完整版解析几何大题带答案.docx
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完整版解析几何大题带答案
三、解答题
26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：
PA⊥PB
本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分.
解：
（1）由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标
原点，所以
（2）直线PA的方程
解得
于是直线AC的斜率为
（3）解法一：
将直线PA的方程代入
则
故直线AB的斜率为
其方程为
解得.
于是直线PB的斜率
因此
解法二：
设.
设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以
从而
因此
28.
（北京理19）
已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（II）将表示为m的函数，并求的最大值.
（19）（共14分）
解：
（Ⅰ）由已知得
所以
所以椭圆G的焦点坐标为
离心率为
（Ⅱ）由题意知，.
当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为
此时
当m=－1时，同理可得
当时，设切线l的方程为
由
设A、B两点的坐标分别为，则
又由l与圆
所以
由于当时，
所以.
因为
且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.
32.（湖南理21）
如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．
（i）证明：
MD⊥ME;
（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是．问：
是否存在直线l,使得?
请说明理由。
解：
（Ⅰ）由题意知
故C1，C2的方程分别为
（Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为.
由得
.
设是上述方程的两个实根，于是
又点M的坐标为（0，—1），所以
故MA⊥MB，即MD⊥ME.
（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得
则点A的坐标为.
又直线MB的斜率为，
同理可得点B的坐标为
于是
由得
解得
则点D的坐标为
又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为
于是.
因此
由题意知，
又由点A、B的坐标可知，
故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为
34.（全国大纲理21）
已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足
（Ⅰ）证明：
点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：
A、P、B、Q四点在同一圆上．
解：
（I）F（0，1），的方程为，
代入并化简得
…………2分
设
则
由题意得
所以点P的坐标为
经验证，点P的坐标为满足方程
故点P在椭圆C上。
…………6分
（II）由和题设知，
PQ的垂直平分线的方程为
①
设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为
②
由①、②得的交点为。
…………9分
故|NP|=|NA|。
又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，
所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，
由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上…………12分
36.（山东理22）
已知动直线与椭圆C:
交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?
若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.
（I）解：
（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以
因为在椭圆上，
因此①
又因为
所以②
由①、②得
此时
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由题意知m，将其代入，得
，
其中
即…………（*）
又
所以
因为点O到直线的距离为
所以
又
整理得且符合（*）式，
此时
综上所述，结论成立。
（II）解法一：
（1）当直线的斜率存在时，
由（I）知
因此
（2）当直线的斜率存在时，由（I）知
所以
所以，当且仅当时，等号成立.
综合
（1）
（2）得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二：
因为
所以
即当且仅当时等号成立。
因此|OM|·|PQ|的最大值为
（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得
证明：
假设存在，
由（I）得
因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与矛盾，
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.
40.（天津理18）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.
（I）解：
设
由题意，可得
即
整理得（舍），
或所以
（II）解：
由（I）知
可得椭圆方程为
直线PF2方程为
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得
解得
得方程组的解
不妨设
设点M的坐标为，
由
于是
由
即，
化简得
将
所以
因此，点M的轨迹方程是
42.（重庆理20）如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点满足：
，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：
是否存在两个定点，使得为定值？
若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
解：
（I）由
解得，故椭圆的标准方程为
（II）设，则由
得
因为点M，N在椭圆上，所以
，
故
设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知
因此
所以
所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为
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