而不是f′（x）＝0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点，而且极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小.

3.闭区间上函数的最值

在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者.

热点一　导数与函数的单调性

[微题型1]　求含参函数的单调区间

【例1－1】设函数f（x）＝alnx＋，其中a为常数.

（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）讨论函数f（x）的单调性.

[微题型2]　已知单调性求参数的范围

重庆卷）设函数f（x）＝（a∈R）.

（1）若f（x）在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）若f（x）在[3，＋∞）上为减函数，求a的取值范围.

【训练1】函数f（x）＝ax3＋3x2＋3x（a≠0）.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）在区间（1，2）上是增函数，求a的取值范围.

热点二　导数与函数的极值、最值

[微题型1]　求含参函数的极值（或最值）

【例2－1】（2015·

南昌模拟）设函数f（x）＝x3－kx2＋x（k∈R）.

（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当k<

0时，求函数f（x）在[k，－k]上的最小值m和最大值M.

[微题型2]　与极值点个数有关的参数问题

【例2－2】（2015·

合肥模拟）已知函数f（x）＝ax2－ex，a∈R，f′（x）是f（x）的导函数（e为自然对数的底数）.若f（x）有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围.

【训练2】设函数f（x）＝ln（x＋1）＋a（x2－x），其中a∈R.讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由.

1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用逗号或“和”字隔开.

2.可导函数在闭区间[a，b]上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值.

3.可导函数极值的理解

（1）函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；

（2）对于可导函数f（x），“f（x）在x＝x0处的导数f′（x）＝0”是“f（x）在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件；

（3）注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.

4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论.

5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维——直接求函数的极值或最值；

也有逆向思维——已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想.

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