高一数学第一章《集合的基本关系》知识点归纳例题解析及课时作业Word文件下载.docx
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多少个真子集？
验证你的结论．
解
（1）∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．
（2）若一个集合有n（n∈N）个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如∅，有1个子集，0个真子集．
反思与感悟 为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：
先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．
跟踪训练1 适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是（ ）
A．15B．16
C．31D．32
答案 A
解析 这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．
类型二 判断集合间的关系
例2 设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为（ ）
A．P⊆N⊆M⊆Q
B．Q⊆M⊆N⊆P
C．P⊆M⊆N⊆Q
D．Q⊆N⊆M⊆P
答案 B
解析 正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，所以选B.
反思与感悟 一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义．
跟踪训练2 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N、Z、Q、R表示，用符号表示N、Z、Q、R的关系为______________．
答案 NZQR
例3 设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<
2或x>
3}，则A与B的关系为（ ）
A．A∈BB．B∈A
C．A⊆BD．B⊆A
答案 C
解析 ∵0<
2，∴0∈B.
又∵1<
2，∴1∈B.
∴A⊆B.
反思与感悟 判断集合关系的方法
（1）观察法：
一一列举观察．
（2）元素特征法：
首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
（3）数形结合法：
利用数轴或Venn图．
跟踪训练3 已知集合A＝{x|－1<
x<
4}，B＝{x|x<
5}，则（ ）
A．A∈BB．AB
C．BAD．B⊆A
解析 由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2∉A，故有AB.
类型三 由集合间的关系求参数（或参数范围）
例4 已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值．
解 A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．
（1）当a＝0时，B＝∅⊆A，符合题意．
（2）当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝{
}，
∵
≠0，要使A⊇B，只有
＝1，即a＝1.
综上，a＝0或a＝1.
反思与感悟 集合A的子集可分三类：
∅、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略∅.
跟踪训练4 已知集合A＝{x|1<
2}，B＝{x|2a－3<
a－2}，且A⊇B，求实数a的取值范围．
解
（1）当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝∅⊆A，符合题意．
（2）当a<
1时，要使A⊇B，需满足
这样的实数a不存在．
综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}．
1．下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若∅A，则A≠∅.
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
解析 只有④正确．
2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为（ ）
A．PTB．P∈T
C．P＝TD．P⃘T
3．下列关系错误的是（ ）
A．∅⊆∅B．A⊆A
C．∅⊆AD．∅∈A
答案 D
4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是（ ）
5．若A＝{x|x>
a}，B＝{x|x>
6}，且A⊆B，则实数a可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
解析 依题意得a≥6，故选D.
1．对子集、真子集有关概念的理解
（1）集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．
（2）不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；
若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
（3）在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：
含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．
3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
（1）注意点：
①不能忽视集合为∅的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
（2）常用方法：
对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围（值）时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
课时作业
一、选择题
1．在下列关系中错误的个数是（ ）
①1∈{0,1,2}；
②{1}∈{0,1,2}；
③{0,1,2}⊆{0,1,2}；
④{0,1,2}＝{2,0,1}；
⑤{0,1}⊆{（0,1）}；
A．1B．2C．3D．4
解析 ①正确；
因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用符号∈来表示，所以②错误；
③正确，因为任何集合都是它本身的子集；
④正确，因为集合元素具有无序性；
因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{（0,1）}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B.
2．已知集合M＝{（x，y）|x＋y<
0，xy>
0}和P＝{（x，y）|x<
0，y<
0}，那么（ ）
A．PMB．MP
C．M＝PD．M⃘P
解析 由
得
故M＝P.
3．已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是（ ）
①S∈U；
②F⊆T；
③S⊆T；
④S⊆F；
⑤S∈F；
⑥F⊆U.
A．①③B．②③
C．③④D．③⑥
解析 元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；
子集的区域要被全部涵盖，故②④错．
4．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则（ ）
A．A⊆BB．C⊆B
C．D⊆CD．A⊆D
解析 ∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C⊆B.
5．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则（a，b）不能是（ ）
A．（－1,1）B．（－1,0）
C．（0，－1）D．（1,1）
解析 当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；
当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；
当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；
当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．
6．集合M＝{1,2,3}的子集个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
解析 ∵集合M共有3个元素，
∴集合M的子集的个数为23＝8.
二、填空题
7．若M⊆P，M⊆Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是________．
答案 4
解析 P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M⊆C，这样的集合M共有22＝4个．
8．已知{0,1}A⊆{－1,0,1}，则集合A的个数为________．
答案 1
解析 由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A⊆{－1,0,1}，所以A＝{－1,0,1}，满足题意的集合A有1个．
9．若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a＝________.
答案 0或1
解析 当B＝∅时，a＝0，满足B⊆A；
当B≠∅时，B＝{
又B⊆A，∴2≤
≤3，即
≤a≤1，
又a∈Z，∴a＝1.
综上知a的值为0或1.
10．已知集合A＝{x|x＝
＋
，k∈Z}，B＝{x|x＝
，k∈Z}，则集合A，B满足的关系是________．（用⊆，，＝连接A，B）
答案 AB
解析 若x0∈A，即x0＝
＝
－
，k0∈Z.
∵2k0－1∈Z，∴x0∈B，即A⊆B，
又
∈B，但
∉A，即A≠B，
∴AB.
三、解答题
11．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<
5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C有多少个？
解 先用列举法表示集合A，B.
由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
综上，满足题意的集合C共有4个．
12．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，求实数a的值．
解 ∵集合A的子集只有两个，
∴A中只有一个元素．
当a＝0时，x＝
，满足题意．
当a≠0时，Δ＝（－3）2－4a×
2＝0，∴a＝
.
综上，a的值为0或
13．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？
若存在，求出集合A，B；
若不存在，请说明理由．
解 因为B是A的子集，
所以B中元素必是A中的元素，
若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．
若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，
所以（x＋1）（x2－x＋2）＝0.
因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，
此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．
综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，
此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．
四、探究与拓展
14．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<
5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（ ）
解析 用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．
15．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<
0}，若A⊆B，求实数m的取值集合．
解 ∵A⊆B，
∴当A＝∅时，即方程x2－4mx＋2m＋6＝0无实根，
故Δ＝16m2－8（m＋3）<
0，解得－1<
m<
当A≠∅时，方程x2－4mx＋2m＋6＝0的根为负，
则
⇒
⇒－3<
m≤－1.
综上，实数m的取值集合是{m|－3<
}．
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