高中数学第一章集合与函数概念11集合111集合的含义与表示教学设计新人教A版必修1Word下载.docx

高中数学第一章集合与函数概念11集合111集合的含义与表示教学设计新人教A版必修1Word下载.docx

《高中数学第一章集合与函数概念11集合111集合的含义与表示教学设计新人教A版必修1Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章集合与函数概念11集合111集合的含义与表示教学设计新人教A版必修1Word下载.docx（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

①中国有许多传统的佳节，那么这些传统的节日是否能构成一个集合？

如果能，这个集合由什么组成？

②全体自然数能否构成一个集合？

③方程x2－3x＋2＝0的所有实数根能否构成一个集合？

④你能否根据上述几个问题总结出集合的含义？

讨论结果：

①能．这个集合由春节、元宵节、端午节等有限个种类的节日组成，称为有限集．

③能．这个集合由1,2两个数组成．

④我们把研究对象统称为“元素”，把一些元素组成的总体叫做“集合”．

通过以上的学习我们已经知道集合是由一些元素组成的总体，那么是否所有的元素都能构成集合呢？

请看下面几个问题.

①近视超过300度的同学能否构成一个集合？

②“眼神很差”的同学能否构成一个集合？

③比较问题①②，说明集合中的元素具有什么性质？

④我们知道冬虫夏草既是一种植物，又是一种动物.那么在所有动植物构成的集合中，冬虫夏草出现的次数是一次呢还是两次？

⑤组成英文单词every的字母构成的集合含有几个元素？

分别是什么？

⑥问题④⑤说明集合中的元素具有什么性质？

⑦在玩斗地主的时候，我们都知道3，4，5，6，7是一个顺子，那比如说老师出牌的时候把这五张牌的顺序摆成了5，3，6，7，4，那么这还是一个顺子么？

类比集合中的元素，一个集合中的元素是3，4，5，6，7，另外一个集合中的元素是5，3，6，7，4，这两个集合中的元素相同么？

集合相同吗？

这体现了集合中的元素的什么性质？

①能．

②不能．

③确定性．问题②对“眼神很差”的同学没有一个确定的标准，到底怎样才算眼神差，是近视300度？

400度？

还是说“眼神很差”只是寓意？

我们不得而知．因此通过问题①②我们了解到，对于给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合中元素的确定性．

④一次．

⑤4个元素．e，v，r，y这四个字母．

⑥互异性．一个集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素不能重复出现．

⑦是．元素相同．集合相同．体现集合中元素的无序性，即集合中的元素的排列是没有顺序的．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．

①如果用A表示所有的自然数构成的集合，B表示所有的有理数构成的集合，a＝1.58，那么元素a和集合A，B分别有着怎样的关系？

②大家能否从问题①中总结出元素与集合的关系？

③A表示“1～20内的所有质数”组成的集合，那么3__________A，4__________A.

①a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素．

②a是集合B中的元素，就说a属于集合B，记作a∈B；

a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a

A.因此元素与集合的关系有两种，即属于和不属于．

③3∈A,4

A.

①从这堂课的开始到现在，你们注意到我用了几种方法表示集合吗？

②字母表示法中有哪些专用符号？

③除了自然语言法和字母表示法之外，课本还为我们提供了几种集合的表示方法？

④列举法的含义是什么？

你能否运用列举法表示一些集合？

请举例！

⑤能用列举法把下列集合表示出来吗？

小于10的质数；

不等式x－2＞5的解集.

⑥描述法的含义是什么？

你能否运用描述法表示一些集合？

⑦集合的表示方法共有几种？

①两种，自然语言法和字母表示法．

②非负整数集（或自然数集），记作N；

除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N＋；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R.

③两种，列举法与描述法．

④把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．例如“地球上的四大洋”组成的集合可以用列举法表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，方程x2－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合可以用列举法表示为{1,2}．

⑤“小于10的质数”可以用列举法表示出来；

“不等式x－2＞5的解集”不能够用列举法表示出来，因为这个集合是一个无限集．因此，当集合是无限集或者其元素数量较多而不便于无一遗漏地列举出来的时候，如果我们再用列举法来表示集合就显得不够简洁明了．

⑥用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：

在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．例如，不等式x－2＞5的解集可以表示为{x∈R|x＞7}；

所有的正方形的集合可以表示为{x|x是正方形}，也可写成{正方形}．

⑦自然语言法、字母表示法、列举法、描述法．

例1下列所给对象不能构成集合的是__________．

（1）高一数学课本中所有的难题；

（2）某一班级16岁以下的学生；

（3）某中学的大个子；

（4）某学校身高超过1.80米的学生．

活动探究：

教师首先引导学生通过读题、审题，了解本题考查的基本知识点——集合中元素的确定性；

然后指导学生对4个选项进行逐一判断；

判断所给元素是否能构成集合，关键是看是否满足集合元素的确定性．

解析：

（1）不能构成集合．“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确的标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观地判断．实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”，因而“高一数学课本中所有的难题”不能构成集合．

（2）能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生．

（3）因为未规定大个子的标准，所以（3）不能组成集合．

（4）由于（4）中的对象具备确定性，因此，能构成集合．

答案：

（1）（3）

变式训练

1．下列几组对象可以构成集合的是（　　）

A．充分接近π的实数的全体

B．善良的人

C．某校高一所有聪明的同学

D．某单位所有身高在1.7m以上的人

D

2．已知集合S的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是（　　）

A．锐角三角形　　　B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

3．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（　　）

A．1　　　B．－2C．6　　　D．2

C

点评：

本题主要考查集合元素的性质．当所描述的对象明确的时候就能构成集合，若元素不明确就不能构成集合，称为元素的确定性；

同时，一个集合中的元素是互不相同的，称为元素的互异性；

此外还要注意元素的无序性.

例2用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x2＝x的所有实数根组成的集合；

（3）由1～20以内的所有质数组成的集合．

讲解例2的过程中，可以设计如下问题引导学生：

针对例2

（1）：

①自然数中是否含有0？

②小于10的自然数有哪些？

③如何用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合？

针对例2

（2）：

①解一元二次方程的方法有哪些？

②方程x2＝x的解是什么？

③如何用列举法表示方程x2＝x的所有实数根组成的集合？

针对例2（3）：

①如何判断一个数是否为质数（即质数的定义是什么）？

②1～20以内的质数有哪些？

③如何用列举法表示由1～20以内的所有质数组成的集合？

在用列举法表示集合的过程中，应让学生先明确集合中的元素，再把元素写入“{　}”内，并用逗号隔开．

（2）方程x2＝x的两个实根为x1＝0，x2＝1，设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}；

本题主要考查了集合表示法中的列举法，通过本题的教学可以体会利用集合表示教学内容的严谨性和简洁性.

1．用列举法表示下列集合：

（1）一年之中的四个季节组成的集合；

（2）满足不等式1＜1＋2x＜19的素数组成的集合．

（1）{春季，夏季，秋季，冬季}；

2．已知集合A＝

，试用列举法表示集合A.

解：

由题意可知6－x是8的正约数，当6－x＝1时，x＝5；

当6－x＝2时，x＝4；

当6－x＝4时，x＝2；

当6－x＝8时，x＝－2；

而x≥0，∴x＝2,4,5，即A＝{2,4,5}．

变式训练1主要对列举法进行了考查；

变式训练2考查了两个方面的知识点，一是元素与集合的关系，二是列举法的应用，体现了对知识综合应用的能力.

例3试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合．

讲解例3的过程中，可以设计如下问题引导学生：

针对例3

（1）——列举法

①方程x2－2＝0的解是什么？

②如何用列举法表示方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合？

针对例3

（1）——描述法

①描述法的定义是什么？

②所求集合中元素有几个共同特征？

③如何用描述法表示所求集合？

针对例3

（2）——列举法

①大于10小于20的所有整数有哪些？

②由大于10小于20的所有整数组成的集合用列举法如何表示？

针对例3

（2）——描述法

①所求集合中元素有几个共同特征？

②如何用描述法表示所求集合？

（1）设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}；

方程x2－2＝0的两个实根为x1＝－

，x2＝

，因此，用列举法表示为A＝{－

，

}．

（2）设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z且10＜x＜20，因此，用描述法表点评：

例2和例3是通过“问题引导”的方式，使学生逐步逼近答案的过程．在此过程中，既帮助学生理清了解答问题的基本思路，又使得列举法和描述法在实例中得到进一步的巩固.

用适当的方法表示下列集合：

（1）Welcome中的所有字母组成的集合；

（2）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；

（3）由所有非负偶数组成的集合；

（4）直角坐标系内第三象限的点组成的集合；

（5）不等式2x－3＞2的解集．

（1）列举法：

{W，e，l，c，o，m}；

（3）描述法：

{x|x＝2n，n∈N}；

（4）描述法：

{（x，y）|x＜0，且y＜0}；

（5）描述法：

{x|x＞2.5}.

课后练习1,2.

【补充练习】

1．考查下列对象能否构成集合：

（1）著名的数学家；

（2）某校2013年在校的所有高个子同学；

（3）不超过20的非负数；

（4）方程x2－9＝0在实数范围内的解；

（5）直角坐标平面内第一象限的一些点；

（6）

的近似值的全体．

（1）

（2）（5）（6）不能组成集合，（3）（4）能组成集合．

2．用适当的符号填空：

（1）0__________N，

__________N，

__________N；

（2）－

__________Q，π__________Q，e__________∁RQ（e是个无理数）；

（3）

＋

＝__________{x|x＝a＋

b，a∈Q，b∈Q}．

（1）∈　

　∈　　

（2）∈　

　∈　　（3）∈

3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．

∵2∈A，

∴m＝2或m2－3m＋2＝2.

若m＝2，则m2－3m＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．

若m2－3m＋2＝2，求得m＝0或3.

m＝0不合题意，舍去．

∴m只能取3.

4．用适当方法表示下列集合：

（1）函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象上所有点的集合；

（2）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合；

（3）不等式x－3＞2的解集；

（4）自然数中不大于10的质数集．

（1）描述法：

{（x，y）|y＝ax2＋bx＋c，x∈R，a≠0}．

（2）描述法：

＝

.

列举法：

{（1,4）}．

（3）描述法：

{x|x＞5}

问题1：

设集合P＝{x－y，x＋y，xy}，Q＝{x2＋y2，x2－y2,0}，若P＝Q，求x，y的值及集合P，Q.

首先，应让学生思考两个数集相等的条件——集合中的元素分别对应相等；

然后，再引导学生讨论：

本题中集合P，Q对应相等时，其元素可能出现的几种情况，并根据讨论的结果进行计算；

最后，应当指导学生自主探究，应用集合中元素的性质检验所求结果是否符合要求．

∵P＝Q且0∈Q，

∴0∈P.

若x＋y＝0或x－y＝0，则x2－y2＝0，从而Q＝{x2＋y2,0,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴x＋y≠0且x－y≠0；

若xy＝0，则x＝0或y＝0.

当y＝0时，P＝{x，x,0}，与集合中元素的互异性矛盾，

∴y≠0；

当x＝0时，P＝{－y，y,0}，Q＝{y2，－y2,0}，

由P＝Q得

　①　　　或

②

由①得y＝－1，由②得y＝1，

∴

或

此时P＝Q＝{1，－1,0}．

本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算能力和分类讨论能力．

问题2：

已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A中的元素至多只有一个，求a的取值范围．

讨论关于x的方程ax2－3x＋2＝0实数根的情况，从中确定a的取值范围，依题意，方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根．

（1）a＝0时，原方程为－3x＋2＝0，x＝

，符合题意．

（2）a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程．

由Δ＝9－8a≤0，得a≥

∴当a≥

时，方程ax2－3x＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．

综合

（1）

（2），知a＝0或a≥

“a＝0”这种情况最容易被忽视，只有在“a≠0”的条件下，方程ax2－3x＋2＝0才是一元二次方程，才能用判别式Δ解决问题．

问题3：

设S＝{x|x＝m＋

n，m，n∈Z}．

（1）若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？

（2）对S中的任意两个x1，x2，则x1＋x2，x1·

x2是否属于S?

针对问题

（1）——首先引导学生仔细观察集合S中元素的共同特征与构成方式；

然后，再引导学生思考题中所给的元素a能否表示成m＋

n的形式；

如果能，m和n分别是多少，如果不能，请说明理由；

最后小结，判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可．

针对问题

（2）——首先引导学生将x1，x2分别表示出来，再引导大家根据正确的表示结果，推断x1＋x2，x1·

x2是否是集合S中的元素．

（1）a是集合S中的元素，a＝a＋

×

0∈S.

（2）不妨设x1＝m＋

n，x2＝p＋

q，m，n，p，q∈Z.

则x1＋x2＝（m＋

n）＋（p＋

q）＝（m＋p）＋

（n＋q），m，n，p，q∈Z.

∴x1＋x2∈S；

x1·

x2＝（m＋

n）·

（p＋

q）＝（mp＋2nq）＋

（mq＋np），m，n，p，q∈Z.

∴x1·

x2∈S.综上，x1＋x2，x1·

x2都属于S.

本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系．

本节学习了：

（1）集合的含义；

（2）集合中元素的性质；

（3）元素与集合的关系；

（4）集合的表示方法．

习题1.1A组　3,4.

本节教学设计是以数学课程标准的要求为指导，结合生活中的一些实例，重视引导学生积极思考，主动参与到教学中，体现了学生的主体地位．同时结合高考的要求适当拓展了教材，使学生的发散性思维得到拓展，最大限度地挖掘了学生的学习潜力，真正做到了对教材的“活学活用”．

集合论的诞生

集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.17世纪，数学中出现了一门新的分支：

微积分．在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.19世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端．到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念．他对集合所下的定义是：

把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．

康托尔把无穷集这一词汇引入数学．对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子．“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示．”学过集合的所有人应该对这句话不会感到陌生．但在接受这句话时我们根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作．在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释．无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在的．这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.18世纪数学王子高斯就持这种观点．由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是不足为怪的．然而康托尔并未就此止步，他以前所未有的方式，继续正面探讨无穷．他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数．他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势．由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应关系——也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数．这与传统观念“全体大于部分”相矛盾．而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征．在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集．又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集．后来当他又证明了实数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集．但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集．有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”．

然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认．在1900年第二次国际数学家大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了．从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等．而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的．因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结．“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一．康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献．”

第

（1）课时

课题：

书法---写字基本知识

课型：

新授课

教学目标：

1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：

基本笔画的书写。

难点：

运笔的技法。

教学过程：

一、了解书法的发展史及字体的分类：

1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：

颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：

1、书写姿势：

做到“三个一”：

一拳、一尺、一寸（师及时指正）

2、了解钢笔的性能：

笔头富有弹性；

选择出水顺畅的钢笔；

及时地清洗钢笔；

选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；

不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写

1、基本笔画包括：

横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：

起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）

四、作业：

完成一张基本笔画的练习。

板书设计：

写字基本知识、一拳、一尺、一寸

我的思考：

通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：

学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

总第

（2）课时

书写练习1

1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

正确书写6个字。

注意字的结构和笔画的书写。

一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：

1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：

写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

）3、书写教学“杏花春雨江南”6个字。

杏：

上大下小，上面要写