北京高考数学真题及答案理科.docx

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北京高考数学真题及答案理科

绝密★使用完毕前

2012年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合R，R，则

（A）（B）（C）（D）

（2）设不等式组表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是

（A）（B）（C）（D）

（3）设．“”是“复数是纯虚数”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为

（A）

（B）

（C）

（D）

（5）如图，，于点，以为直径的圆与交于点．则

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）从中选一个数字，从中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为

（A）（B）（C）（D）

（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的

表面积是

（A）

（B）

（C）

（D）

（8）某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，的值为

（A）

（B）

（C）

（D）

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数为．

（10）已知为等差数列，为其前项和．若，，则；．

（11）在中，若，，，则=．

（12）在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点，其中点在轴上方．若直线的倾斜角为，则的面积为．

（13）已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为；的最大值为．

（14）已知，．若同时满足条件：

①R，或；

②，，

则m的取值范围是．

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数．

（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；

（Ⅱ）求的单调递增区间．

（16）（本小题共14分）

如图1，在Rt中，，，．分别是上的点，且．将沿折起到的位置，使，如图2．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）若是的中点，求与平面

所成角的大小；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面

与平面垂直？

说明理由．

（17）（本小题共13分）

近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计吨生活垃圾，数据统计如下（单位：

吨）：

“厨余垃圾”箱

“可回收物”箱

“其他垃圾”箱

厨余垃圾

可回收物

其他垃圾

（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；

（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；

（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，．当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值．

（注：

，其中为数据的平均数）

（18）（本小题共13分）

已知函数，．

（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值．

（19）（本小题共14分）

已知曲线（）．

（Ⅰ）若曲线C是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；

（Ⅱ）设，曲线与轴的交点为（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，直线与直线交于点．求证：

三点共线．

（20）（本小题共13分）

设是由个实数组成的行列的数表，满足：

每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零．记为所有这样的数表构成的集合．

对于，记为的第行各数之和（），为的第列各数之和（）；记为，，，，，，，中的最小值．

（Ⅰ）对如下数表，求的值；

（Ⅱ）设数表形如

求的最大值；

（Ⅲ）给定正整数，对于所有的，求的最大值．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

绝密★考试结束前

2012年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）D

（2）D（3）B（4）C

（5）A（6）B（7）B（8）C

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）2（10）1

（11）4（12）

（13）11（14）

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：

（Ⅰ）由得（Z），

故的定义域为RZ}．

因为

，

所以的最小正周期．

（Ⅱ）函数的单调递增区间为（Z）．

由，（Z），

得，（Z）．

所以的单调递增区间为和（Z）．

（16）（共14分）

解：

（Ⅰ）因为，，

所以．

所以，．

所以平面．

所以．

又因为，

所以平面．

（Ⅱ）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，，，，．

设平面的法向量为n，则

n,n．

又，，

所以

令，则．

所以n．

设与平面所成的角为．

因为，

所以．

所以与平面所成角的大小为．

（Ⅲ）线段上不存在点，使平面与平面垂直．理由如下：

假设这样的点存在，设其坐标为，其中．

设平面的法向量为m，则

m，m．

又，，

所以

令，则，．

所以．

平面平面，当且仅当，

即．

解得，与矛盾．

所以线段上不存在点，使平面与平面垂直．

（17）（共13分）

解：

（Ⅰ）厨余垃圾投放正确的概率约为

．

（Ⅱ）设生活垃圾投放错误为事件，则事件表示生活垃圾投放正确．

事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即约为

，

所以约为．

（Ⅲ）当，时，取得最大值．

因为，

所以．

（18）（共13分）

解：

（Ⅰ），．

因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以

，且．

即，且．

解得，．

（Ⅱ）记．当时，

，

．

令，得，．

时，与的情况如下：

↗

↘

↗

所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为．

当，即时，

函数在区间上单调递增，在区间上的最大值为．

当，且，即时，

函数在区间内单调递增，在区间上单调递减，在区间上的最大值为．

当，即时，

函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间上单调递增，

又因，

所以在区间上的最大值为．

（19）（共14分）

解：

（Ⅰ）曲线C是焦点在轴上的椭圆，当且仅当

解得，所以的取值范围是．

（Ⅱ）当时，曲线的方程为，点，的坐标分别为，．

由得．

因为直线与曲线交于不同的两点，所以，

即．

设点的坐标分别为，，则

，，

，．

直线的方程为，点的坐标为．

因为直线和直线的斜率分别为，，

所以

．

即．

故，，三点共线．

（20）（共13分）

解：

（Ⅰ）因为，，，，，

所以．

（Ⅱ）不妨设．由题意得．

又因，所以，于是．

，，

，，．

所以．

当且时，取得最大值．

（Ⅲ）对于给定的正整数，任给数表如下：

任意改变的行次序或列次序，或把中的每个数换成它的相反数，所得数表，并且．

因此，不妨设，且（）．

由的定义知，，（）．

又因为=，

所以

．

所以．

对数表：

第列

第列

第列

第列

第列

则，且．

综上，对于所有的，的最大值为．