粗糙集理论第3章Word格式.docx
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显然，P可能有多个简式。
定义3.3
P中所有必要的等价关系的集合称为P的核，记为CORE（P）.
下面的定理给出了简式与核的关系。
定理3.2
P的核CORE（P）＝RED（P），其中RED（P）是P的所有简式的簇。
Note：
即，对QRED（P），都有CORE（P）Q，CORE（P）是RED（P）中所有元素的公共部分。
欲证明定理3.2，我们只需证明CORE（P）RED（P）且CORE（P）RED（P）.为此
先证CORE（P）RED（P）
对于R，若RCORE（P），则RRED（P）对于R，若RRED（P），则RCORE（P）
//*GH=GH；
HG=（H）（G）=GHGH=HG*//
假定存在R使得RRED（P）.则一定存在P的某个简式Q使得RQ，即有QP{R}P
Q是P的简式IND（Q）IND（P）
P{R}PIND（P{R}）
IND（P）IND（Q）
QP{R}IND（Q）
IND（P{R}）
所以，IND（Q）=IND（P{R}）=IND（P）
所以，R是不必要关系，即RCORE（P）.
再证CORE（P）RED（P）
同理，我们只需证明对RCORE（P），必有RRED（P）.
假设RCORE（P），R是P中不必要的，即IND（P）IND（P{R}），这意味着P中存在一个的独立的等价关系子集SP{R}，使得IND（S）IND（P）且RS（注意此S是P的不包含R的简式）。
这意味着如果存在RCORE（P），则存在一个不包含R的P的简式S，这使得所有简式的交集也不包含R,即RRED（P）＝{Q:
QRED（P）}成立。
即对RCORE（P），则RRED（P）.故有CORE（P）{Q:
QRED（P）}成立。
证毕■
讨论：
核概念有两个用途
●第一、它可作为求解简式的基础，因为任意简式都包含核，且核的计算是直截了当的；
●第二、核是最具特点的知识的集合，在知识化简过程中它不能被除去。
例1设R＝｛P，Q，R｝是由下述三个等价关系组成的簇：
U{x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}
U/P＝{{x1,x4,x5},{x2,x8},{x3},{x6,x7}}
U/Q＝{{x1,x3,x5},{x6},{x2,x4,x7,x8}}
U/R＝{{x1,x5},{x6},{x2,x7,x8},{x3,x4}}
于是，IND（R）具有等价类簇
U/IND（R）＝{{x1,x5},{x2,x8},{x3},{x4},{x6},{x7}}
P是不可缺少的，∵U/IND（R{P}）＝{{x1,x5},{x2,x7,x8},{x3},{x4},{x6}}U/IND（R）.
Q是冗余的，∵U/IND（R－{Q}）＝{{x1,x5},{x2,x8},{x3},{x4},{x6},{x7}}＝U/IND（R）.
R也是冗余的，∵U/IND（R－{R}）＝{{x1,x5},{x2,x8},{x3},{x4},{x6},{x7}}＝U/IND（R）.由P是不可缺少的，Q是冗余的，R也是冗余的，就可知R的核是P.
U/IND（｛P，Q｝）U/IND（｛P，Q｝－｛P｝）=U/IND（｛Q｝）且U/IND（{P，Q}）U/IND（{P，Q}－{Q}）=U/IND（{P}），因此{P、Q}是独立的，
U/IND（{P，Q}）=U/IND（R）
所以｛P，Q｝是R的一个简式。
类似地可发现｛P，R｝也是R的一个简式。
这样，簇R的两个简式分别为：
｛P，Q｝和｛P，R｝，
｛P，Q｝｛P，R｝＝｛P｝为R的核。
第3.3节知识的相对简式和相对核
在许多实际应用中，都存在决策属性，因此需要定义相对于决策属性的知识的核和简式。
设P，Q是U上的等价关系，则Q的P正区记为POSP（Q），定义为POSP（Q）∪XU/Q
只要不混淆，用Q表示IND（Q）
Comments：
即Q的P正区POSP（Q）是U中一些对象的集合，用划分U/P所表示的知识能将这些对象严格地分类到U/Q的等价类中。
定义3.5
设P，Q都是域U上的等价关系簇，对于等价关系RP
●若POSIND（P）（IND（Q））POSIND（P{R}）（IND（Q）），则称R是P中Q冗余的（不必要的），否则称R是P中Q必要的；
●若RP都是Q必要的，则称P关于Q是独立的；
●称簇SP为P关于Q的简式，当且仅当S是Q独立的且POSS（Q）POSP（Q）；
●P中所有Q必要的初等关系（不包括由交运算生成的等价关系）的集合被称为P的Q核，记为COREQ（P）.
显然，如果PQ，我们就会得到上节所提出的定义。
定理3.3
COREQ（P）REDQ（P），其中REDQ（P）是所有P的Q简式构成的簇。
其证明与定理3.2的证明类似。
例2
U{x1,x2,,x8}，R{P,Q,R}是U上的等价关系簇，且
U/P{{x1,x3,x4,x5,x6,x7},{x2,x8}}
U/Q{{x1,x3,x4,x5},{x2,x6,x7,x8}}
U/R{{x1,x5,x6},{x2,x7,x8},{x3,x4}}
U/IND（R）{{x1,x5},{x3,x4},{x2,x8},{x6},{x7}}
U上的等价关系S如下：
U/S{{x1,x5,x6},{x3,x4},{x2,x7},{x8}}
POSR（S）{x1,x3,x4,x5,x6,x7}
为计算R的S简式和R的S核，我们先考察R关于S是否是独立的。
根据本节给出的定义，我们必须首先计算P，Q，R是否是关于S冗余的。
U/S＝{{x1,x5,x6},{x3,x4},{x2,x7},{x8}}
去掉P有：
U/IND（R－{P}）={{x1,x5},{x3,x4},{x2,x7,x8},{x6}}，因为POS（R－{P}）（S）={x1,x3,x4,x5,x6}POSR（S）={x1,x3,x4,x5,x6,x7}，故P是S必要的。
去掉Q有：
U/IND（R{Q}）{{x1,x5,x6},{x3,x4},{x2,x8},{x7}}，因为POS（R－{Q}）（S）{x1,x3,x4,x5,x6,x7}POSR（S），故Q是S冗余的。
去掉R有：
U/IND（R{R}）{{x1,x3,x4,x5},{x2,x8},{x6,x7}}，因为POS（R{R}）（S）POSR（S），故R也是必要的。
这样R的S核CORES（R）{P，R}，且也是R的S简式。
总结与讨论
●集合POSP（Q）是所有能用知识P划分到Q的初等概念中去的对象集合。
●如果P的全部知识对于把对象划分到知识Q的初等概念中去都是必要的，那么说知识P是Q独立的.
●P的Q核，系指P的本质部分，当把U中对象划分为Q的初等概念时，核中元素是必不可少的。
●P的Q简式是P的最小子集，该子集将U中对象划分到Q的初等概念中所得到的分类与利用P的全部是一样的。
一般知识P有多个（>
1个）简式。
●只有一个Q简式的知识P，从某种意义上说是确定的，也就是说利用知识P的初等概念划分对象到知识Q的基本概念只有一种方法。
●对于不确定知识，即P有多个Q简式时，则一般有多种使用P的初等概念划分U中对象到知识Q初等概念的方法。
当核知识为空时，不确定性特别强。
简式和核、相对简式和核的比较
简式和核
相对简式和核
刻画相对自身的分类能力
刻画相对其它知识Q的分类能力
R是R中不必要的:
IND（R）=IND（R{R}）
R是R中Q不必要的:
POSIND（P）（IND（Q））=POSIND（P{R}）（IND（Q））
R是独立的：
RR都是必要的
R是Q独立的：
RR都是Q必要的
S是R的简式：
S独立且IND（S）=IND（R）
S是R的Q简式：
S是Q独立的且POSIND（P）（IND（Q））=POSIND（S）（IND（Q））
CORE（R）是R的核：
R中所有等价关系都是必要的
COREQ（R）是R的Q核：
由R中所有Q必要的等价关系构成
CORE（R）
＝RED（R）
COREQ（R）REDQ（R）
如果Q=R则相对的简式和核之定义完全等同于简式和核的定义，即变为相对自身的分类能力刻画。
第3.4节簇的化简
定义3.5
U为论域，设F={X1,X2,…,Xn}为集合簇，其中XiU.
●若（F{Xi}）=F，则称Xi为F中冗余的（可有可无的），否则称其为必要的（不可缺少的）。
●若集合族F中的每个成员Xi（i1,2,,n）都是必要的（不可缺少的），则称F是独立的，否则称F是相关的。
●若HF且H是独立的且H=F，则称H为F的简式。
●F中所有必要的（不可缺少的）成员（集合）构成的集合族称为F的核，记为CORE（F）。
定理3.4
CORE（F）RED（F），其中RED（F）是F的所有简式构成的簇。
证明参考定理3.2
例3设F={X，Y，Z}，三个集合构成的集合簇，
U={x1,x2,…,x8}，X={x1,x3,x8},Y={x1,x3,x4,x5,x6},
Z={x1,x3,x4,x6,x7}.
F=XYZ={x1,x3}，
因为（F－{X}）=YZ={x1,x3,x4,x6}，
（F－{Y}）=XZ={x1,x3}，
（F－{Z}）=XY={x1,x3}，
可见，Y、Z在F中是冗余的（可有可无的），所以F是相关的.{X，Y}与{X，Z}是F的简式，{X，Y}{X，Z}＝{X}是F的核。
用于规则约减的集合并意义下的核和简式。
定义3.6设U是论域，F={X1，X2，…，Xn}，其中XiU.
●如果（F{Xi}）=F，则称Xi在F中是冗余的，否则称Xi在F中是必要的。
●如果集合族F的任一元素在F中都是必要的，则称F关于F是独立的，否则称F关于F是相关的。
●对集合族HF，如果H关于H是独立的且H=F，则称H是F的一个简式。
例4设U={x1,x2,…,x8}，F={X，Y，Z，T}，其中：
X={x1,x3,x8}，Y={x1,x2,x4,x5,x6}，Z={x1,x3,x4,x6,x7}，
T={x1,x2,x5,x7}。
显然F=XYZT={x1,x2,…,x8}
我们有
（F{X}）={x1,x2,…,x7}F
（F{Y}）={x1,x2,…,x8}=F
（F{Z}）={x1,x2,…,x8}=F
（F{T}）={x1,x2,…,x8}=F
可见只有X是必要的，而Y、Z、T均为冗余的。
F的简式（即F的简式）为{X，Y，Z}、{X，Y，T}、{X，Z，T}。
第3.5节集合簇的相对简式与核
定义3.7
设U为论域，F={X1,X2,…,Xn}，XiU，并存在一个子集YU使得FY
●如果（F{Xi}）Y，则称Xi是F中Y冗余的，否则称Xi是F中Y必要的。
●如果XiF（i1,2,,n）都是F中Y必要的，则称F是F中Y独立的，否则称F是F中Y相关的。
●对集合簇HF，如果H是F中Y独立的且HY，则称H是F的Y简式。
●F中所有Y必要的元素构成的集合簇被称为F的Y核，记为COREY（F）.一个Y简式或Y核也被称作关于Y的相对简式或核。
定理3.5
COREY（F）=REDY（F），其中REDY（F）是F的所有Y简式构成的集合簇。
例5集合族F={X，Y，Z}，
其中X={x1,x3,x8}，Y={x1,x3,x4,x5,x6}，
Z={x1,x3,x4,x6,x7}，
F=XYZ={x1,x3}。
令FT{x1,x3,x8}
现在我们能判断X,Y,Z是否T冗余的，为此我们需要做如下计算：
（F{X}）=YZ={x1,x3,x4,x6}，
（F{Y}）=XZ={x1,x3}，
F{Z}）=XY={x1,x3}，
则X是T必要的，Y、Z是T冗余的。
F是T相关的，F的T核为{X},F的两个T简式为：
{X,Z}和{X,Y}。
练习：
1．验证下列划分（或者相应的等价关系）族独立与否，并计算核与简式。
F1={{x2,x4},{x1,x3,x5},{x6,x8},{x7,x9}}
F2={{x1,x3,x4},{x2,x5},{x6,x7,x8,x9}}
F3={{x2,x3,x5},{x1,x4,x6},{x7,x8,x9}}
2．验证a）族（F1,F2）是否F3独立
b）族（F1,F3）是否F2独立
c）族（F2,F3）是否F1独立
并计算相应的核与简式。
3．验证下列集合族是否独立并计算核与简式。
X1={x1,x2,x5,x6}
X2={x2,x3,x5}
X3={x1,x3,x5,x6}
X4={x1,x5,x6}
4．验证a）族{X1,X2,X3}是否X4独立
b）族{X2,X3,X4}是否X1独立
c）族{X1,X3,X4}是否X2独立
5．验证集合X1,X2,X3和X4的并集是否独立。
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