利用平面向量判断三角形形状练习题专题Word文档下载推荐.docx
《利用平面向量判断三角形形状练习题专题Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《利用平面向量判断三角形形状练习题专题Word文档下载推荐.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
OC
OA
CA
AB
0，即
CB
AC
CBAB
0，
所以，
AB，即
B
，故
ABC为直角三角形
.
A.
【点睛】
此题主要观察了平面向量加法和减法的三角形法规以及向量数量积的性质的简单应用，属于
基础题.
，
ABAC
BC0，且
ABAC1
ABC的
．已知非零向量
满足
，则
|AB||AC|
|AB||AC|2
形状是（）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形
【答案】D
A的角均分线与
BC垂直，进而推断三角形为等腰
先依照
BC0，判断出
|AB|
|AC|
三角形进而依照向量的数量积公式求得C，判断出三角形的形状．
BC0，AB
，AC分别为单位向量，
解：
|AB|
|AC|
|AC|
A的角均分线与
BC垂直，
AC，
cosA
|AB||AC|
A
C
三角形为等边三角形．
D．
此题主要观察了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．观察了学生综合解析能力，
属于中档题．
4．在
ABC
中，若
c
，且
abbcca
的形状为
BCaCA
bAB
（
）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．以上都不对
由题中ab
bc
ca，结合三角形图像找准向量夹角，得出基本关系式，再依照几何关
系进行求解
以下列图.
ab
abcosC
abcosC，
bccos
bccosA，
ca
cacos
cacosB.
∵ab
ca，∴
abcosCbccosA，acosC
ccosA.作BD
AC于
D，则CDacosC,
ADccosA，∴CD
AD，
∴D为AC的中点，∴AB
BC.
同理可证AB
AC，∴
ABC为等边三角形.
答案选A
个别设及三角形形状题型，可先进行预判，再想法想法去进行证明比方此题，可先预判为等
边三角形，再进行证明，对于复杂的几何问题，需要借助图形来辅助求解
5．若O为平面内任意一点，且OBOC2OAABAC0，则△ABC是（）
A．直角三角形或等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形但不用然是直角三角形
D．直角三角形但不用然是等腰三角形
【答案】
2OA
＝0得
·
AB
＝0，∴
2－
AC2＝0，
即|
|＝|AC|，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，但不用然是直角三角形．选
C.
6．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（DBDC2DA）（ABAC）0，则ABC
的形状是（
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
试题解析：
：
∵（DBDC
2DA）（AB
AC）
∴ABAC·
ABAC
0AB2
0，即|AB|=|AC|．△ABC的形状是等腰三角
形
7．△ABC中，AB·
BC<
0，BC·
AC<
0，则该三角形为（）
A．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不能够确定
AB·
BCcos（
B）0,
cosB0,B为锐角，
BC·
ACcosC
0,C为钝角．应选
BC0，且ABAC
8．已知在ABC中，向量AB与AC满足
则ABC为（
C．等腰非等边三角形D．等边三角形
分别在AB,AC上取点D,E，使得AD
ABC中有
AE
，由条件可得在
BAC60
，进而获取答案.
ABAC，
，可得
AB,AE
，则AD
AD
1.
以AD,AE为一组邻边作平行四边形
ADFE如图
..
则平行四边形ADFE为菱形,即对角线AF为角
DAE的角均分线.
0，即AD
AEBC
也即AFBC
由
所以AF
BC,即角
DAE的角均分线AF满足AF
所以在ABC中有ABAC.
又AB
，即ADAE
，所以ADAE11cosBAC
|AB
||AC|
所以BAC60.
所以ABC为等边三角形，
D.
9．若M为
ABC所在平面内一点
且满足
（MBMC）（MB
MC）0,MB
MC
2MA0,则ABC的形状为（
A．正三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
MB
0,
0,MBMC,点M在底边BC的中垂
线上，又
2MA
2MA2AM,所以点M在底边BC的中
线上，所以底边
BC的中线与垂直均分线重合，所以
ABC的形状为等腰三角形.
10．点O、P是ABC所在平面上的两点，满足（OBOC）（OBOC2OA）0和
|PBPC||PBPC2PA|0，则ABC的形状是（）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
由平面向量的加法与减法运算，将表达式化简.即可由向量数量积定义求得AB,AC的关
系，进而判断ABC的形状.
点O、P是ABC所在平面上的两点，满足（OBOC）（OBOC2OA）0
所以OBOCOBOAOCOA0
即CBABAC0
因为CBABAC
所以ABACABAC0
即AB
，所以AB
又因为
|PB
PC|
PC
2PA|0
则CB
PBPA
PA
所以CBABAC
即ABACABAC
两边同时平方并张开化简可得ABAC0
即ABAC
所以A
综上可知，ABC的形状是等腰直角三角形
A
此题观察了平面向量的线性运算，平面向量数量积的运算律与定义，向量垂直与数量积关系，
三角形形状的判断，属于中档题.
BAAC
ACBC
0，BC
BA
11．在ABC中,
2,则ABC为（）
B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形
D．等腰非等边三角形
直接代入数量积的计算公式第一个条件求出AC，第二个条件获取B即可求出结论.
因为在ABC中，A,B,C（0,）
0,BC
|BC|
|BC||BA|
|AB|
|CA|
|CB|
cosC
|AC|cosC0
0|CA|cosA
cosC
C，
BCBA
|BA|
cosB
|BC||BA|cosB
∴ABC为等边三角形.
C.
此题观察了数量积运算性质以及特别角的三角函数值，
档题.
观察了推理能力与计算能力，
属于中
12．若ABBC
0，则三角形ABC必然是（
）三角形
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．等腰直角
由AB
AC获取，AB
0，即可求解.
ABBC
ABAC0
ABAB
AC，即A
90
所以三角形ABC必然是直角三角形
B
此题主要观察了平面向量的基本运算，属于基础题.
．已知
AB，AC
是非零向量，且满足AB2AC
AB，AC2AB
AC，则
13
的形状为（）
A．等腰（非等边）三角形B．直角（非等腰）三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
先将题中AB2ACAB，AC2ABAC进行转变，再观察转变条件存在的基本
关系，依照向量夹角的余弦公式和模长公式来进行判断即可
∵AB2ACAB，∴AB2ACAB0，
即ABAB2ACAB0.
∵AC
2AB
AC，∴AC2ABAC
即AC
2AB
∴ABAB
2ABAC，即AB
AC.
∵cosA
，∴
A60，∴
答案选C
三角形形状的判断向量法常采用模长公式、夹角的余弦公式、向量垂直公式进行求解，解题时可灵便采用
．点
P
是
所在平面上一点，满足
PB
PBPC2PA
的
14
形状是（
A．等腰直角三角形
依照平面向量的线性运算与模长公式，
能够得出AB
0，由此可判断出
ABC的形状.
点P是
ABC所在平面上一点，满足
2PA
则PB
PBPC2PA，可得CB
AC，即AB
AB，
等式AB
ACAB两边平方并化简得
ABC是直角三角形.
B.
此题观察了平面向量的线性运算与数量积运算，也观察了模长公式应用，是中等题．
15．若O为
ABC所在平面内一点，
OBOCOBOC2OA0，则
ABC形状
是（
）．
A．等腰三角形
C．正三角形
D．以上答案均错
依照向量的减法运算可化简已知等式为CBABAC0，进而获取三角形的中线和底边
垂直，进而获取三角形形状.
OBOCOBOC2OACBABAC0CBABAC
三角形的中线和底边垂直∴ABC是等腰三角形
此题正确选项：
此题观察求解三角形形状的问题，要点是能够经过向量的线性运算获取数量积关系，依照数
量积为零求得垂直关系.
16．若ABBC
0，则
ABC为（）
B．钝角三角形
C．锐角三角形
依照数量积的运算法规推导得
AC即可.
ABBCAB
ABAC0,AB
AC,BAC90,
ABC为直角三角形.
此题主要观察了依照向量的数量积运算判断三角形形状的问题,属于基础题.
17．在ABC中，若ABACABAC，则ABC的形状为（）
A．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
两边平方|ABAC||ABAC|，化简可得ABAC0，进而可判断三角形的形状。
由题意可得（AB
AC）2
（AB
AC）2，
2ABAC
AC2ABAC，整理可得ABAC0，则向量AB
与
的夹角为钝角，即
BAC
90，据此可知
ABC的形状为钝角三角形.
此题观察向量的平方运算及向量数量积的运算，属于中档题。
18．已知在
ABC中，P0是边AB上的一个定点，满足P0B
1AB，且对于边AB上任意
4
一点P，恒有
PBPCP0BPC
，则（
A．B
B．A
C．ABAC
D．ACBC
以下列图：
以AB所在的直线为
x轴，AB的垂直均分线为y轴建立直角坐标系，设AB4
依照PBPC
P0BP0C获取m
1mx
10，即x
0获取答案.
以
AB所在的直线为
x轴，AB的垂直均分线为
y轴建立直角坐标系.
设AB
4，则B2,0
，P01,0
，设Cx,y，Pm,0,
m
PBPCP0B
P0C
即
m,0
x
m,y
1,0
x1,y
m2
x2m
x1
0恒建立
0恒建立，故x
0即C在AB的垂直均分线上，
CACB
D
此题观察了向量的恒建立问题，建立坐标系能够简化运算，是解题的要点.
升级会员 