高中数学41 圆的方程教案2人教版必修2.docx

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高中数学41圆的方程教案2人教版必修2

圆的方程

一、知识点

1、圆的标准方程

2、圆的一般方程

3、圆的参数方程

4、根据恰当的条件写出圆的方程

5、由圆的方程写出圆的半径和圆心

6、由直线方程和圆的方程讨论直线与圆的位置关系

7、由圆的方程讨论两个圆的位置关系

二、能力点

1、掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程

2、能根据恰当的条件写出圆的方程

3、会由圆的方程写出圆的半径和圆心

4、会由直线方程和圆的方程讨论直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程

5、会由圆的方程讨论两个圆的位置关系

6、进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力

7、培养学生设参数、消参数解决问题的能力

三、学法指导

1、求圆的方程可大致分为五种不同情形

①给出圆的半径，隐含给出圆的圆心

②给出圆的圆心，隐含给出圆的半径

③给出圆经过两个定点及圆心通过某条已知直线

④给定圆上三点

⑤给出圆上一定点，一条圆的切线方程及圆心所在直线方程

2、直线与圆的位置关系的判断

⑴方程观点：

由圆的方程与直线的方程消去y（或x）后得到一个一元二次方程，用判别式Δ与0的大小来判别：

Δ＞0时，直线与圆相交；Δ＝0时，直线与圆相切；Δ＜0时，直线与圆相离。

⑵几何法（算出圆心到直线的距离d，然后比较d与半径R的关系）：

当d＜R时直线与圆相交；d＝R时直线与圆相切；d＞R时直线与圆相离。

3、两圆的位置关系

用几何法较好，设两圆的圆心的距离为d，两圆的半径分别为R1、R2，则：

①d＞R1＋R2时两圆相离；

②d＝R1＋R2时两圆外切；

③d＜|R1－R2|时两圆内切；

④R1－R2＜d＜R1＋R2时两圆相交；

⑤d＜R1－R2两圆内含。

4、圆的参数方程是表示圆心为原点，半径为R的圆，由于圆的参数方程是由圆上动点坐标形式来表达的，用参数式求圆上的动点与某定点的距离，求圆上的动点与某定点所有连线的斜率范围等问题可化为三角求解，这样运算简洁，计算方便。

四、重点与难点　

1、重点：

圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导和应用

2、难点：

直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论以及圆的相关性质的研究

五、课时安排　　三课时

第一课时　圆的标准方程

●教学目标

1．掌握圆的标准方程的形式特点；

2．能根据圆心坐标、半径熟练写出圆的标准方程；

3．能从圆的标准方程求出它的圆心和半径.

●教学重点

圆的标准方程

●教学难点

根据条件建立圆的标准方程

●教学方法

学导式

●教学过程

设置情境：

在初中的几何课本中，大家对圆的性质就比较熟悉，首先来回顾一下圆的定义。

平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆，定点就是圆心，定长就是半径.

按照求解曲线方程的一般步骤来求解圆的方程.

1．圆的标准方程：

（x―a）2＋（y―b）2＝r2

其中圆心坐标为（a,b），半径为r

推导：

如图7—32，设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为

把①式两边平方，得（x―a）2＋（y―b）2＝r2

当圆心在原点，这时圆的方程是：

x2＋y2＝r2

小结：

由圆的标准方程知道，只要知道圆的圆心、半径就可以写出圆的方程。

课堂练习：

1、P77　练习　1

写出下列各圆的方程

⑴圆心在原点，半径是3；

⑵圆心在点C（3,4），半径是5；

⑶圆心在点C（8,－3）,经过点P（5,1）。

2、说出下列圆的圆心、半径

⑴（x－2）2＋（y＋3）2＝25

⑵（x＋2）2＋（y－1）2＝36

⑶x2＋y2＝4

3、判断下列各点与圆（x＋1）2＋（y－1）2＝4的位置关系：

①A（1,1）；②B（0,1）；③C（3,1）。

小结：

点P（x0,y0）与（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系是

　　　（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2等价于点P在圆上；（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2等价于点P在圆外；

（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2等价于点P在圆内。

2．例题讲解：

例1求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.

回忆初中直线与圆的位置关系：

①设圆心到直线的距离d，圆的半径为r，则d＞r等价于直线与圆相离；d＝r等价于直线与圆相切；d＜r等价于直线与圆相交。

②从交点个数来看：

直线与圆没有交点等价于直线与圆相离；直线与圆只有一个点等价于直线与圆相切；直线与圆有两个点等价于直线与圆相交。

③从方程的观点来看：

由圆的方程与直线的方程消去y（或x）后得到一个一元二次方程，用判别式Δ与0的大小来判别：

Δ＞0等价于直线与圆相交；Δ＝0等价于直线与圆相切；Δ＜0等价于直线与圆相离。

解：

因为圆C和直线3x－4y－7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.

根据点到直线的距离公式，得

因此，所求的圆的方程是

说明直线和圆相切的性质是解决圆的问题重要知识

例2已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）的切线的方程.

解：

如图，设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1,因为圆的切线　

垂直于过切点的半径，于是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

.

经过点M的切线方程是：

整理得：

因为点M（x0，,y0）在圆上，所以

所求切线方程为：

当点M在坐标轴上时，上述方程同样适用.

猜测：

已知圆的方程是（x－a）2+（y－b）2=r2，则经过圆上一点M（x0，y0）的切线的方程是（x－a）（x0－a）+（y－b）（y0－b）=r2.

说明：

例2结论要求学生熟记.，一题多解

例3图7—34是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m）.

解：

建立直角坐标系如图7—34所示.

圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径是r,那么圆的方程是x2+（y－b）2=r2

因为P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.于是得到方程组.

解得b=－10.5,r2=14.52

所以这个圆的方程是：

x2+（y+10.5）2=14.52

把点P的横坐标x=－2代入圆方程得

答：

支柱A2P2的长度约为.

说明：

例3一方面让学生进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，另一方面了解待定系数法确定曲线方程的思路.

Ⅲ.课堂练习

课本P77练习1，2，3，4

思考题：

1、圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的最小距离是__________。

5

2．直线3x－4y+17=0被（x－2）2＋（y－2）2＝25所截得的弦长是_____________.8

●归纳总结

1数学思想：

数形结合，

2数学方法：

解析法，图形法。

通过本节学习，要求大家熟练掌握圆的标准方程，了解待定系数法，进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，并能解决一些简单的有关圆的实际问题.。

要学会把圆的几何性质与解析法结合起来解决问题。

●作业　　　　习题7.71，2，3，4

第二课时　圆的一般方程

●教学目标

1．掌握圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化；

2．掌握二元二次方程表示圆的充要条件；

3．进一步熟悉并掌握待定系数法.

●教学重点

圆的一般方程应用

●教学难点

待定系数法

教学过程

一、设置情境：

1、求下列各圆的标准方程

⑴圆心在直线y＝－x上，且过两点（2,0）,（0,－4）；

⑵圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线x＋y－1＝0相切于点（2，－1）；

⑶圆心在直线5x－3y＝8上，且与坐标轴相切。

⑴（x－3）2＋（y＋3）2＝10；⑵（x－1）2＋（y＋2）2＝2；⑶（x－4）2＋（y－4）2＝16

2、已知圆x2＋y2＝25，求：

⑴过点A（4，－3）的切线方程；　　　　　　　　4x－3y－25＝0

⑵过点B（－5，2）的切线方程。

　　　　　　　　21x－20y＋145＝0或x＝－5

2、圆的标准方程及其应用回顾：

（x―a）2＋（y―b）2＝r2其中圆心坐标为（a,b），半径为r

变形圆的标准方程

x2＋y2―2ax―2by＋a2＋b2－r2＝0

由此可见，任一个圆的方程都可以写成下面的形式：

x2+y2+Dx+Ey+F=0　　　　　　　　　　　　①

反过来，我们研究形如①的方程的曲线是不是圆。

将①的左边配方，整理得

　　　　　②

⑴当D2+E2－4F＞0时，比较方程②和圆的标准方程，可以看出方程①表示以（―D/2,―E/2）为圆心，半径为的圆；

⑵当D2+E2－4F＝0时，方程①只有实数解x＝―D/2,y＝―E/2，所以表示一个点（―D/2,―E/2）；

⑶当D2+E2－4F＜0时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。

二、解决问题

1、圆的一般方程：

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F＞0），其中圆心（―D/2,―E/2），半径为。

2、二元二次方程表示圆的充要条件：

由二元二次方程的一般形式：

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的系数比较，

（1）x2和y2的系数相同，且不等于0，即A=C≠0；

（2）没有xy项，即B=0；

（3）D2+E2－4AF＞0.

练习：

1、下列方程各表示什么图形？

⑴x2+y2=0

⑵x2+y2－2x+4y－6=0

⑶x2+y2+2ax－b2=0

2、求下列各圆的圆心与半径

⑴x2+y2－6y=0

⑵x2+y2+2by=0

⑶x2+y2－4x+6y－12=0

三、反思应用

例1求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.

解：

设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0

用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F、

因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得

解得

于是所求圆方程为：

x2+y2－8x+6y=0

化成标准方程为：

（x－4）2+[y－（－3）]2=52

所以圆半径r=5,圆心坐标为（4，－3）

说明：

例4要求学生进一步熟悉待定系数法，并能将圆的一般方程化成标准形式，并求出相应半径与圆心半径.

例2已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.

解：

在给定的坐标系里，设点M（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合.

由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为，①

将①式两边平方，得

化简得x2+y2+2x－3=0②

化为标准形式得：

（x+1）2+y2=4

所以方程②表示的曲线是以C（－1，0）为圆心，2为半径的圆，它的图形如图7—35所示.

例3　求过原点及点A（1,1）且在x轴上截得的线段长为3的圆的方程。

解：

设所求圆的方程为：

x2+y2+Dx+Ey+F=0，则

又圆被x轴上截得的线段长为3，即|D|＝3

∴D＝±3，当D＝3时，E＝－5，F＝0；当D＝－3时，E＝1，F＝0

故所求的圆的方程为：

x2+y2+3x－5y=0或x2+y2－3x＋y=0

●课堂小结

圆的一般方程，能化成标准方程，进一步熟悉待定系数法思路，熟练求解曲线方程.

●课后作业

习题7.75，6，7，8

第三课时　圆的方程

教学目标　

⑴进一步掌握圆的标准方程与一般方程

⑵能根据条件选择适当