博弈论2讲义Word下载.docx
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但是在一些特殊的博弈中，一个参与人的最优战略可能并不依赖于其他参与人的战略选择。
也就是说，不管其他参与人选择什么战略，他的最优战略是唯一的，这样的最优战略被称为“占优战略”。
DefinitionStrategysiisstrictlydominatedforplayeriifthereissome
suchthat
foral
Propositionarationalplayerwillnotplayastrictlydominatedstrategy.
抵赖isadominatedstrategy.Arationalplayerwouldthereforenever抵赖.Thissolvesthegamesinceeveryplayerwill坦白.NoticethatIdon'
thavetoknowanythingabouttheotherplayer.
囚徒困境：
个人理性与集体理性之间的矛盾。
ThisresulthighlightsthevalueofcommitmentinthePrisoner'
sdilemma–commitmentconsistsofcrediblyplayingstrategy抵赖.
囚徒困境的广泛应用：
军备竞赛、卡特尔、公共品的供给。
9.2.3IteratedDeletionofDominatedStrategies（重复剔除劣战略）
智猪博弈（boxedpigs）
小猪
按
等待
大猪
3,1
2,4
7,-1
0,0
此博弈没有占优战略均衡。
因为尽管“等待”是小猪的占优战略，但是大猪没有占优战略。
大猪的最优战略依赖于小猪的占略:
---。
大猪会正确地预测到小猪会选择“等待”；
给定此预测，大猪的最优选择只能是“按”。
这样，（按，等待）就是唯一的均衡。
重复剔除的占优均衡：
先剔除某个参与人的劣策略，重新构造新的博弈，再剔除，---。
应用：
大股东监督经理，小股东搭便车；
大企业研发，小企业模仿。
9.2.4Nashequilibrium
性别战博弈（battleofthesexes）:
女
足球赛
演唱会
男
2,1
1,2
在上面的博弈中，两个参与者都没有占优策略，每个参与者的最优策略都依赖于另一个参与人的战略。
所以，没有重复剔除的占优均衡。
DefinitionAstrategyprofiles*isapurestrategyNashequilibriumofGifandonlyif
forallplayersiandall
求解Nash均衡的方法。
ANashequilibriumcapturestheideaofequilibrium:
Bothplayersknowwhatstrategytheotherplayerisgoingtochoose,andnoplayerhasanincentivetodeviatefromequilibriumplaybecauseherstrategyisabestresponsetoherbeliefabouttheotherplayer'
sstrategy.
对纳什均衡的理解：
设想所有参与者在博弈之前达成一个（没有约束力的）协议，规定每个参与人选择一个特定的战略。
那么，给定其他参与人都遵守此协议，是否有人不愿意遵守此协议？
如果没有参与人有积极性单方面背离此协议，我们说这个协议是可以自动实施的（self-enforcing），这个协议就构成一个纳什均衡。
否则，它就不是一个纳什均衡。
问题：
纳什均衡与重复剔除（严格）劣战略均衡之间的关系。
9.2.5CournotCompetition（古诺竞争）
Thisgamehasaninfinitestrategyspace.
Twofirmschooseoutputlevelsqi，costfunctionci（qi）=cqi.
marketdemanddeterminesaprice
：
theproductsofbothfirmsareperfectsubstitutes,i.e.theyarehomogenousproducts.
D={1;
2}
S1=S2=R+
u1（q1,q2）=q1f（q1+q2）-c1（q1）
u2（q1,q2）=q2f（q1+q2）-c2（q2）
the'
best-response'
functionBR（qj）ofeachfirmitothequantitychoiceqjoftheotherfirm:
由
，得FOC:
；
又
。
因
Thebest-responsefunctionisdecreasinginmybeliefoftheotherfirm'
saction.
UsingournewresultitiseasytoseethattheuniqueNashequilibriumoftheCournotgameistheintersectionofthetwoBRfunctions.
Becauseofsymmetryweknowthatq1=q2=q*.
Henceweobtain
Thisgivesusthesolution
将寡头竞争的古诺均衡与垄断企业的最优产量和利润进行比较。
9.2.6BertrandCompetition（伯特兰竞争）
Firmscompeteinahomogenousproductmarketbuttheysetprices.
Consumersbuyfromthelowestcostfirm.
demandcurveq=D（p）
Therefore,eachfirmfacesdemand
WealsoassumethatD（c）>
0,i.e.firmscansellapositivequantityiftheypriceatmarginalcost.
LemmaTheBertrandgamehastheuniqueNE
=（c;
c）.
Proof:
Firstwemustshowthat（c,c）isaNE.Itiseasytoseethateachfirmmakeszeroprofits.Deviatingtoapricebelowcwouldcauselossestothedeviatingfirm.Ifanyfirmsetsahigherpriceitdoesnotsellanyoutputandalsomakeszeroprofits.Therefore,thereisnoincentivetodeviate.
Toshowuniquenesswemustshowthatanyotherstrategyprofile（p1;
p2）isnotaNE.It'
seasiesttodistinguishlotsofcases.
CaseI:
p1<
corp2<
c.Inthiscaseone（orbothplayers）makesnegativelosses.Thisplayershouldsetapriceabovehisrival'
spriceandcuthislossesbynotsellinganyoutput.
CaseII:
c<
p1<
p2orc<
p2<
p1.Inthiscasethefirmwiththehigherpricemakeszeroprofits.Itcouldprofitablydeviatebysettingapriceequaltotherival'
spriceandthuscaptureatleasthalfofhismarket,andmakestrictlypositiveprofits.
CaseIII:
c=p1<
p2orc=p2<
p1.Nowthelowerpricefirmcanchargeapriceslightlyabovemarginalcost（butstillbelowthepriceoftherival）andmakestrictlypositiveprofits.
CaseIV:
c<
p1=p2.Firm1couldprofitablydeviatebysettingaprice
.Thefirm'
sprofitsbeforeandafterthedeviationare:
Notethatthedemandfunctionisdecreasing,so
.Wecanthereforededuce:
Thisexpression（thegainfromdeviating）isstrictlypositiveforsufficientlysmall
.Therefore,（p1;
p2）cannotbeaNE.
9.2.7MixedStrategies（混合战略）
猜谜游戏matchingpenniesgame:
儿童B
H（正面）
T（反面）
儿童A
1,-1
-1,1
每一个参与者都想猜透对方的战略，而又不能让对方猜透自己的战略。
Thisgamehasnopure-strategyNashequilibrium.Whateverpurestrategyplayer1chooses,player2canbeathim.如果一个参与人采用混合战略（以一定的概率选择某种概率），他的对手就不能准确地猜出他实际上会选择的战略，尽管在均衡点上，每个人都知道其他参与人在不同战略上的概率分布。
Intuitively,gamesinwhichtheparticipantshavealargenumberofstrtegieswilloftenoffersuffifientflexibilitytoensurethatatleastoneNashEquilibriummustexist.Ifwepermittheplayerstouse“mixed”strategies,theabovegamewillbeconvertedintoonewithaninfinitenumberof（mixed）strategiesand,again,theexistenceofaNashequilibriumisensured.
Supposethattheplayersdecidetorandomizeamongsthisstrategiesandplayamixedstrategy.PlayerAcouldflipacoinandplayHwithprobabilityrandTwithprobability1-r,andplayerBflipacoinandplayHwithprobabilitysandTwithprobability1-s.
Giventheseprobabilities,theoutcomesofthegameoccurwiththefollowingprobabilities:
H-H,rs;
H-T,r（1-s）;
T-H,（1-r）s;
T-T,（1-r）（1-s）.PlayerA’sexpectedutilityisthengivenby
Oviously,A’soptimalchoiceofrdependsonB’sprobability,s.If
utilityismaximizedbychoosing
.If
Ashouldoptfor
.Andwhen
A’sexpectedutilityis0nomatterwhatvalueofrischoosen.
ForplayerB,expectedutilityisgivenby
Now,when
B’sexpectedutilityismaximizedbychoosing
A’sexpectedutilityisindependentofwhatsischoosen.
NashequilibriaareshowninthefigurebytheintersectionsofoptimalresponsecurvesforAandB.
Or,wecangettheequilibriumthroughtheFOC
Definition:
LetGbeagamewithstrategyspacesS1,S2,..,SI.Amixedstrategy
forplayeriisaprobabilitydistributiononSi,i.e.forSi,amixedstrategyisafunction
Severalnotationsarecommonlyusedfordescribingmixedstrategies.
1.Function（measure）:
and
2.Vector:
Ifthepurestrategiesare
write
e.g.（1/2,1/2）
3.（1/2）H+（1/2）T
Write
（also
）forthesetofprobabilitydistributionsonSi.
Write
for
.Amixedstrategyprofile
isann-tuple
with
Wewrite
forplayeri'
sexpectedpayoffwhenheusesmixedstrategy
andallotherplayersplayasin
Remark:
ForthedefinitionofamixedstrategypayoffwehavetoassumethattheutilityfunctionfulfillstheVNMaxioms.Mixedstrategiesinducelotteriesovertheoutcomes（strategyprofiles）andtheexpectedutilityofalotteryallowsaconsistentrankingonlyifthepreferencerelationsatisfiestheseaxioms.
DefinitionAmixedstrategyNEofGisamixedprofile
suchthat
foralliandall
ThedefinitionofMSNEmakesitcumbersometocheckthatamixedprofileisaNE.Thenextresultshowsthatitissufficienttocheckagainstpurestrategyalternatives.
Proposition:
isaNashequilibriumifandonlyif
foralliand
Example:
Thestrategyprofile
isaNEofMatchingPennies.
Becauseofsymmetryisitsufficienttocheckthatplayer1wouldnotdeviate.Ifheplayshismixedstrategyhegetsexpectedpayoff0.Playinghistwopurestrategiesgiveshimpayoff0aswell.Therefore,thereisnoincentivetodeviate.
9.3完全信息动态博弈
9.3.1Theextensiveformofagame
Theextensiveformofagameisacompletedescriptionof
1.Thesetofplayers.
2.Whomoveswhenandwhattheirchoicesare.
3.Theplayers'
payoffsasafunctionofthechoicesthataremade.
4.Whatplayersknowwhentheymove.
Example:
ModelofEntry
Currentlyfirm1isanincumbentmonopolist.Asecondfirm2hastheopportunitytoenter.Afterfirm2makesthedecisiontoenter,firm1willhavethechancetochooseapricingstrategy.Itcanchooseeithertofighttheentrantortoaccommodateitwithhigherprices.
ExampleII:
StackelbergModel
Supposefirm1developsanewtechnologybeforefirm2andasaresulthastheopportunitytobuildafactoryandcommittoanoutputlevelq1beforefirm2starts.Firm2thenobservesfirm1beforepickingitsoutputlevelq2.Forconcretenesssuppose
andmarketdemandis
.Themarginalcostofproductionis0.
9.3.2DefinitionofanExtensiveFormGame
Formallyafiniteextensiveformgameconsistsof
1.Afinitesetofplayers.
2.AfinitesetTofnodeswhichformatreealongwithfunctionsgivingforeachnon-terminalnode
（Zisthesetofterminalnodes）
theplayeri（t）whomoves
thesetofpossibleactionsA（t）
thesuccessornoderesultingfromeachpossibleactionN（t;
a）
3.Payofffunctions
givingtheplayerspayoffsasafunctionoftheterminalnodereached（theterminalnodesaretheoutcomesofthegame）.
4.Aninformationpartition:
foreachnodet,h（t）isthesetofnodeswhicharepossiblegivenwhatplayeri（x）knows.Thispartitionmustsatisfy
Wesometimeswritei（h）andA（h）si
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