高三数学大一轮复习 92两条直线的位置关系教案 理 新人教A版.docx

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高三数学大一轮复习92两条直线的位置关系教案理新人教A版

2019-2020年高三数学大一轮复习9.2两条直线的位置关系教案理新人教A版

xx高考会这样考　1.考查两条直线的平行、垂直关系；2.考查两点间的距离公式及点到直线的距离公式的应用．

复习备考要这样做　1.对于两条直线的位置关系问题，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系；2.熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．

1．两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．

（2）两条直线垂直

如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．

2．两直线相交

交点：

直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0和l2：

A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行⇔方程组无解；

重合⇔方程组有无数个解．

3．三种距离公式

（1）点A（x1，y1）、B（x2，y2）间的距离：

|AB|＝.

（2）点P（x0，y0）到直线l：

Ax＋By＋C＝0的距离：

d＝.

（3）两平行直线l1：

Ax＋By＋C1＝0与l2：

Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2）间的距离为d＝.

[难点正本　疑点清源]

1．两条直线平行、垂直的充要条件是有大前提的，就是两条直线都有斜率．当直线无斜率时，要单独考虑．

2．与直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）平行、垂直的直线方程的设法：

一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0.

1．直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________．

答案　－4

解析　因为两直线的交点在y轴上，所以点在第一条直线上，所以C＝－4.

2．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.

答案　1

解析　∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，

∴×＝－1，∴m＝1.

3．已知直线l1与l2：

x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为________________．

答案　x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0

解析　设l1的方程为x＋y＋c＝0，则＝.

∴|c＋1|＝2，即c＝1或c＝－3.

4．过点（1,0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是（　　）

A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0

C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0

答案　A

解析　∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，∴所求直线的斜率为k＝，排除C、D.又直线过点（1,0），排除B，故选A.

5．若经过点（3，a）、（－2,0）的直线与经过点（3，－4）且斜率为的直线垂直，则a的值为（　　）

A.B.C．10D．－10

答案　D

解析　∵＝－2，∴a＝－10.

题型一　两条直线的平行与垂直

例1　已知直线l1：

ax＋2y＋6＝0和直线l2：

x＋（a－1）y＋a2－1＝0.

（1）试判断l1与l2是否平行；

（2）l1⊥l2时，求a的值．

思维启迪：

运用两条直线平行或垂直的条件求解，要注意斜率为0或斜率不存在的情形．

解　

（1）方法一　当a＝1时，

l1：

x＋2y＋6＝0，

l2：

x＝0，l1不平行于l2；

当a＝0时，l1：

y＝－3，

l2：

x－y－1＝0，l1不平行于l2；

当a≠1且a≠0时，两直线可化为

l1：

y＝－x－3，l2：

y＝x－（a＋1），

l1∥l2⇔　解得a＝－1，

综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．

方法二　由A1B2－A2B1＝0，得a（a－1）－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a（a2－1）－1×6≠0，

∴l1∥l2⇔

⇔⇒a＝－1，

故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．

（2）方法一　当a＝1时，l1：

x＋2y＋6＝0，l2：

x＝0，

l1与l2不垂直，故a＝1不成立；

当a＝0时，l1：

y＝－3，l2：

x－y－1＝0，l1不垂直于l2；

当a≠1且a≠0时，

l1：

y＝－x－3，l2：

y＝x－（a＋1），

由·＝－1⇒a＝.

方法二　由A1A2＋B1B2＝0得a＋2（a－1）＝0⇒a＝.

探究提高　

（1）当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件．

（2）在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．

已知两直线l1：

mx＋8y＋n＝0和l2：

2x＋my－1＝0.试确定m、n的值，使：

（1）l1与l2相交于点P（m，－1）；

（2）l1∥l2；

（3）l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.

解　

（1）由题意得，解得m＝1，n＝7.

（2）当m＝0时，显然l1不平行于l2；

当m≠0时，由＝≠，

得　∴或

即m＝4，n≠－2时或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.

（3）当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.

又－＝－1，∴n＝8.

即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.

题型二　两条直线的交点问题

例2　求经过直线l1：

3x＋2y－1＝0和l2：

5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：

3x－5y＋6＝0的直线l的方程．

思维启迪：

可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．

解　方法一　先解方程组，

得l1、l2的交点坐标为（－1,2），

再由l3的斜率求出l的斜率为－，

于是由直线的点斜式方程求出l：

y－2＝－（x＋1），即5x＋3y－1＝0.

方法二　由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点（－1,2），

故5×（－1）＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，

故l的方程为5x＋3y－1＝0.

方法三　由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ（5x＋2y＋1）＝0中的一条，

将其整理，得（3＋5λ）x＋（2＋2λ）y＋（－1＋λ）＝0.

其斜率－＝－，解得λ＝，

代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.

探究提高　运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：

（1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0（m∈R且m≠C）；

（2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0（m∈R）；

（3）过直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0与l2：

A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包括l2.

如图，设一直线过点（－1,1），它被两平行直线l1：

x＋2y－1＝0，l2：

x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：

x－y－1＝0上，求其方程．

解　与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.

设所求直线方程为（x＋2y－2）＋λ（x－y－1）＝0，

即（1＋λ）x＋（2－λ）y－2－λ＝0.又直线过A（－1,1），

∴（1＋λ）（－1）＋（2－λ）·1－2－λ＝0.

解得λ＝－.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.

题型三　距离公式的应用

例3　已知三条直线：

l1：

2x－y＋a＝0（a>0）；l2：

－4x＋2y＋1＝0；l3：

x＋y－1＝0.且l1与l2的距离是.

（1）求a的值；

（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：

①点P在第一象限；

②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；

③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.

若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．

思维启迪：

（1）由l1与l2的距离构建方程求a；

（2）假设存在点P，并设出其坐标，根据条件建立方程求解并作出判断．

解　

（1）∵l1：

4x－2y＋2a＝0（a>0），l2：

4x－2y－1＝0，

∴两条平行线l1与l2间的距离为d＝，

由已知，可得＝.又a>0，可解得a＝3.

（2）设点P的坐标为（x，y），由条件①，可知x>0，y>0.

由条件②和③，可得

化简得

于是可得，4|x＋y－1|＝|4x－2y－1|，

也就是4（x＋y－1）＝4x－2y－1，

或4（x＋y－1）＝－4x＋2y＋1，

解得y＝，或8x＋2y－5＝0.

当y＝时，代入方程|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，

解得x＝－3<0或x＝－<0，均舍去．

由，

化简得，或，

解得或（舍去）．

即存在满足题设条件的点P，其坐标为.

探究提高　

（1）在应用两条直线间的距离公式时．要注意两直线方程中x、y的系数必须相同．

（2）第

（2）问是开放探索性问题，要注意解决此类问题的一般策略．

已知A（4，－3），B（2，－1）和直线l：

4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.

解　设点P的坐标为（a，b），∵A（4，－3），B（2，－1），

∴线段AB的中点M的坐标为（3，－2），

∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，

即x－y－5＝0.

∵点P（a，b）在上述直线上，∴a－b－5＝0.①

又点P（a，b）到直线l：

4x＋3y－2＝0的距离为2，

∴＝2，即4a＋3b－2＝±10，②

联立①②可得或.

∴所求点P的坐标为（1，－4）或.

对称变换思想的应用

典例：

（12分）光线沿直线l1：

x－2y＋5＝0射入，遇直线l：

3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．

审题视角　

（1）入射光线所在直线与反射光线所在直线关于l对称．

（2）对称点的连线被对称轴垂直平分．

规范解答

解　方法一　由

得

∴反射点M的坐标为（－1,2）．[2分]

又取直线x－2y＋5＝0上一点P（－5，0），设P关于直线l的对称点P′（x0，y0），由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.[4分]

而PP′的中点Q的坐标为，

Q点在l上，∴3·－2·＋7＝0.[6分]

由得[8分]

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.[12分]

方法二　设直线x－2y＋5＝0上任意一点P（x0，y0）关于直线l的对称点为P′（x，y），则＝－，[4分]

又PP′的中点Q在l上，

∴3×－2×＋7＝0，[6分]

由

可得P点的坐标为

x0＝，y0＝，[10分]

代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，

∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.[12分]

温馨提醒　

（1）综合利用物理学知识，利用对称变换的思想方法求解是本题的关键．

（2）构建方程解方程组是本题的又一重要方法．（3）坐标转移法是对称变换中常用的方法之一．（4）本题的易错点，一是计算错误，二是不能用对称的思想求解，亦即找不到解决问题的突破口．

方法与技巧

1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．

2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法．

失误与防范

1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定