高中数学新人教版必修2教案第1章 132 球的体积和表面积 含答案.docx

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高中数学新人教版必修2教案第1章132球的体积和表面积含答案

1.3.2　球的体积和表面积

1．了解并掌握球的体积和表面积公式．

2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．（重点）

3．会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．（难点、易混点）

[基础·初探]

教材整理　球的表面积与体积公式

阅读教材P27“练习”以下至P28“练习”以上内容，完成下列问题．

1．球的体积

设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.

2．球的表面积

设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）球的体积之比等于半径比的平方．（　　）

（2）长方体既有外接球又有内切球．（　　）

（3）球面展开一定是平面的圆面．（　　）

（4）球的三视图都是圆．（　　）

【解析】　

（1）错误．球的体积之比等于半径比的立方．

（2）错误．长方体只有外接球，没有内切球．

（3）错误．球的表面不能展开成平面图形，故错误．

（4）正确．球的三视图都是圆．

【答案】　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

[小组合作型]

球的表面积和体积

（1）已知球的表面积为64π，求它的体积；

（2）已知球的体积为π，求它的表面积．

【精彩点拨】　借助公式，求出球的半径，再根据表面积与体积公式求解．

【自主解答】　

（1）设球的半径为r，则由已知得

4πr2＝64π，

r＝4.

所以球的体积：

V＝×π×r3＝π.

（2）设球的半径为R，由已知得

πR3＝π，

所以R＝5，

所以球的表面积为：

S＝4πR2＝4π×52＝100π.

1．一个关键

抓住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．

2．两个结论

（1）两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方；

（2）两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．

[再练一题]

1．

（1）球的体积是，则此球的表面积是（　　）

A．12πB．16π

C.D.

（2）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为

（　　）

A.B.

C．8πD.

【解析】　

（1）设球的半径为R，则由已知得V＝πR3＝，R＝2.

∴球的表面积S＝4πR2＝16π.

（2）设截面圆的半径为r，则πr2＝π，故r＝1，由勾股定理求得球的半径为＝，

所以球的体积为π（）3＝.

【答案】　

（1）B　

（2）D

与球有关的组合体的表面积与体积

（1）如图1315是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

图1315

A.π＋12

B.π＋18

C．9π＋42

D．36π＋18

（2）一个几何体的三视图（单位：

cm）如图1316所示，则该几何体的表面积是________cm2.

图1316

【精彩点拨】　先根据三视图还原组合体，再利用有关数据计算．

【自主解答】　

（1）由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为3的球，下面一个底面为正方形且边长为3，高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为：

V＝V1＋V2＝×π×3＋3×3×2＝π＋18.

（2）由三视图知该几何体为一个四棱柱，一个半圆柱和一个半球的组合体，其中四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为1×2－×π×12＝2－，四棱柱中不重合的表面积为2－＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12－，半圆柱中不重合的表面积为×2π×2＋π＝π，半球的表面积为×4π＝2π，所以该几何体的表面积为4π＋12.

【答案】　

（1）B　

（2）4π＋12

1．由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．

2．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠或交叉．

[再练一题]

2．如图1317是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为（　　）

图1317

A．18πB．30π

C．33πD．40π

【解析】　由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积S＝2π×32＋π×3×5＝33π.

【答案】　C

[探究共研型]

有关球的切、接问题

探究1　若球的半径为R，则球的内接正方体的棱长是多少？

【提示】　设正方体的棱长为a，由于正方体的体对角线长等于球的直径，所以a＝2R，故a＝R，即球的内接正方体的棱长为R.

探究2　正方体的外接球、内切球的半径与正方体的棱长分别有什么数量关系？

【提示】　设正方体的棱长为a，外接球、内切球的半径分别为R、r，则2R＝a,2r＝a.

　一个高为16的圆锥外接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：

（1）圆锥的侧面积；

（2）圆锥里内切球的体积．

【精彩点拨】　有关球的切、接问题，作出轴截面求解．

【自主解答】　

（1）如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB内接于⊙O，而⊙O1内切于△SAB.

设⊙O的半径为R，则有πR3＝972π，

∴R3＝729，R＝9.

∴SE＝2R＝18.

∵SD＝16，∴ED＝2.

连接AE，又∵SE是直径，

∴SA⊥AE，

SA2＝SD·SE＝16×18＝288，

∴SA＝12.

∵AB⊥SD，

∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，

∴AD＝4.

∴S圆锥侧＝π×4×12＝96π.

（2）设内切球O1的半径为r，

∵△SAB的周长为2×（12＋4）＝32，

∴r×32＝×8×16.∴r＝4.

∴内切球O1的体积V球＝πr3＝π.

1．在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等．

2．几个常用结论

（1）球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；

（2）球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；

（3）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；

（4）球与棱锥相切，则可利用V棱锥＝S底h＝S表R，求球的半径R.

[再练一题]

3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　）

A．πa2　　　　　　B.πa2

C.πa2D．5πa2

B　[由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a，如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.]

1．直径为6的球的表面积和体积分别是（　　）

A．144π，144π　B．144π，36π

C．36π，144πD．36π，36π

【解析】　R＝3，S＝4πR2＝36π，V＝πR3＝36π.

【答案】　D

2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　）

A．3πa2B．6πa2

C．12πa2D．24πa2

【解析】　设该球的半径为R，

∴（2R）2＝（2a）2＋a2＋a2＝6a2，

即4R2＝6a2.

∴球的表面积为S＝4πR2＝6πa2.

【答案】　B

3．已知一个球的体积为π，则此球的表面积为________．

【解析】　设球的半径为R，则V＝πR3＝π，

∴R＝1，∴球的表面积S＝4π.

【答案】　4π

4．某几何体的三视图如图1318所示，则其表面积为________．

图1318

【解析】　由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即×4π＋π＝3π.

【答案】　3π

5．圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r，圆柱、圆锥的高都是2r，

（1）求圆柱、圆锥、球的体积之比；

（2）求圆柱、圆锥、球的表面积之比．

【解】　

（1）V圆柱＝πr2·2r＝2πr3，

V圆锥＝·πr2·2r＝πr3，

V球＝πr3，

所以V圆柱∶V圆锥∶V球＝3∶1∶2.

（2）S圆柱＝2πr·2r＋2πr2＝6πr2，

S圆锥＝πr·＋πr2＝（＋1）πr2，

S球＝4πr2，

所以S圆柱∶S圆锥∶S球＝6∶（＋1）∶4.

学业分层测评（六）

（建议用时：

45分钟）

[学业达标]

一、选择题

1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（　　）

A.π　　　　　　　　　B.

C．4πD．32π

【解析】　设正方体边长为a，由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.

设正方体外接球的半径为R，则

a＝2R，∴R＝，∴V球＝πR3＝4π.

【答案】　C

2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为（　　）

A．2∶3B．4∶9

C.∶D.∶

【解析】　∶＝r3∶R3＝8∶27，

∴r∶R＝2∶3，∴S1∶S2＝r2∶R2＝4∶9.

【答案】　B

3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）

A．12πB.π

C．8πD．4π

A　[设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.

所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4π·（）2＝12π，故选A.]

4．一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（　　）

A.cm3B.cm3

C.cm3D.cm3

【解析】　根据球的截面性质，有R＝＝＝5，

∴V球＝πR3＝π（cm3）．

【答案】　C

5．等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是（　　）

A．S球

C．S圆柱

【解析】　设等边圆柱底面圆半径为r，

球半径为R，正方体棱长为a，

则πr2·2r＝πR3＝a3，3＝，3＝2π，

S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2，

＝＝·2＝<1，

＝＝·2＝>1，故选A.

【答案】　A

二、填空题

6．一个几何体的三视图（单位：

m）如图1319所示，则该几何体的体积为________m3.

图1319

【解析】　由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为；

上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，

所以V＝π×3×2＋1×3×6＝9π＋18.

【答案】　9π＋18

7．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6cm，深为1cm的空穴，则该球半径是________cm，表面积是________cm2.

【解析】　设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD＝R－1，

则（R－1）2＋32＝R2，

解得R＝5cm，

所以该球表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π（cm2）．

【答案】　5　100π

三、解答题

8．如图1320，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求钢球的半径．

图1320

【解】　设球的半径为R，由题意可得

πR3＝π×32×0.5，

解得R＝1.5（cm），所以所求球的半径为1.