两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|（r1≠r2）
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|（r1≠r2）
无解
【知识拓展】
1．圆的切线方程常用结论
（1）过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
（2）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2.
（3）过圆x2＋y2＝r2外一点M（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆的位置关系与公切线的条数：
①内含：
0条；②内切：
1条；③相交：
2条；④外切：
3条；⑤相离：
4条．
（2）当两圆相交时，两圆方程（x2，y2项系数相同）相减便可得公共弦所在直线的方程．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．（ × ）
（2）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．（ × ）
（3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．（ × ）
（4）过圆O：
x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.（ √ ）
（5）过圆O：
x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.（ √ ）
1．（教材改编）圆（x－1）2＋（y＋2）2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是（ ）
A．相切B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心D．相离
答案 B
解析 由题意知圆心（1，－2）到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<且2×1＋（－2）－5≠0，
所以直线与圆相交但不过圆心．
2．（2016·全国甲卷）圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a等于（ ）
A．－B．－C.D．2
答案 A
解析 由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为（1,4），由点到直线的距离公式得d＝＝1，解之得a＝－.
3．（2016·西安模拟）若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[－3，－1]B．[－1,3]
C．[－3,1]D．（－∞，－3]∪[1，＋∞）
答案 C
解析 由题意，可得圆的圆心为（a,0），半径为，
所以≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
4．（2016·黑龙江大庆实验中学检测）已知圆C1：
（x－2）2＋（y－3）2＝1，圆C2：
（x－3）2＋（y－4）2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为（ ）
A．6－2B．5－4
C.－1D.
答案 B
解析 圆C1关于x轴对称的圆C1′的圆心为C1′（2，－3），半径不变，圆C2的圆心为（3,4），半径r＝3，|PM|＋|PN|的最小值为圆C1′和圆C2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为－1－3＝5－4.
5．已知圆C1：
（x－a）2＋（y＋2）2＝4与圆C2：
（x＋b）2＋（y＋2）2＝1外切，则ab的最大值为________．
答案
解析 由两圆外切可得圆心（a，－2），（－b，－2）之间的距离等于两圆半径之和，
即（a＋b）2＝（2＋1）2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，
所以ab≤，当且仅当a＝b时取等号，
即ab的最大值是.
题型一 直线与圆的位置关系的判断
例1
（1）已知点M（a，b）在圆O：
x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是（ ）
A．相切B．相交
C．相离D．不确定
（2）（2016·江西吉安月考）圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0（t∈R）的位置关系为（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．以上都有可能
答案
（1）B
（2）C
解析
（1）因为M（a，b）在圆O：
x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1.
所以直线与圆相交．
（2）直线2tx－y－2－2t＝0恒过点（1，－2），
∵12＋（－2）2－2×1＋4×（－2）＝－5<0，
∴点（1，－2）在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内．
直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，
故选C.
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
（1）几何法：
利用d与r的关系．
（2）代数法：
联立方程之后利用Δ判断．
（3）点与圆的位置关系法：
若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
已知方程x2＋－＝0有两个不等实根a和b，那么过点A（a，a2），B（b，b2）的直线与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．
答案 相切
解析 由题意可知过A，B两点的直线方程为（a＋b）x－y－ab＝0，圆心到直线AB的距离d＝，而a＋b＝－，ab＝－，因此d＝，
化简后得d＝1，故直线与圆相切．
题型二 圆与圆的位置关系
例2
（1）（2016·山东）已知圆M：
x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：
（x－1）2＋（y－1）2＝1的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
（2）（2017·重庆月考）如果圆C：
x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：
x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．
答案
（1）B
（2）（－2，0）∪（0,2）
解析
（1）∵圆M：
x2＋（y－a）2＝a2（a>0），
∴圆心坐标为M（0，a），半径r1为a，
圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得2＋（）2＝a2，解得a＝2.∴M（0,2），r1＝2.
又圆N的圆心坐标N（1,1），半径r2＝1，
∴|MN|＝＝，
r1＋r2＝3，r1－r2＝1.
∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.
（2）圆C的标准方程为（x－a）2＋（y－a）2＝4，圆心坐标为（a，a），半径为2.
依题意得0<<2＋2，∴0<|a|<2.
∴a∈（－2，0）∪（0,2）．
思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是
（1）确定两圆的圆心坐标和半径长；
（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；
（3）比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
（1）m取何值时两圆外切；
（2）m取何值时两圆内切；
（3）求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为（x－1）2＋（y－3）2＝11，（x－5）2＋（y－6）2＝61－m，
圆心分别为M（1,3），N（5,6），半径分别为和.
（1）当两圆外切时，
＝＋，
解得m＝25＋10.
（2）当两圆内切时，因为定圆的半径小于两圆圆心间距离5，
故只有－＝5，解得m＝25－10.
（3）两圆的公共弦所在直线方程为
（x2＋y2－2x－6y－1）－（x2＋y2－10x－12y＋45）＝0，
即4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为
2
＝2.
题型三 直线与圆的综合问题
命题点1 求弦长问题
例3 （2016·全国丙卷）已知直线l：
mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.
答案 4
解析 设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2，|AB|＝2，所以|OM|＝3，解得m＝－，由
解得A（－3，），B（0，2），
则AC的直线方程为y－＝－（x＋3），
BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，解得C（－2,0），D（2,0），所以|CD|＝4.
命题点2 直线与圆相交求参数范围
例4 （2015·课标全国Ⅰ）已知过点A（0,1）且斜率为k的直线l与圆C：
（x－2）2＋（y－3）2＝1交于M，N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解
（1）由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以<1.
解得所以k的取值范围为.
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．
将y＝kx＋1代入方程（x－2）2＋（y－3）2＝1，整理得
（1＋k2）x2－4（1＋k）x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2
＝（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1
＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
命题点3 直线与圆相切的问题
例5 已知圆C：
（x－1）2＋（y＋2）2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
（1）与直线l1：
x＋y－4＝0平行；
（2）与直线l2：
x－2y＋4＝0垂直；
（3）过切点A（4，－1）．
解
（1）设切线方程为x＋y＋b＝0，
则＝，∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.
（2）设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则＝，∴m＝±5，
∴切线方程为2x＋y±5＝0.
（3）∵kAC＝＝，
∴过切点A（4，－1）的切线斜率为－3，
∴过切点A（4，－1）的切线方程为y＋1＝－3（x－4），
即3x＋y－11＝0.
思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
（2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
（1）（2015·课标全国Ⅱ）过三点A（1,3），B（4,2），C（1，－7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于（ ）
A．2B．8C．4D．10
（2）若直线xcosθ＋ysinθ－1＝0与圆（x－1）2＋（y－sinθ）2＝相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是（ ）
A．－B．－C.D.
答案
（1）C
（2）A
解析
（1）由已知，得＝（3，－1），＝（－3，－9），
则·＝3×（－3）＋（－1）×（－9）＝0，
所以⊥，即AB⊥BC，
故过三点A、B、C的圆以AC为直径，
得其方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝25，
令x＝0，得（y＋2）2＝24，
解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，
所以|MN|＝|y1－y2|＝4，选C.
（2）依题意，得圆心到直线的距离等于半
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