高中数学人教版a版选修21配套课时作业第三章空间向量与立体几何 单元检测a卷 word版含答案.docx

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高中数学人教版a版选修21配套课时作业第三章空间向量与立体几何单元检测a卷word版含答案

第三章　空间向量与立体几何（A）

（时间：

120分钟　满分：

150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．以下命题中，不正确的个数为（　　）

①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③若a·b＝0，b·c＝0，则a＝c；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；⑤|（a·b）·c|＝|a|·|b|·|c|.

A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5

2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于（　　）

A．a＋b－cB．a－b＋c

C．－a＋b＋cD．－a＋b－c

3．已知a＝（2,4,5），b＝（3，x，y），若a∥b，则（　　）

A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝

C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝

4．已知空间三点A（0,2,3），B（－2,1,6），C（1，－1,5）．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为（　　）

A．（1,1,1）

B．（－1，－1，－1）

C．（1,1,1）或（－1，－1，－1）

D．（1，－1,1）或（－1,1，－1）

5．已知A（－1,0,1），B（0,0,1），C（2,2,2），D（0,0,3），则sin〈，〉等于（　　）

A．－B.C.D．－

6．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（　　）

A．60°B．90°C．105°D．75°

7．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（　　）

A．cosθ＝B．cosθ＝

C．sinθ＝D．sinθ＝

8．若三点A（1，－2,1），B（4,2,3），C（6，－1,4），则△ABC的形状是（　　）

A．不等边的锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等边三角形

9．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝（1,2，－1），v＝（－3，－6,3），则（　　）

A．α∥βB．α⊥β

C．α，β相交但不垂直D．以上均不正确

10．若两点A（x,5－x,2x－1），B（1，x＋2,2－x），当||取最小值时，x的值等于（　　）

A．19B．－C.D.

11.

如图所示，在四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为（　　）

A.B.

C.D.

12.

如图所示，在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为（　　）

A.B.

C.D．2

题　号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答　案

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若a＝（2，－3,5），b＝（－3,1，－4），则|a－2b|＝________.

14．如图所示，

已知正四面体ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．

15．平面α的法向量为（1,0，－1），平面β的法向量为（0，－1,1），则平面α与平面β所成二面角的大小为________．

16.

如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1.求证：

AB1＝CA1.

18．（12分）已知四边形ABCD的顶点分别是A（3，－1，2），B（1，2，－1），C（－1,1，－3），D（3，－5,3）．

求证：

四边形ABCD是一个梯形．

19.（12分）

如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线？

20．（12分）

如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.

求证：

C1C⊥BD.

21.（12分）

如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．

22．（12分）

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.

（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；

（2）证明AF⊥平面A1ED；

（3）求二面角A1—ED—F的正弦值．

第三章　空间向量与立体几何（A）

1．C　[只有命题④正确．]

2.

D　[如图，＝－＝－－＝－－＝b－a－c.]

3．D　[∵a∥b，∴存在实数λ，

使，∴.]

4．C　[设a＝（x，y，z），∵＝（－2，－1,3），

＝（1，－3,2），

又|a|＝，a⊥，a⊥，

∴∴或

∴a＝（1,1,1）或a＝（－1，－1，－1）．]

5．C　[∵＝（1,0,0），＝（－2，－2,1），

∴cos〈，〉＝＝－，

∴sin〈，〉＝.]

6．B　[

建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A（0,0,1），B1，C1（0，，0），

B.

∴＝，＝，

∴·＝－－1＝0，

即AB1与C1B所成角的大小为90°.]

7．D　[若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cosβ＝，∴sinθ＝|cosβ|＝.]

8．A　[＝（3,4,2），＝（5,1,3），＝（2，－3,1），·>0，得∠A为锐角；·>0，得∠C为锐角；·>0，得∠B为锐角，所以△ABC是锐角三角形且||＝，||＝，||＝.]

9．A　[∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.]

10．C　[＝（1－x,2x－3，－3x＋3），

则||＝

＝＝.

故当x＝时，||取最小值．]

11．C　[如图所示，

作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，

可以求得BD＝，

ED＝.∵＝＋＋，

∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.

∴·＝－，∴cos〈，〉＝－，

即二面角B—AP—C的余弦值为.]

12．B　[

建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，－1,0），E（1,0,0），D（0，－1,2），C（0,1,2）．

＝（0,0,2），＝（1,1,0），＝（0,2,2），设平面ACE的法向量n＝（x，y，z），

则　即

令y＝1，∴n＝（－1,1，－1）．

故点D到平面ACE的距离

d＝＝＝.]

13.

解析　∵a－2b＝（8，－5,13），

∴|a－2b|＝＝.

14.

解析　因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4，

则·＝（＋）·（＋）

＝0＋·＋·＋0

＝4×1×cos120°＋1×4×cos120°＝－4，

BF＝DE＝＝，

所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为：

cosθ＝＝.

15.或

解析　设n1＝（1,0，－1），n2＝（0，－1,1），

则cos〈n1，n2〉＝＝－，

∴〈n1，n2〉＝.因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为或.

16.

解析　因为＝＋＋，

所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos（π－θ）＝3－2cosθ.

所以||＝，

即AD的长为.

17．证明　以A为原点，AC为x轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系．

设B（a，b,0），C（c,0,0），A1（0,0，d），

则B1（a，b，d），C1（c,0，d），＝（a，b，d），

＝（c－a，－b，d），＝（－c,0，d），

由已知·＝ca－a2－b2＋d2＝0，

·＝－c（c－a）＋d2＝0，可得c2＝a2＋b2.

再由两点间距离公式可得：

|AB1|2＝a2＋b2＋d2，|CA1|2＝c2＋d2＝a2＋b2＋d2，

∴AB1＝CA1.

18．证明　因为＝（1,2，－1）－（3，－1,2）＝（－2,3，－3），＝（3，－5,3）－（－1,1，－3）＝（4，－6,6），因为＝＝，

所以和共线，即AB∥CD.

又因为＝（3，－5,3）－（3，－1,2）＝（0，－4,1），

＝（－1,1，－3）－（1,2，－1）＝（－2，－1，－2），

因为≠≠，所以与不平行，所以四边形ABCD为梯形．

19．解　∵M、N分别是AC、BF的中点，四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，

∴＝＋＋＝＋＋.

又∵＝＋＋＋

＝－＋－－，

∴＋＋

＝－＋－－，

∴＝＋2＋

＝2（＋＋）＝2.

∴∥，即与共线．

20．证明　设＝a，＝b，＝c，

依题意，|a|＝|b|，

又设，，中两两所成夹角为θ，

于是＝－＝a－b，

·＝c·（a－b）＝c·a－c·b

＝|c||a|cosθ－|c||b|cosθ＝0，

所以C1C⊥BD.

21．解　因为＝－，

所以·＝·－·

＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉

＝8×4×cos135°－8×6×cos120°

＝－16＋24.

所以cos〈，〉＝

＝＝.

即OA与BC所成角的余弦值为.

22．

（1）解　

如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得D（0,2,0），F（1,2,1），

A1（0,0,4），E.

易得＝，

＝（0,2，－4），

于是cos〈，〉＝＝－.

所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.

（2）证明　易知＝（1,2,1），

＝，＝，

于是·＝0，·＝0.

因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.

又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.

（3）设平面EFD的法向量u＝（x，y，z），

则即

不妨令x＝1，可得u＝（1,2，－1），

由

（2）可知，为平面A1ED的一个法向量，

于是cos〈u，〉＝＝，

从而sin〈u，〉＝.

所以二面角A1—ED—F的正弦值为.