勾股定理的逆定理填空和详解中考题Word格式文档下载.docx

勾股定理的逆定理填空和详解中考题Word格式文档下载.docx

《勾股定理的逆定理填空和详解中考题Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理的逆定理填空和详解中考题Word格式文档下载.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

其中所有正确结论的序号为

　_________　．

12、已知|x﹣12|+（y﹣13）2与z2﹣10z+25互为相反数，则以x，y，z为边的三角形是　_________　三角形．

13、已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为　_________　cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．

14、三角形的三边长为a，b，c，满足（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形是　_________　．

15、若一个三角形的三边之比为5：

12：

13，且周长为60cm，则它的面积为　_________　cm2．

16、在△ABC中，若BC2+AB2=AC2，则∠A+∠C=　_________　度．

17、有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为　_________　．

18、如图：

在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2=　_________　．

19、在△ABC中，设CD是高，若BC=6，CA=8，AB=10，则CD=　_________　．

20、在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=　_________　．

21、若a，b，c分别是△ABC的三条边长，且a2﹣6a+b2﹣10c+c2=8b﹣50，则这个三角形的形状是　_________　．

22、如果△ABC的三边长a，b，c满足关系式（a+2b﹣60）2+|b﹣18|+

=0，则a=　_________　，b=　_________　，c=　_________　，△ABC是　_________　三角形．

23、如图，Rt△ABC中，∠C=90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为　_________　．

24、△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A=　_________　度．

25、已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2=0，则△ABC的形状是

26、已知|m﹣

|+

+（p﹣

）2=0则以m、n、p为三边长的三角形是　_________　三角形．

27、在△ABC中，AB=5，AC=12，CB=13，D、E为边BC上的点，满足BD=1，CE=8．则∠DAE的度数为　_________　．

28、已知x，y，z均为正数，且|x﹣4|+（y﹣3）2+

=0，若以x，y，z的长为边长画三角形，此三角形的形状为　_________　．

29、已知a、b、c为△ABC的三边，且a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，则此三角形的形状为　_________　．

30、以A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），C（2，2）为顶点的三角形是　_________　三角形．

答案与评分标准

1、（2008•沈阳）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有　8　个．

考点：

坐标与图形性质；

勾股定理的逆定理。

专题：

分类讨论。

分析：

本题可先根据AB两点的坐标得出直线的方程，再设C点的坐标为：

（x，y），根据点到直线的公式得出C点的x与y的关系，然后分别讨论∠A为直角时或∠B为直角时或∠C为直角几种情况进行讨论即可得出答案．

解答：

解：

到直线AB的距离为4的直线有两条．以一条直线为例，当∠A为直角时，可得到一个点；

当∠B为直角时，可得到一个点；

以AB为直径的圆与这条直线有2个交点，此时，∠C为直角．

同理可得到另一直线上有4个点．

点评：

本题需注意：

到一条直线距离为定值的直线有两条；

需注意分情况讨论三角形为直角的情况．

④钝角三角形．以上符合条件的正确结论是　①②③　．（只填序号）

等腰三角形的判定；

等边三角形的判定；

根据a、b、c是三个正整数，且a+b+c=12，分情况讨论得出．

因为a、b、c是三个正整数，且a+b+c=12，

因此所有a、b、c可能出现的情况如下：

①2，5，5②3，4，5，③4，4，4，

分别是：

②直角三角形；

③等边三角形．

故符合条件的正确结论是①②③．

本题综合考查了学生分类讨论的能力和特殊三角形的判定方法．

3、（2003•哈尔滨）若在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADC的度数是　90　度．

根据题意，画出图形，根据中线的定义，求出BD，由勾股定理的逆定理判断出△ABD为直角三角形，从而求得∠ADC的度数．

∵AB=5cm，BC=6cm，AD=4cm，

又∵AD为BC边上的中线，

∴BD=6×

=3，

∴AB2=AD2+BD2，

∴△ABC为直角三角形，

∴∠ADC=∠ADB=90°

，

∴∠ADC的度数是90度．

本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

+（c﹣10）2=0，则由a，b，c为三边的三角形是　直角　三角形．（填上“锐角”或“直角”或“钝角”）

勾股定理的逆定理；

非负数的性质：

绝对值；

偶次方；

算术平方根。

根据非负数的性质求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理判定．

∵|a﹣6|+

+（c﹣10）2=0，

∴根据非负数的性质a=6，b=8，c=10，

又∵c2=a2+b2，即100=36+64，符合勾股定理的逆定理，

∴由a，b，c为三边的三角形是直角三角形．

本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理．

初中阶段有三种类型的非负数：

（1）绝对值；

（2）偶次方；

（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．

5、（2010•达州）如图所示，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有　①②　．（多选、错选不得分）①∠A+∠B=90°

直角三角形的性质；

三角形内角和定理；

根据三角形内角和是180°

、勾股定理、余弦函数、相似三角形的性质等来逐一判断各结论是否符合题意．

①∵三角形内角和是180°

，由①知∠A+∠B=90°

∴∠ACB=180°

﹣（∠A+∠B）=180°

﹣90°

=90°

∴△ABC是直角三角形．故选项①正确．

②AB，AC，BC分别为△ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，②正确．

③题目所给的比例线段不是△ACB和△CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明△ACB与△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③错误；

④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，

又∵CD2=AD•BD，（即

）

∴△ACD∽△CBD

∴∠ACD=∠B

∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°

△ABC是直角三角形

∴故选项④错误；

故正确的结论为①②．

本题考查直角三角形的性质和勾股定理等知识的应用，只要利用直角三角形的这些特性加以判断即可．

6、（2010•义乌市）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是　3、4、5（答案不唯一）　（写出一组即可）．

写出一组勾股数即可．

例如，3、4、5（答案不唯一）．

本题主要考查勾股数的记忆，需要熟练记忆．

，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数是　90　度．

已知一个三角形三边，先看三边是否符合勾股定理的逆定理，如果符合，则该三角形为直角三角形．

∵OA=OB=2，AB=

∵OA2+OB2=AB2，

∴根据勾股定理的逆定理，△ABO是直角三角形，且∠AOB=90°

，故填90．

已知三角形求边长，一般是利用勾股定理的逆定理．

8、（2006•丽水）如图，以△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，如果S1+S2=S3，那么△ABC的形状是　直角　三角形．

由已知得三个正方形的面积分别是三角形各边的平方，由已知得其符合勾股定理从而得到其是一个直角三角形．

∵S1+S2=S3且S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，

∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形．

本题意在使抽象难懂的知识变得通俗易懂，通过审题把题目中的条件进行转化，是解题的关键．

3．已知BC=3cm，则AB=　6　cm．

根据直角三角形的判定方法，确定三角形为直角三角形，则AB可求．

∵∠A：

3，

∴设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，

∴x+2x+3x=180°

解得x=30°

则∠A=30°

，∠C=3×

30°

∵30°

的角所对的直角边是斜边的一半，

∴AB=3×

2=6cm．

根据比例关系列出方程，是解决此类问题的关键，体现了方程思想在解题中的作用．

6的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的个数是　6　个．

网格型。

注意存在的两个关键点：

一是直角三角形，二是面积为1个平方单位，按此条件进行分析，不难求得答案．

如图，将A、B、C连接起来，S△ABC=2×

1×

=1，

同理，其余五点和A、B相连，也可以求出三角形面积为1，

所以这样的直角三角形有6个．

此题考查直角三角形的判定及面积公式的运用．

　②③　．

三角形三边关系。

由已知三边，根据勾股定理得出a2+b2=c2，然后根据三角形三边关系即任意一边长＞其他二边的差，＜其他二边的合，再推出小题中各个线段是否能组成三角形．

（1）直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2，因而以a2，b2，c2的长为边的三条线段不能满足两边之和＞第三边，故不能组成一个三角形，故错误；

（2）直角三角形的三边有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在

三个数中

最大，如果能组成一个三角形，则有

成立，即

，即a+b+

，（由a+b＞c），则不等式成立，从而满足两边之和＞第三边，则以

的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；

（3）a+b，c+h，h这三个数中c+h一定最大，（a+b）2+h2=a2+b2+2ab+h2，（c+h）2=c2+h2+2ch

又∵2ab=2ch=4S△ABC

∴（a+b）2+h2=（c+h）2，根据勾股定理的逆定理

即以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确；

（4）假设a=3b=4，c=5，

的长为

，以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误．

故填②③．

本题考查勾股定理，以及勾股定理的逆定理，同时，通过这一题目要学会，用反例的方法说明一个命题是错误的思考方法．

12、已知|x﹣12|+（y﹣13）2与z2﹣10z+25互为相反数，则以x，y，z为边的三角形是　直角　三角形．

偶次方。

由已知得|x﹣12|+（y﹣13）2+z2﹣10z+25=0，则可求得x、y、z三边的长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形形状．

∵|x﹣12|+（y﹣13）2+z2﹣10z+25=0，

∴|x﹣12|+（y﹣13）2+（z﹣5）2=0，

∴x=12，y=13，z=5，

∴52+122=132∴以x，y，z为边的三角形为直角三角形．

主要考查了勾股定理的逆定理运用．如果一个三角形的三条边满足两边和的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形．

13、已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为　13或

　cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．

已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形斜边和短边二种情况下的结果．

根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为

=13；

当12为斜边时，第三条线段长为=

=

．故填13或

．

本题考查了勾股定理的逆定理，注意要分两种情况讨论．

14、三角形的三边长为a，b，c，满足（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形是　直角三角形　．

先对已知进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．

∵（a+b）2﹣c2=2ab，

∴a2+b2=c2，

∴三角形是直角三角形．

本题考查了勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

13，且周长为60cm，则它的面积为　120　cm2．

根据已知可求得三边的长，再根据三角形的面积公式即可求解．

设三边分别为5x，12x，13x，

则5x+12x+13x=60，

∴x=2，

∴三边分别为10cm，24cm，26cm，

∵102+242=262，∴三角形为直角三角形，

∴S=10×

24÷

2=120cm2

此题主要考查学生对直角三角形的判定及勾股定理的逆定理的理解及运用．

16、在△ABC中，若BC2+AB2=AC2，则∠A+∠C=　90　度．

根据勾股定理的逆定理：

如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

∵BC2+AB2=AC2，根据勾股定理的逆定理：

∴这个三角形是直角三角形．

∴∠B=90°

，则∠A+∠C=90°

本题考查了勾股定理的逆定理，比较简单．

17、有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为　3或

　．

因为没有指明哪个是斜边，所以分两种情况进行分析．

①当第三边为斜边时，第三边=

②当边长为5的边为斜边时，第三边=

=3．

本题利用了勾股定理求解，注意要分两种情况讨论．

在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2=　100　．

勾股定理。

根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2．

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ACE=

∠ACB，∠ACF=

∠ACD，即∠ECF=

（∠ACB+∠ACD）=90°

又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，

∴CM=EM=MF=5，EF=10，

由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．

本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用．

19、在△ABC中，设CD是高，若BC=6，CA=8，AB=10，则CD=　4.8　．

勾股定理；

三角形的面积；

计算题。

根据勾股定理的逆定理可以判定△ABC为直角三角形，用两条直角边和斜边及斜边的高分别求三角形ABC的面积，运用面积法可以计算CD．

已知BC=6，CA=8，AB=10，

且BC2+CA2=AB2，

∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边，

所以Rt△ABC面积=

BC•CA=

AB•CD，

解得CD=4.8．

故答案为：

4.8．

本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，本题中正确的判定三角形是直角三角形是解题的关键．

20、在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=　5　．

根据BD，AD，AB的长度可以判定△ABD为直角三角形，即AD⊥BC，又∵D为BC的中点，可以判定△ABC为等腰三角形，且AB=AC．

在△ABD中，已知AB=5，AD=4，BD=3，

满足AB2=AD2+BD2，

∴△ABD是直角三角形，

即AD⊥BC，

又∵D为BC的中点，

∴△ABC为等腰三角形，且AB=AC，

∴AC=5．

故答案为5．

本题考查了根据勾股定理的逆定理来判定直角三角形，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证△ABC是等腰三角形是解题的关键．

21、若a，b，c分别是△ABC的三条边长，且a2﹣6a+b2﹣10c+c2=8b﹣50，则这个三角形的形状是　直角三角形　．

完全平方公式。

利用完全平方公式把这个式子写成平方几个非负数的和的形式，求得a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可．

∵a2﹣6a+b2﹣10c+c2=8b﹣50

∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25=0

∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0

∴a=3，b=4，c=5

∴这个三角形的形状是直角三角形．

本题考查完全平方公式和勾股定理的逆定理在实际中的运用，注意运用几个非负数的和为0，那么这几个数均为0这个知识点．

=0，则a=　24　，b=　18　，c=　30　，△ABC是　直角　三角形．

先根据非负数的性质求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理解答．

∵（a+2b﹣60）2+|b﹣18|+

=0，

∴

∴a=24，b=18，c=30，

∵242+182=302，

∴△ABC是直角三角形．

本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．

23、如图，Rt△ABC中，∠C=90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为　6　．

含30度角的直角三角形。

运用线段垂直平分线的性质得∠A=∠ABE，根据折叠的性质得∠ABE=∠CBE，然后根据直角三角形的性质计算．

根据题意，得DE垂直平分AB，则AE=BE．

得∠A=∠ABE

根据折叠，得∠ABE=∠CBE

再根据直角三角形的两个锐角互余得∠A=∠ABE=∠CBE=30°

∴CE=

BE=2

则AC=4+2=6．

此题综合了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，所以学生学过的知识要系统．

24、△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A=　30　度．

等边三角形的判定。

由题意得出△AEO和△OEC全等以及△OCF和△OFB全等，再根据全等三角形的定义，求得对应的边相等．而OC=CB=OB，则△OCB为等边三角形，得出∠B=60°

，最后求出∠A的度数．

如图所示，OE，OF分别是边AC，BC的中垂线

∵OE，OF分别是边AC，BC的中垂线

∴△AEO≌△CEO，△OCF≌△OBF

∴AO=CO，CO=BO

∴△ACB为直角三角形．

∵CO=BC

∴△OBC为等边三角形

∴∠B=60°

∴∠A=30°

故填为30°

此题主要考查了学生对直角三角形的判定及等边三角形的判定的运用．

　等腰直角三角形　．

勾股定理的逆定理