版高中数学第二章统计221用样本的频率分布估计总体分布学案新人教A版必修3.docx
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版高中数学第二章统计221用样本的频率分布估计总体分布学案新人教A版必修3
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
1．理解用样本的频率分布估计总体分布的方法．
2．会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图．（重点）
3．能够利用图形解决实际问题．（难点）
[基础·初探]
教材整理1 用样本估计总体、数据分析
的基本方法
阅读教材P65～P66上半部分的内容，完成下列问题．
1．用样本估计总体的两种情况
（1）用样本的频率分布估计总体分布．
（2）用样本的数字特征估计总体的数字特征．
2．数据分析的基本方法
（1）借助于图形
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，此方法可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息．
（2）借助于表格
分析数据的另一种方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式，此方法是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式．
教材整理2 频率分布直方图
阅读教材P66～P68的内容，完成下列问题．
画频率分布直方图的步骤
1．一个容量为80的样本中，数据的最大值为152，最小值为60，组距为10，应将样本数据分为（ ）
A．10组 B．9组
C．8组D．7组
【解析】 由题意可知，＝9.2，故应将数据分为10组．
【答案】 A
2．从一群学生中抽取一个一定容量的样本，对他们的学习成绩进行分析．已知不超过80分的为10人，其累积频率为0.5，则样本容量是（ ）
A．20 B．40
C．80 D．60
【解析】 样本容量为＝20.
【答案】 A
教材整理3 频率分布折线图和总体密度曲线
阅读教材P69的内容，完成下列问题．
1．频率分布折线图
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到了频率分布折线图．
2．总体密度曲线
随着样本容量的增加，作图时所分的组数也在增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比．
教材整理4 茎叶图
阅读教材P70的内容，完成下列问题．
1．茎叶图的制作方法
将所有两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出．
2．茎叶图的优缺点
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．但是当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便，因为每一个数据都要在图中占据一个空间，如果数据很多，枝叶就会很长．
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）样本容量越大，估计的越准确．（ ）
（2）频率分布直方图的纵轴表示频率．（ ）
（3）茎叶图不能增加数据．（ ）
【答案】
（1）√
（2）× （3）×
2．如图221是一个班的语文成绩的茎叶图（单位：
分），则优秀率（90分以上）是________，最低分是________.
5
15
6
034467889
7
3555679
8
023357
9
1
图221
【解析】 由茎叶图知，样本容量为25,90分以上的有1人，故优秀率为＝4%，最低分为51分．
【答案】 4% 51
[小组合作型]
频率分布直方图的绘制
某省为了了解和掌握2016年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩，数据如下：
（单位：
分）
135981021109912111096100103
1259711711311092102109104112
1051248713197102123104104128
10912311110310592114108104102
12912697100115111106117104109
1118911012180120121104108118
12999909912112310711191100
991011169710210810195107101
1021081179911810611997126108
12311998121101113102103104108
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图和折线图；
（3）估计该省考生数学成绩在[100,120）分之间的比例．
【精彩点拨】 先求极差．根据极差与数据个数确定组距、组数，然后按频率分布直方图的画法绘制分析．
【尝试解答】 100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－80＝55.取组距为5，则组数为＝11.
（1）频率分布表如下：
分组
频数
频率
频率/组距
[80,85）
1
0.01
0.002
[85,90）
2
0.02
0.004
[90,95）
4
0.04
0.008
[95,100）
14
0.14
0.028
[100,105）
24
0.24
0.048
[105,110）
15
0.15
0.030
[110,115）
12
0.12
0.024
[115,120）
9
0.09
0.018
[120,125）
11
0.11
0.022
[125,130）
6
0.06
0.012
[130,135]
2
0.02
0.004
合计
100
1
0.2
注：
表中加上“频率/组距”一列，这是为画频率分布直方图准备的，因为它是频率分布直方图的纵坐标．
（2）根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示：
（3）从频率分布表中可知，这100名考生的数学成绩在[100,120）分之间的频率为0.24＋0.15＋0.12＋0.09＝0.60，据此估计该省考生数学成绩在[100,120）分之间的比例为60%.
1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
（1）若为整数，则＝组数；
（2）若不为整数，则的整数部分＋1＝组数．
2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．
[再练一题]
1．有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
[－20，－15），7；[－15，－10），11；[－10，－5），15；[－5,0），40；[0,5），49；[5,10），41；[10,15），20；[15,20]，17.
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图和频率分布折线图；
（3）求样本数据不足0的频率．
【解】
（1）频率分布表如下：
分组
频数
频率
[－20，－15）
7
0.035
[－15，－10）
11
0.055
[－10，－5）
15
0.075
[－5,0）
40
0.2
[0,5）
49
0.245
[5,10）
41
0.205
[10,15）
20
0.1
[15,20]
17
0.085
合计
200
1.00
（2）频率分布直方图和频率分布折线图如图所示：
（3）样本数据不足0的频率为：
0．035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365.
频率分布直方图的应用
某校在5月份开展了科技月活动．在活动中某班举行了小制作评比，规定作品上交的时间为5月1日到31日，逾期不得参加评比．评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图222）．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：
图222
（1）本次活动共有多少件作品参加评比？
（2）哪组上交的作品数最多，有多少件？
（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？
【精彩点拨】
（1）根据条件：
从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，计算参加评比的作品总数；
（2）根据频率分布直方图判断哪组上交的作品最多，再由本组的频率计算频数；（3）先分别由第四组和第六组的频率计算该组的频数，再计算获奖率．
【尝试解答】
（1）设从左到右各长方形的高分别为2x,3x,4x,6x,4x，x.设参加评比的作品总数为a件，
依题意得：
4x×5＝，x＝，
满足（2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x）×5＝1，
解得a＝60（件）．
（2）由频率分布直方图可以看出第四组上交的作品数量最多，共有6×x×5×a＝18（件）．
（3）第四组和第六组上交的作品数分别为：
18件，x×5×a＝3（件），则它们的获奖率分别为：
＝；，又<，所以第六组的获奖率较高．
1．频率分布直方图的性质
（1）因为小矩形的面积＝组距×频率/组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小；
（2）在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1；
（3）频数/相应的频率＝样本容量．
2．频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．
[再练一题]
2．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图223是根据抽样检测后的产品净重（单位：
克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98），[98,100），[100,102），[102,104），[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（ ）
图223
A．90 B．75 C．60 D．45
【解析】 产品净重小于100克的频率为（0.050＋0.100）×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×（0.1＋0.15＋0.125）×2＝90.
【答案】 A
茎叶图及其应用
某中学高二
（2）班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：
甲：
95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.
乙：
83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.：
【精彩点拨】 题中可用十位数字为茎，个位数字为叶作茎叶图，然后根据茎叶图分析两人成绩．
【尝试解答】 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：
从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是88.乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好．
1．绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，如本题中数据是两位数，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶．
2．利用茎叶图进行数据分析时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来考虑．
[再练一题]
3.如图224是
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