人教版部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九含答案 56文档格式.docx
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∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
，
∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC（ASA），
∴AB＝AC，BD＝DC．
理由：
如图2中，延长BE交CA的延长线于K．
∵CE平分∠BCK，CE⊥BK，
∴由
（1）中结论可知：
CB＝CK，BE＝KE，
∵∠∠BAK＝∠CAD＝∠CEK＝90°
∴∠ABK+∠K＝90°
，∠ACE+∠K＝90°
∴∠ABK＝∠ACD，
∵AB＝AC，
∴△BAK≌△CAD（ASA），
CD＝BK，
∴CD＝2BE，即DF＝2BE．
作FK∥CA交BE的延长线于K，交AB于J．
∵FK∥AC，
∴∠FJB＝∠A＝90°
，∠BFK＝∠BCA，
∵∠JBF＝45°
∴△BJF是等腰直角三角形，
∵∠BFE＝
ACB，
∴∠BFE＝
∠BFJ，
由
（2）可知：
【点睛】
三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题
52．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，
（1）求证：
OD＝OE；
（2）若F是OC上的不同于点P的任一点，连接DF，EF．求证：
DF＝EF．
（2）见解析；
（1）只要证明△ODP≌△OEP（AAS），即可推出OD＝OE．
（2）只要证明△DPF≌△EPF（SAS），即可推出DF＝EF．
（1）证明：
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP＝∠EOP，
∵PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°
∵OP＝OP，
∴△ODP≌△OEP（AAS），
∴OD＝OE．
（2）证明：
∵△ODP≌△OEP，
∴∠PD＝PE，∠OPD＝∠OPE，
∴∠DPF＝∠EPF，
∵PF＝PF，
∴△DPF≌△EPF（SAS），
∴DF＝EF．
考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识.
53．如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF．求证：
∠B=∠E.
【答案】见解析
先证出BC=EF，∠ACB=∠DFE，再证明△ACB≌△DFE，得出对应角相等即可．
证明：
∵BF=CE，
∴BC=EF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ACB和△DFE中，
∴△ACB≌△DFE（SAS），
∴∠B=∠E．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，证出三角形全等是解题的关键．
54．如图，已知AB=AD，BC=DC，求证：
△ABC≌△ADC．
直接利用SSS判定△ABC≌△ADC即可．
∵在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：
AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
55．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F．若EF＝5cm，求AE和CF的长．
【答案】AE＝3cm，CF＝
cm．
先求出△ACB≌△FEC，根据全等三角形的性质得出EF＝AC，再求出AE和CF即可．
∵CD⊥AB，EF⊥AC，∠ACB＝90°
∴∠CEF＝∠ADC＝∠ACB＝90°
∴∠A+∠ACD＝90°
，∠F+∠ACD＝90°
∴∠A＝∠F，
在△ACB和△FEC中
∴△ACB≌△FEC（AAS），
∴AC＝EF，
∵EF＝5cm，
∴AC＝5cm，
∵BC＝CE＝2cm，
∴AE＝AC﹣CE＝5cm﹣2cm＝3cm，
在Rt△FEC中，由勾股定理得：
CF＝
（cm）．
本题考查了全等三角形的性质和判定和勾股定理，能求出△ACB≌△FEC是解题的关键．
56．如图，已知OC=OE，OD=OB，试说明△ADE≌△ABC．
由△COD≌△BOE，得到∠D=∠B，再得到BC=DE，再利用AAS得到△ADE≌△ABC．
在△COD和△BOE中，
∴△COD≌△BOE，
∴∠D=∠B，
∵OC=OE，OD=OB，
∴DE=BC
在△ADE和△ABC中，
∴△ADE≌△ABC．
本题考查的是全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.
57．如图，已知∠DAB＝∠CAE，AB＝AE，AD＝AC．
求证：
BC＝DE.
【答案】证明见解析；
根据∠DAB=∠EAC可证明∠CAB=∠EAD，然后根据SAS证明△ACB≌△ADE，即可证明BC=DE．
∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE，
即：
∠DAE=∠CAB，
在△ACB和△ADE中，
，
∴△ACB≌△ADE（SAS），
∴BC=DE．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
58．已知等边三角形ABC中，P为直线BC上一点，连接PA，以PA为一边作∠APE=60°
，另一边交△ABC的外角平分线于点E，过点E作EH⊥BC的延长线于H．
（1）当点P在线段BC上时，
①求证：
BP=CE；
②试探究线段PC，CH，AB之间的数量关系；
（2）当点P在BC的延长线上时，请直接写出线段PC，CH，AB之间的数量关系．
（1）①证明见解析；
②PC+2CH=AB；
（2）AB+PC=2CH．
由条件可证到∠BAP=∠CPE,∠APE=∠ACE,从而可得APCE四点共圆,由圆周角定理可得∠CPE=∠CAE,进而可证到△ABP≌△ACE,则有BP=CE,在Rt△CHE中运用三角函数就可得到CE=2CH,即可得到结论.
（1）①过点P作PM∥AC于点M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°
，AB=BC，
∴∠ACH=180°
－∠ACB=120°
∵CE平分∠ACH，
∴∠ACE=∠ECH=
∠ACH=60°
∴∠PCE=∠PCA+∠ACE=120°
∵PM∥AC，
∴∠MPB=∠ACB=60°
，∠BMP=∠BAC=60°
∴∠B=∠BMP=∠BPM，∠PMA=180°
－∠BMP=120°
∴PB=MP=BM，∠PMA=∠ECP，
∵∠APE=60°
，∠APC=∠APE+∠EPH，∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠BAP=∠EPC，
∵PB=BM，BA=BC，
∴BA－BM=BC－BP，即AM=PC；
在△AMP和△PCE中，
∴△AMP≌△PCE，
∴MP=CE；
又∵PB=MP，
∴BP=CE；
②关系：
PC+2CH=AB；
∵EH⊥BH，∠ECH=60°
∴∠CEH=30°
∴CE=2CH，
∵BC=BP+PC，BP=CE，AB=BC，
∴PC+2CH=AB；
本题主要考查了四点共圆、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、三角形的外角性质等知识,通过证明△ABP≌△ACE得到BP=CE是解决本题的关键.
59．如图所示，
是边长为1的等边三角形，
是顶角
的等腰三角形，以
为顶点作一个
的角，角的两边交
、
于
，连结
，求
周长.
【答案】△AMN的周长为2．
根据已知条件得△CDE≌△BDM，再利用DE=DM，
证明△DMN≌△DEN，得到对应边相等即可解题.
如图，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，
∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°
∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°
+30°
=90°
∠DCE=180°
﹣∠ACD=180°
﹣∠ABD=90°
又∵BM=CE，BD=CD，
∴△CDE≌△BDM，
∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，
∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°
﹣60°
=60°
∵在△DMN和△DEN中，
∴△DMN≌△DEN，
∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周长为2．
本题考查等边三角形的性质与应用,截长补短的数学方法,中等难度,作辅助线证明全等是解题关键.
60．如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF．
【答案】详见解析.
根据已知条件证明AB=CD,AF=CF，证明Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）,得BF＝DE,进而证明△BFG≌△DEG（AAS），即可证明.
证明∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEG＝∠BFE＝90°
∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF,即AF＝CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,AF=CF，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF＝DE．
在△BFG和△DEG中，∠BFG=∠DEG,∠BGF=∠DGE，BF=DE
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴FG＝EG，即BD平分EF
本题考查了三角形全等的判定与性质,中等难度,将中点问题转化成证明全等问题是解题关键.
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