中考数学总复习训练 二次函数解析版文档格式.docx

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130

140

150

销量（个）

80

60

为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为　　元．

11．函数y=ax2﹣（a﹣3）x+1的图象与x轴只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为　　．

12．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是　　．

三、解答题

13．已知抛物线y=x2﹣2x﹣2的顶点为A，与y轴的交点为B，求过A、B两点的直线的解析式．

14．抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，求该抛物线在y轴左侧与x轴的交点坐标．

15．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点是C（0，1），直线l：

y=﹣ax+3与这条抛物线交于P、Q两点，且点P到x轴的距离为2．

（1）求抛物线和直线l的解析式；

（2）求点Q的坐标．

16．工艺商场以每件155元购进一批工艺品、若按每件200元销售，工艺商场每天可售出该工艺品100件；

若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？

获得的最大利润是多少元？

17．杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（万元），且y=ax2+bx；

若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g（万元），g也是关于x的二次函数；

（1）若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元．求y关于x的解析式；

（2）求纯收益g关于x的解析式；

（3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大；

几个月后，能收回投资？

18．如图所示，图

（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A3B3=50m，5根支柱A1B1，A2B2，A3B3，A4B4，A5B5之间的距离均为15m，B1B5∥A1A5，将抛物线放在图

（2）所示的直角坐标系中

（1）直接写出图

（2）中点B1的坐标为　　，B3的坐标为　　，B5的坐标为　　；

（2）求图

（2）中抛物线的函数表达式是　　；

（3）求图

（1）中支柱A2B2的长度为　　，A4B4的长度为　　．

四、附加题

19．如图，已知A（2，2），B（3，0）．动点P（m，0）在线段OB上移动，过点P作直线l与x轴垂直．

（1）设△OAB中位于直线l左侧部分的面积为S，写出S与m之间的函数关系式；

（2）试问是否存在点P，使直线l平分△OAB的面积？

若有，求出点P的坐标；

若无，请说明理由．

二次函数

参考答案与试题解析

【考点】抛物线与x轴的交点．

【专题】探究型．

【分析】先令﹣3x2+2x﹣1=0，求出△的值即可判断出抛物线与x轴的交点情况，再根据抛物线与y轴总有一个交点解答．

【解答】解：

∵△=22﹣4×

（﹣3）×

（﹣1）=﹣8＜0，

∴抛物线y=﹣3x2+2x﹣1的图象与x轴没有交点，

∵抛物线与y轴一定有一个交点，

∴此抛物线与坐标轴有一个交点．

故选B．

【点评】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点问题，此题的易错点是忽略了抛物线与y轴的交点．

【分析】已知直线与二次函数图象交点M的横坐标为1，则点M纵坐标为1，把点M（1，1）代入二次函数可求得a的值．

由题意可得M（1，1），代入二次函数1=a﹣2﹣1，解得a=4．

【点评】使用代入法求二次函数．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】根据解析式求出A、B、C三点的坐标，即△ABC的底和高求出，然后根据公式求面积．

在y=x2﹣4x+3中，当y=0时，x=1、3；

当x=0时，y=3；

即A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）

故△ABC的面积为：

×

2×

3=3；

故选C．

【点评】本题考查根据解析式确定点的坐标．

【考点】抛物线与x轴的交点；

二次函数图象与系数的关系．

【分析】先根据根的判别式△=b2﹣4ac＞0，即这个函数图象与x轴有两个交点，根与系数的关系可知x1•x2=

，由于a＞0，c＜0，所以x1•x2＜0，x1、x2异号．

∵△=b2﹣4ac＞0，

∴这个函数图象与x轴有两个交点，

设这个函数图象与x轴两个交点的坐标为（x1，0）、（x2，0），

∵x1•x2=

，a＞0，c＜0，

∴x1•x2＜0，

∴一个在x轴的正半轴，另一个在x轴的负半轴．

故选D．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系、根的判别式及根与系数的关系，解答此类题目时能把一元二次方程根的情况与二次函数的图象相结合是解答此类题目的关键．

【考点】二次函数的性质．

【专题】函数思想．

【分析】由已知，点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．

因为点（2，5）、（4，5）在抛物线上，

根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，

所以，对称轴x=

=3；

【点评】本题考查了二次函数的对称性．二次函数关于对称轴成轴对称图形．

【考点】二次函数图象与系数的关系；

一次函数图象与系数的关系．

【专题】计算题．

【分析】由图象开口向上可知a大于0，又对称轴x=﹣

＜0．可得b＞0，由此可得出此题答案．

图象开口向上可知a大于0，

又对称轴x=﹣

＜0．可得b＞0，

所以，函数y=ax+b图象是递增趋势，且与y轴的交点坐标大于0，

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系及一次函数图象与系数的关系，难度不大，关键注意题图结合认真分析．

7．二次函数y=2x2﹣4x+5的最小值是　3　．

【考点】二次函数的最值．

【分析】把此二次函数化为顶点式或直接用公式法求其最值即可．

∵二次函数y=2x2﹣4x+5可化为y=2（x﹣1）2+3，

∴二次函数y=2x2﹣4x+5的最小值是3．

【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

8．某二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0），且它的形状与y=﹣x2形状相同．则这个二次函数的解析式为　y=﹣x2+3x+4或y=x2﹣3x﹣4　．

待定系数法求二次函数解析式．

【专题】数形结合；

待定系数法．

【分析】根据图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0）可设两点式解答，根据形状与y=﹣x2形状相同，可知二次项系数为﹣1或1，于是可得二次函数解析式．

∵函数图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0），

∴设解析式为y=a（x+1）（x﹣4），

又因为图象的形状与y=﹣x2形状相同，

故a=﹣1或1，

所以解析式为y=±

（x+1）（x﹣4），

整理得，y=﹣x2+3x+4或y=x2﹣3x﹣4．

故答案为：

y=﹣x2+3x+4或y=x2﹣3x﹣4．

【点评】此题考查了用待定系数法求函数解析式，由于知道二次函数图象与x轴交点，故设两点式较为简便．

9．若函数y=﹣x2+4的函数值y＞0，则自变量x的取值范围是　﹣2＜x＜2　．

【考点】二次函数与不等式（组）．

【分析】由题意知，令y＞0，解得x的取值范围．

如图，∵函数y=﹣x2+4的函数值y＞0，

∴﹣x2+4＞0，

解得﹣2＜x＜2．

【点评】本题主要考查二次函数与不等式．

为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为　130　元．

【考点】二次函数的应用．

【分析】根据题中信息，进行计算比对即可得出结论．

设定价为x元时，利润为y元，

当x=100时，y=（100﹣70）×

80=2400．

同理可求得：

x=110，120，130，140，150时，y=4000，5500，6000，5600，4800

比较可知当x=130元时利润最大．

【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，难度一般．

11．函数y=ax2﹣（a﹣3）x+1的图象与x轴只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为　0，1，9，（﹣

，0）（﹣1，0）或（

，0）　．

【分析】先根据函数y=ax2﹣（a﹣3）x+1的图象与x轴只有一个交点可知△=0，或者是a=0，变为一次函数，求出a的值，再由坐标轴上坐标的特点求出函数图象与坐标轴的交点即可．

①当a=0时，函数关系式变为：

y=3x+1，交点坐标为：

（﹣

，0）；

②∵函数y=ax2﹣（a﹣3）x+1的图象与x轴只有一个交点，

∴△=（a﹣3）2﹣4a=0，解得a=1或a=9．

∵当a=1时，函数y=ax2﹣（a﹣3）x+1可化为y=x2+2x+1

∴当y=0时，x=﹣1，

∴函数与x轴交点的坐标为（﹣1，0）；

∵当a=9时，函数y=ax2﹣（a﹣3）x+1可化为y=9x2﹣6x+1，

∴当y=0时，x=

，

∴函数与x轴交点的坐标为（

，0）．

0，1，9，（﹣

，0），（﹣1，0）、（

【点评】本题考查的是二次函数的图象与x轴的交点问题，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键．

12．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是　y=

x2　．

【考点】根据实际问题列二次函数关系式．

【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为y=ax2．根据AB=1.6，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），利用待定系数法即可求解．

设函数关系式为y=ax2，

A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），

那么﹣2.4=0.8×

0.8×

a，

即a=﹣

即y=﹣

x2．

【点评】根据题中的信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．

待定系数法求一次函数解析式．

【分析】已知抛物线解析式，可求顶点坐标及y轴的交点坐标，根据“两点法”求直线解析式．

∵抛物线y=x2﹣2x﹣2=（x﹣1）2﹣3

∴抛物线顶点坐标为（1，﹣3），与y轴的交点坐标为（0，﹣2），

即A（l，﹣3），B（0，﹣2）

设所求直线的解析式为y=kx+b

则

解得

∴所求直线的解析式为y=﹣x﹣2．

【点评】本题考查了抛物线解析式的运用，待定系数法求一次函数解析式的方法．

【分析】由函数图象知函数过点（1，0），把点代入抛物线y=ax2+2ax+a2+2，解出a值，令y=0，解方程ax2+2ax+a2+2=0，从而求出该抛物线在y轴左侧与x轴的交点坐标．

如图知，抛物线y=ax2+2ax+a2+2过点（1，0）

∴a+2a+a2+2=0，a＜0，

解得a=﹣1或﹣2，

∵抛物线与x轴交于两点，

∴△=4a2﹣4a（a2+2）＞0，a＜0，

解得，a＜﹣1，

∴a=﹣2，

∴y=﹣2x2﹣4x+6，

令y=0，得﹣2x2﹣4x+6=0，

解得x=1或﹣3，

当x=﹣3时，y=0，

该抛物线在y轴左侧与x轴的交点坐标为：

（﹣3，0）．

【点评】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，

其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．

【专题】综合题．

【分析】

（1）已知抛物线的顶点为（0，1），说明抛物线的对称轴为y轴，即b=0，c=1；

由于两个函数交点P的纵坐标为2，代入两个函数的解析式中，联立两个含a的表达式即可求得a的值，从而确定抛物线和直线的解析式．

（2）联立

（1）得到的两个函数解析式，即可求出Q点的坐标．

（1）由抛物线的顶点为（0，1），

得：

b=0，c=1，

即y=ax2+1；

由于抛物线经过P点，

则有：

2=ax2+1，

即x2=

；

同理可得到：

﹣ax+3=2，x=

故

=（

）2，解得a=1；

所以抛物线的解析式为：

y=x2+1，直线l的解析式为：

y=﹣x+3．

（2）联立抛物线和直线l的解析式，得：

故Q（﹣2，5）．

【点评】此题主要考查的是函数解析式的确定方法以及函数图象交点坐标的求法；

属于基础题，需要熟练掌握．

【分析】先根据题意设每件工艺品降价为x元出售，获利y元，则降价x元后可卖出的总件数为（100+4x），每件获得的利润为（200﹣x﹣155），此时根据获得的利润=卖出的总件数×

每件工艺品获得的利润，列出二次方程，再根据求二次函数最值的方法求解出获得的最大利润即可．

设每件工艺品降价x元出售，获利y元，

则根据题意可得：

y=（200﹣x﹣155）（100+4x）=4（﹣x2+20x+1125）；

当x=10时，y取得最大值4900元．

即降价10元时，y最大=4900（元）．

【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，比较简单．

【专题】应用题；

压轴题；

分类讨论．

（1）根据题意确定x，y的两组对应值求y的函数关系式；

（2）根据纯收益g=开放后每月可创收33万元×

月数x﹣游乐场投资150万元﹣从第1个月到第x个月的维修保养费用累计y，列出函数关系式；

（3）求函数最大值，及g＞0时，x的值，可确定回收投资的月份．

（1）由题意得：

x=1时y=2；

x=2时，y=2+4=6代入得：

解之得：

∴y=x2+x；

（2）由题意得：

g=33x﹣150﹣（x2+x）

=﹣x2+32x﹣150；

（3）g=﹣x2+32x﹣150=﹣（x﹣16）2+106，

∴当x=16时，g最大值=106，

即设施开放16个月后，游乐场的纯收益达到最大，

又∵当0＜x≤16时，g随x的增大而增大；

当x≤5时，g＜0；

而当x＞6时，g＞0，

∴6个月后能收回投资．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

（1）直接写出图

（2）中点B1的坐标为　（﹣30，0）　，B3的坐标为　（0，30）　，B5的坐标为　（30，0）　；

（2）求图

（2）中抛物线的函数表达式是　y=﹣

（x﹣30）（x+30）　；

（3）求图

（1）中支柱A2B2的长度为　

m　，A4B4的长度为　

m　．

（1）根据题意，不难得出A1A3=30m，因此OB1=30，那么B1的坐标就应该是（﹣30，0），同理可得出B5的坐标，而根据拱高为30m即可得出OB3=30，因此B3的坐标是（0，30）．

（2）根据抛物线过B1，B3可用交点式的二次函数通式来设此抛物线的解析式，然后根据B5的坐标来确定抛物线的解析式．

（3）由题意，不难得出A4A3=15m，那么B2的横坐标就是﹣15，可将其代入抛物线的解析式中求出B2的纵坐标，那么A4B4=B4的纵坐标+（50﹣30），由此可求出A4B4的长，根据抛物线的对称形可得出A2B2=A4B4，由此可求出A2B2的长．

（1）B1（﹣30，0），B3（0，30），B5（30，0）；

（2）设抛物线的表达式为y=a（x﹣30）（x+30），

把B3（0，30）代入得y=a（0﹣30）（0+30）=30．

∴a=﹣

．

∴所求抛物线的表达式为：

y=﹣

（x﹣30）（x+30）．

（3）∵B4点的横坐标为15，

∴B4的纵坐标y4=﹣

（15﹣30）（15+30）=

∵A3B3=50，拱高为30，

∴立柱A4B4=20+

=

（m）．

由对称性知：

A2B2=A4B4=

【点评】本题结合实际问题考查了二次函数的应用，根据题中的信息确定B1，B3，B5的值是解题的关键．

【考点】二次函数综合题；

根据实际问题列二次函数关系式．

（1）直线l在A点左面时面积为S部分是一三角形，直线l在A点右面时面积为S部分是大三角形△OAB减去右面小三角形的面积值；

（2）可以先假设存在这样的一个点，然后再验证假设是否正确，根据计算解得答案．

（1）当0≤m≤2时，

S=

当2＜m≤3时，

3×

2﹣

（3﹣m）（﹣2m+6）=﹣m2+6m﹣6．

（2）假设有这样的P点，使直线l平分△OAB的面积，

很显然0＜m＜2，

由于△OAB的面积等于3，

故当l平分△OAB面积时：

∴

解得m=

故存在这样的P点，使l平分△OAB的面积．

且点P的坐标为（

答：

在这样的P点，使l平分△OAB的面积，点P的坐标为（

【点评】本题属于综合类题，主要考查了三角形的面积的求解．