粗糙集理论第3章Word格式.docx

1、显然，P可能有多个简式。定义3.3P中所有必要的等价关系的集合称为P的核，记为CORE（P ）.下面的定理给出了简式与核的关系。定理3.2P的核CORE（P ）RED（P ），其中RED（P ）是P的所有简式的簇。Note：即，对QRED（P ），都有CORE（P ）Q，CORE（P ） 是RED （P ）中所有元素的公共部分。欲证明定理3.2，我们只需证明CORE（P ） RED（P ）且CORE（P ） RED（P ） . 为此先证CORE（P ） RED（P ）对于R，若RCORE（P ），则R RED（P ） 对于R，若R RED（P ），则R CORE（P ） /* GH= GH；H

2、G = （H）（G） = GH GH = HG */假定存在R使得 R RED（P ）. 则一定存在P的某个简式Q使得 R Q，即有Q P RPQ是P的简式 IND（Q ） IND（P ）P RP IND（P R ） IND（P ） IND（Q ）Q P R IND（Q ） IND（P R）所以，IND（Q ）= IND（P R）= IND（P ）所以，R是不必要关系，即R CORE（P ）.再证CORE（P ） RED（P ）同理，我们只需证明对R CORE（P ），必有R RED（P ） .假设RCORE（P ），R是P中不必要的，即IND（P ）IND（PR），这意味着P中存在一个的独立

3、的等价关系子集S P R，使得IND（S ）IND（P ）且RS（注意此S是P的不包含R的简式）。这意味着如果存在RCORE（P ），则存在一个不包含R的P的简式S，这使得所有简式的交集也不包含R,即 R RED（P ）Q :Q RED（P ）成立。即对R CORE（P ），则R RED（P ） . 故有CORE（P ） Q :QRED（P ）成立。证毕 讨论：核概念有两个用途 第一、它可作为求解简式的基础，因为任意简式都包含核，且核的计算是直截了当的； 第二、核是最具特点的知识的集合，在知识化简过程中它不能被除去。例1 设RP，Q，R是由下述三个等价关系组成的簇：Ux1, x2, x3, x

4、4, x5, x6, x7, x8U/Px1, x4, x5, x2, x8, x3, x6, x7U/Qx1, x3, x5, x6, x2, x4, x7, x8U/Rx1, x5, x6, x2, x7, x8, x3, x4于是，IND（R）具有等价类簇U/IND（R）x1, x5, x2, x8, x3, x4, x6, x7P是不可缺少的，U/IND（RP）x1, x5, x2, x7, x8, x3, x4, x6U/IND（R） .Q是冗余的，U/IND（RQ）x1, x5, x2, x8, x3, x4, x6, x7U/IND（R）.R也是冗余的，U/IND（RR）x1,x

5、5, x2,x8, x3, x4, x6, x7U/IND（R） . 由P是不可缺少的，Q是冗余的，R也是冗余的，就可知R的核是P.U/IND（P，Q）U/IND（P，QP）=U/IND（Q）且U/IND（P，Q）U/IND（P，QQ）=U/IND（P），因此P、Q是独立的，U/IND（P，Q）=U/IND（R ）所以P，Q是R的一个简式。类似地可发现P，R也是R的一个简式。这样，簇R的两个简式分别为：P，Q和P，R，P，QP，RP为R的核。第3.3节 知识的相对简式和相对核在许多实际应用中，都存在决策属性，因此需要定义相对于决策属性的知识的核和简式。设P，Q是U上的等价关系，则Q的P正区记为

6、POSP （Q），定义为 POSP （Q） X U/Q 只要不混淆，用Q 表示IND（Q ）Comments：即Q的P正区POSP（Q）是U中一些对象的集合，用划分U/P所表示的知识能将这些对象严格地分类到U/Q的等价类中。定义3.5设P，Q都是域U上的等价关系簇，对于等价关系RP 若POSIND（P）（IND（Q ） POSIND（P R）（IND（Q ），则称R是P中Q冗余的（不必要的），否则称R是P中Q必要的； 若RP都是Q必要的，则称P关于Q是独立的； 称簇S P为P关于Q的简式，当且仅当S是Q独立的且POSS （Q ） POSP （Q ）； P中所有Q必要的初等关系（不包括由交运算生

7、成的等价关系）的集合被称为P的Q核，记为COREQ （P ） .显然，如果P Q，我们就会得到上节所提出的定义。定理3.3 COREQ （P ） REDQ （P ），其中REDQ （P ）是所有P的Q简式构成的簇。其证明与定理3.2的证明类似。例2 Ux1, x2, , x8，R P, Q, R 是U上的等价关系簇，且U/P x1, x3, x4, x5, x6, x7, x2, x8U/Q x1, x3, x4, x5, x2, x6, x7, x8U/R x1, x5, x6, x2, x7, x8, x3, x4U/IND（R） x1, x5, x3, x4, x2, x8, x6, x

8、7U上的等价关系S如下：U/Sx1, x5, x6, x3, x4, x2, x7, x8POSR （S） x1, x3, x4, x5, x6, x7 为计算R的S简式和R的S核，我们先考察R关于S是否是独立的。根据本节给出的定义，我们必须首先计算P，Q，R是否是关于S冗余的。U/Sx1, x5, x6, x3, x4, x2, x7, x8去掉P有：U/IND（RP）=x1, x5,x3, x4,x2, x7, x8,x6，因为POS（RP）（S） = x1, x3, x4, x5, x6 POSR （S）= x1, x3, x4, x5, x6, x7，故P是S必要的。去掉Q有：U/IN

9、D（R Q）x1, x5, x6,x3, x4,x2, x8,x7，因为POS（RQ）（S）x1, x3, x4, x5, x6, x7POSR （S），故Q是S冗余的。去掉R有：U/IND（RR）x1, x3, x4, x5, x2, x8, x6, x7，因为POS（R R）（S） POSR （S），故R也是必要的。这样R的S核CORES （R） P，R，且也是R的S简式。总结与讨论 集合POSP （Q）是所有能用知识P划分到Q的初等概念中去的对象集合。 如果P的全部知识对于把对象划分到知识Q的初等概念中去都是必要的，那么说知识P是Q独立的. P的Q核，系指P的本质部分，当把U中对象划分为

10、Q的初等概念时，核中元素是必不可少的。 P的Q简式是P的最小子集，该子集将U中对象划分到Q的初等概念中所得到的分类与利用P的全部是一样的。一般知识P有多个（1个）简式。 只有一个Q简式的知识P，从某种意义上说是确定的，也就是说利用知识P的初等概念划分对象到知识Q的基本概念只有一种方法。 对于不确定知识，即P有多个Q简式时，则一般有多种使用P的初等概念划分U中对象到知识Q初等概念的方法。当核知识为空时，不确定性特别强。简式和核、相对简式和核的比较简式和核相对简式和核刻画相对自身的分类能力刻画相对其它知识Q的分类能力R是R中不必要的:IND（R）=IND（RR）R是R中Q 不必要的:POSIND（

11、P）（IND（Q）=POSIND（PR）（IND（Q）R是独立的：RR都是必要的R是Q独立的：RR都是Q 必要的S是R的简式：S独立且IND（S）=IND（R）S是R的Q简式：S是Q 独立的且POSIND（P）（IND（Q）=POSIND（S）（IND（Q）CORE（R）是R的核：R中所有等价关系都是必要的COREQ（R）是R的Q核：由R中所有Q必要的等价关系构成CORE（R ） RED（R ）COREQ （R ） REDQ （R ）如果Q=R则相对的简式和核之定义完全等同于简式和核的定义，即变为相对自身的分类能力刻画。第3.4节 簇的化简定义3.5 U为论域，设F = X1, X2, , X

12、n 为集合簇，其中Xi U . 若（F Xi） = F，则称Xi为F中冗余的（可有可无的），否则称其为必要的（不可缺少的）。 若集合族F中的每个成员Xi（i1, 2, , n）都是必要的（不可缺少的），则称F是独立的，否则称F是相关的。 若H F且H是独立的 且 H = F，则称H为F的简式。 F中所有必要的（不可缺少的）成员（集合）构成的集合族称为F的核，记为CORE（F）。定理3.4CORE（F ） RED（F ），其中RED（F ）是F的所有简式构成的簇。证明参考定理3.2例3 设F = X，Y，Z，三个集合构成的集合簇，U = x1, x2, , x8，X = x1, x3, x8,

13、Y = x1, x3, x4, x5, x6, Z = x1, x3, x4, x6, x7. F = XYZ = x1, x3，因为（FX） = YZ = x1, x3, x4, x6，（FY） = XZ = x1, x3，（FZ） = XY = x1, x3，可见，Y、Z在F中是冗余的（可有可无的），所以F是相关的. X，Y与X，Z是F的简式，X，YX，ZX是F的核。用于规则约减的集合并意义下的核和简式。定义3.6 设U是论域，F =X1，X2，Xn，其中Xi U . 如果 （FXi） = F，则称Xi在F中是冗余的，否则称Xi在F中是必要的。 如果集合族F的任一元素在F中都是必要的，则称

14、F关于F是独立的，否则称F关于F是相关的。 对集合族H F，如果H关于H是独立的且H = F，则称H是F的一个简式。例4 设U =x1, x2, , x8，F =X，Y，Z，T，其中：X =x1, x3, x8，Y =x1, x2, x4, x5, x6，Z =x1, x3, x4, x6, x7，T =x1, x2, x5, x7。显然 F = XYZT = x1, x2, , x8我们有（FX）= x1, x2, ,x7 F（FY）= x1, x2, ,x8 = F（FZ）= x1, x2, ,x8 = F（FT）= x1, x2, ,x8 = F可见只有X是必要的，而Y、Z、T均为冗余的

15、。F的简式（即F的简式）为X，Y，Z、X，Y，T、X，Z，T。第3.5节 集合簇的相对简式与核定义3.7设U为论域，F =X1, X2, , Xn，Xi U，并存在一个子集Y U使得 F Y 如果 （F Xi） Y，则称Xi是F中Y冗余的，否则称Xi是F中Y必要的。 如果Xi F （i1, 2, , n） 都是 F中Y必要的，则称F是 F中Y独立的，否则称F是 F中Y相关的。 对集合簇H F，如果H是 F中Y独立的且 H Y，则称H是 F的Y简式。 F中所有Y必要的元素构成的集合簇被称为F的Y核，记为COREY （F ） . 一个Y简式或Y核也被称作关于Y的相对简式或核。定理3.5COREY

16、（F ） = REDY （F ），其中REDY （F ）是F的所有Y简式构成的集合簇。例5 集合族F =X，Y，Z，其中 X =x1, x3, x8，Y =x1, x3, x4, x5, x6，Z =x1, x3, x4, x6, x7，F =XYZ =x1, x3。令F Tx1, x3, x8 现在我们能判断X, Y, Z是否T冗余的，为此我们需要做如下计算：（FX）=YZ=x1, x3, x4, x6，（FY）=XZ=x1, x3，FZ）=X Y =x1, x3，则X是T必要的，Y、Z是T冗余的。F是T相关的，F的T核为X, F的两个T简式为：X, Z和X, Y 。练习：1 验证下列划分（

17、或者相应的等价关系）族独立与否，并计算核与简式。 F1=x2, x4,x1, x3,x5, x6, x8, x7,x9 F2=x1, x3,x4,x2, x5, x6, x7, x8, x9 F3=x2, x3,x5,x1, x4, x6, x7, x8, x92 验证 a） 族（F1,F2）是否F3独立 b） 族（F1,F3）是否F2独立 c） 族（F2,F3）是否F1独立 并计算相应的核与简式。3 验证下列集合族是否独立并计算核与简式。X1= x1, x2, x5, x6 X2= x2, x3,x5 X3= x1, x3, x5, x6X4= x1, x5, x64 验证 a） 族X1,X2,X3是否X4独立 b） 族 X2,X3,X4是否X1独立 c） 族X1,X3,X4是否X2独立5 验证集合X1,X2,X3和X4的并集是否独立。