人教版文数高考一轮复习 第7章 第4节 直线平面平行的判定及其性质文档格式.docx

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一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”）

∵a∥β，b∥β，

a∩b＝P，

a⊂α，b⊂α，

∴α∥β

性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

∵α∥β，

α∩γ＝a，

β∩γ＝b，

∴a∥b

[知识拓展]

（1）垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；

（2）垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；

（3）平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

（4）两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行，即α∥β，m⊂α，则m∥β.

[基本能力自测]

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（　　）

（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．（　　）

（3）若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．（　　）

（4）若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．（　　）

[答案]　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）√

2．（教材改编）下列命题中，正确的是（　　）

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

D　[根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]

3．（2015·

北京高考）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的（　　）

A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

B　[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β

α∥β；

当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．]

4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．

平行　[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，

∴EF∥BD1，

又EF⊂平面ACE，

BD1⊄平面ACE，

∴BD1∥平面ACE.]

5．（2017·

河北石家庄质检）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m⊂α，n∥α，则m∥n；

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；

④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.

其中是真命题的是________（填上序号）．【导学号：

79170247】

②　[①，m∥n或m，n异面，故①错误；

易知②正确；

③，m∥β或m⊂β，故③错误；

④，α∥β或α与β相交，

故④错误．]

（对应学生用书第100页）

与线、面平行相关命题真假的判断

　（2017·

全国卷Ⅰ）在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是

（　　）

A　[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB．

∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，

∴直线AB与平面MNQ相交．

B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.

又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.

C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.

D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.

又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.

故选A．]

[规律方法]　　1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．

2．

（1）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．

（2）特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．

[变式训练1]　

（1）（2018·

唐山模拟）若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是（　　）【导学号：

79170248】

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β

（2）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：

①FG∥平面AA1D1D；

②EF∥平面BC1D1；

③FG∥平面BC1D1；

④平面EFG∥平面BC1D1

其中推断正确的序号是（　　）

图741

A．①③　　　　　　B．①④

C．②③D．②④

（1）D　

（2）A　[

（1）在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故A错误．在B中，若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．

（2）∵在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，

∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，

∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；

∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；

∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，

∴FG∥BC1，∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，

∴FG∥平面BC1D1，故③正确；

∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．]

直线与平面平行的判定与性质

　（2016·

南通模拟）如图742所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．

（1）当

等于何值时，BC1∥平面AB1D1；

（2）若平面BC1D∥平面AB1D1，求

的值．

图742

[解]　

（1）如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时

＝1.2分

连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.

由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，

∴点O为A1B的中点．

在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，

∴OD1∥BC1.4分

又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，

∴BC1∥平面AB1D1.

∴当

＝1时，BC1∥平面AB1D1.6分

（2）由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得

BC1∥D1O，8分

同理AD1∥DC1，∴

＝

，

，又∵

＝1，

∴

＝1，即

＝1.12分

[规律方法]　　1.判断或证明线面平行的常用方法有：

（1）利用反证法（线面平行的定义）；

（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；

（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；

（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．

2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．

[变式训练2]　（2018·

西安模拟）如图743，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，设F是棱AB的中点，证明：

直线EE1∥平面FCC1；

【导学号：

79170249】

图743

[证明]　法一：

取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，

由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连接A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C．

又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.

法二：

因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此

四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC．又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.

平面与平面平行的判定与性质

　如图744所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

图744

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

[证明]　

（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.2分

又∵B1C1∥BC，

∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面.5分

（2）在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，

∴EF∥BC．

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.7分

∵A1G綊EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，

则A1E∥GB．

∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.10分

∵A1E∩EF＝E，

∴平面EFA1∥平面BCHG.12分

[母题探究]　在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：

HD∥平面A1B1BA．

[证明]　如图所示，连接HD，A1B，

∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，

∴HD∥A1B．5分

又HD⊄平面A1B1BA，

A1B⊂平面A1B1BA，

∴HD∥平面A1B1BA．12分

[规律方法]　　1.判定面面平行的主要方法：

（1）面面平行的判定定理．

（2）线面垂直的性质（垂直于同一直线的两平面平行）．

2．面面平行的性质定理的作用：

（1）判定线面平行；

（2）判断线线平行．

线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．

线线平行

线面平行

面面判定定理性质定理平行

易错警示：

利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．

[变式训练3]　（2016·

山东高考）在如图745所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．

（1）已知AB＝BC，AE＝EC，求证：

AC⊥FB；

（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：

GH∥平面ABC．

图745

[证明]　

（1）因为EF∥DB，

所以EF与DB确定平面BDEF.2分

如图①，连接DE.

①

因为AE＝EC，D为AC的中点，

所以DE⊥AC．同理可得BD⊥AC．

又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.4分

因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB．5分

（2）如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.

②

在△CEF中，因为G是CE的中点，

所以GI∥EF.8分

又EF∥DB，所以GI∥DB．

在△CFB中，因为H是FB的中点，

所以HI∥BC．又HI∩GI＝I，

所以平面GHI∥平面ABC．

因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC．12分