小升初数学完整版工程问题Word格式.docx
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进一步培养独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等学习习惯,获得一些成功的体验,增强学好数学的信心。
在解答问题的过程中,逐步培养学生观察、比较、类推的能力及创新意识。
教学重点:
教学难点:
工程问题分类
一、两个人的问题(“两个人”,也可以是两个组、两个队等等的两个集体).
例1一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作?
解一:
甲每天完成1/9,乙每天完成1/6。
甲先做了3天,即做了整个工作的3/9,还剩下6/9,则乙完成剩余工作的天数为:
6/9÷
1/6=4
答:
乙需要做4天可完成全部工作.
解二:
甲与乙的工作效率之比是
6∶9=2∶3.
甲做了3天,相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4(天)
变式训练
1、一项工程,甲独做要12天完成,乙独做要18天完成,二人合做多少天可以完成这件工程的2/3?
2、修一条路,甲单独修需16天,乙单独修需24天,如果乙先修了9天,然后甲、乙二人合修,还要几天?
3、一项工程,甲队独做15天完成,乙队独做12天完成。
现在甲、乙合作4天后,剩下的工程由丙队8天完成。
如果这项工程由丙队独做,需几天完成?
例2一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天?
解:
共做了6天后,
原来,甲做24天,乙做24天,
现在,甲做0天,乙做40=(24+16)天.
这说明原来甲24天做的工作,可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率
如果乙独做,所需时间是
如果甲独做,所需时间是
甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
1、一项工程,甲单独做20天完成,乙单独做30天完成。
甲、乙合做几天后,乙因事请假,甲继续做,从开工到完成任务共用了16天。
乙请假多少天?
2、加工一批零件,甲单独做20天可以完工,乙单独做30天可以完工。
现两队合作来完成这个任务,合作中甲休息了2.5天,乙休息了若干天,这样共14天完工。
乙休息了几天?
3、两列火车同时从甲、乙两地同时相对开出。
快车行完全程需要20小时,慢车行完全程需要30小时。
开出后15小时两车相遇。
已知快车中途停留4小时,慢车停留了几小时?
例3一项工程,甲、乙两队合做每天能完成全工程的
。
甲队独做3天,乙队独做5天后,可完成全工程的
如果全工程由乙队单独做,多少天可以完成?
1、甲、乙两队合作,20天完成一项工程。
如果两队合作8天后,乙队再独做4天,还剩下这项工程的
甲、乙两队独做各需几天完成?
2、一项工程,甲乙合做全工程的
,剩下的由甲单独完成,甲一共做了10.5天.这项工程由甲单独做需要15天,如果由乙单独做,需要多少天?
3、一项工程,甲乙两队合作30天完成,甲乙先合作2天后,乙再独做10天完成这项工程的
例4、某工程先由甲独做63天,再由乙单独做28天即可完成;
如果由甲、乙两人合作,需48天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么乙还需要做多少天?
先对比如下:
甲做63天,乙做28天;
甲做48天,乙做48天.
就知道甲少做63-48=15(天),乙要多做48-28=20(天),由此得出甲的
甲先单独做42天,比63天少做了63-42=21(天),相当于乙要做
因此,乙还要做
28+28=56(天).
乙还需要做56天.
1、一项工程,甲先单独做2天,然后与乙合做7天,这样才能完成全工程的一半。
已知甲、乙工效的比是2:
3。
如果这项工程由乙单独做,需要多少天才能完成?
2、
例5一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天?
如果16天两队都不休息,可以完成的工作量是
由于两队休息期间未做的工作量是
乙队休息期间未做的工作量是
乙队休息的天数是
乙队休息了5天半.
设全部工作量为60份.甲每天完成3份,乙每天完成2份.
两队休息期间未做的工作量是
(3+2)×
16-60=20(份).
因此乙休息天数是
(20-3×
3)÷
2=5.5(天).
解三:
甲队做2天,相当于乙队做3天.
甲队休息3天,相当于乙队休息4.5天.
如果甲队16天都不休息,只余下甲队4天工作量,相当于乙队6天工作量,乙休息天数是
16-6-4.5=5.5(天).
1、一项工程,甲、队独做10天可以完成,乙队独做30天可以完成。
现在两队合作期间甲队休息了2天,乙队休息了8天(两队不在同一天休息)。
从开始到完工共用了多少天?
2、一项工程,甲单独做完要50天,乙单独做完要60天.两人合做,甲每做3天休息1天,乙每做5天休息1天,完成全部工作需要多少天?
3、一项工程,甲单独做20天完成,乙单独做30天完成。
例6有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天;
李单独完成甲工作要8天,单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天?
设乙的工作量为60份(15与20的最小公倍数),张每天完成4份,李每天完成3份.
8天,李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作(60-4×
8)份.由张、李合作需要
(60-4×
8)÷
(4+3)=4(天).
8+4=12(天).
这两项工作都完成最少需要12天.
这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是,“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化,当求出乙每
有一点方便,但好处不大.不必多此一举.
1、某工程先由甲单独做40天,再由乙做28天可以完成.现在甲乙合做35天就完成了.如果先由甲单独做30天,再由乙接着做,乙还要工作多少天才能完成?
二、多人的工程问题(我们说的多人,至少有3个人,当然多人问题要比2人问题复杂一些,但是解题的基本思路还是差不多)
例9一件工作,甲、乙两人合作36天完成,乙、丙两人合作45天完成,甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成?
设这件工作的工作量是1.
甲、乙、丙三人合作每天完成(
)
=
减去乙、丙两人每天完成的工作量,甲每天完成
甲一人独做需要90天完成.
例10某项工作,甲组3人8天能完成工作,乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作?
设这项工作的工作量是1.
甲组每人每天能完成
乙组每人每天能完成
甲组2人和乙组7人每天能完成
合作3天能完成这项工作.
二、多人的工程问题
例11一件工作,甲独做要12天,乙独做要18天,丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍,终于做完了这件工作.问总共用了多少天?
甲做1天,乙就做3天,丙就做3×
2=6(天).
说明甲做了2天,乙做了2×
3=6(天),丙做2×
6=12(天),三人一共做了2+6+12=20(天).
完成这项工作用了20天.
本题整数化会带来计算上的方便.12,18,24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3.总共用了
例12一项工程,甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天,乙就要多做4天,或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天?
丙2天的工作量,相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷
2=2(倍),甲、乙合作1天,与乙做4天一样.也就是甲做1天,相当于乙做3天,甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.
他们共同做13天的工作量,由甲单独完成,甲需要
甲独做需要26天.
例13制作一批零件,甲车间要10天完成,如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做,需要8天才能完成.现在三个车间一起做,完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件?
仍设总工作量为1.
乙的工效:
丙的工效:
三人合作完成需要的天数:
(天)
甲车间比乙车间多做的分率:
总工作量:
2400
=18000(个)
丙车间的个数:
18000
(
)=4200(个)
丙车间制作了4200个零件.
例14搬运一个仓库的货物,甲需要10小时,乙需要12小时,丙需要15小时.有同样的仓库A和B,甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物,丙开始帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间?
设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2,所需时间是
丙帮助甲搬运3小时,帮助乙搬运5小时.
解本题的关键,是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化,设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6,乙每小时搬运5,丙每小时搬运4.
三人共同搬完,需要
60×
2÷
(6+5+4)=8(小时).
甲需丙帮助搬运
(60-6×
8)÷
4=3(小时).
乙需丙帮助搬运
(60-5×
4=5(小时).
三、水管问题
从数学的内容来看,水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程,注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题,不过是工作量有加有减罢了.因此,水管问题与工程问题的解题思路基本相同.
例15甲、乙两管同时打开,9分钟能注满水池.现在,先打开甲管,10分钟后打开乙管,经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水,这个水池的容积是多少立方米?
两管齐开3分钟所注水量:
单开甲管10分钟所注的水量:
甲管的工效:
乙管工效:
蓄水池容积:
27(立方米)
水池容积是27立方米.
课后练习提升
1.做一件工程,甲独做需要12小时完成,乙独做需要18小时完成,甲乙合做1小时后,然后由甲工作1小时,再由乙工作1小时,……两人如此交替工作,完成任务还需多少时间?
2.加工一批零件,甲、乙两人合做1小时,完成了这批零件的
,乙、丙两人接着生产1小时,又完成了
,甲、丙又合做2小时,完成了
.剩下的任务,甲、乙、丙三人合做,还要多少小时完成?
3.甲、乙两人从两地出发相对而行,甲走完全程要8小时,乙走完全程要6小时.两人同时出发1.5小时后,乙返回出发点用半小时取东西后再出发.乙再出发后过几小时两人相遇?
4.原计划用24个工人挖一定数量的土方,按计划工作5天后,因为调走6人,于是剩下的工人每天比原定工作量多挖1方土才能如期完成任务.原计划每人每天挖土多少方?
5.甲、乙两项工程分别由一、二队来完成.在晴天,一队完成甲工程需要12天,二队完成乙工程需要15天;
在雨天,一队的工作效率要下降40%,二队的工作效率要下降10%.结果两队同时完成这两项工程,那么,在施工的日子里,雨天有多少天?
6.加工同一个零件,王师傅需要2小时,工人小张需要3小时,工人小李需要4小时,现在有这种零件143个,如果三个人同时加工,各要加工多少个零件才能同时完成任务?
7.师徒三人合作承包一项工程,4天能够全部完成.已知师傅单独做所需的天数与两个徒弟合作做所需的天数相等;
而师傅与乙徒弟合作做所需的天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等.那么甲徒弟单独做,完成这项工程需要多少天?
乙徒弟单独做,完成这项工程需要多少天?
8.甲、乙、丙三人共同完成一项工作,5天完成了全部工作的
,然后甲休息了3天,乙休息了2天,丙没有休息.如果甲一天的工作量是丙一天的工作量的3倍,乙一天的工作量是丙一天的工作量的2倍,那么这项工作,从开始算起是第几天完成的?
9.一个装满了水的水池有一个进水管和三个口径相同的出水管.如果同时打开进水管和一个出水管,则30分钟能把水池的水排完;
如果同时打开进水管和两个出水管,则10分钟能把水池的水排完.关闭进水管并且同时打开三个出水管,需要多少分钟才能排完水池的水?
10.一个蓄水池底部有一裂缝,上面有甲、乙、丙三个进水管,空池时,如果只开甲、乙两管,12小时可灌满;
只开甲、丙两管10小时可灌满;
只开甲管15小时可灌满.把裂缝堵住以后,只开乙、丙两管需要多少小时把空池灌满?
14.一项工程,甲单独做完要50天,乙单独做完要60天.两人合做,甲每做3天休息1天,乙每做5天休息1天,完成全部工作需要多少天?