圆锥曲线的经典结论Word格式.docx

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7.椭圆（）的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.（余弦定理+面积公式+半角公式）

椭圆（）的焦半径公式：

，（,，）.（第二定义）

设过椭圆焦点作直线与椭圆相交两点，为椭圆长轴上一个顶点，连结和分别交相应于焦点的椭圆准线于两点，则.

证明：

，

，，

易得：

过椭圆一个焦点的直线与椭圆交于两点，且为椭圆长轴上的顶点，和交于点，和交于点，则.（其实就在准线上，下面证明他在准线上）

首先证明准线，和公共点，

设，，不妨设，

由，

得交点，由，

得，令，

，，，，

，，则，

再根据上一条性质可得结论。

是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，

即。

（点差法）

若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是.

（点差法）

若在椭圆内，则过的弦中点的轨迹方程是.

二、双曲线

点处的切线平分△在点处的内角.（同上）

平分△在点处的内角，则焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（同上）

以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.（同上）

以焦点半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：

在右支；

外切：

在左支）

（同上）

若在双曲线（）上，则过的双曲线的切线方程是：

.（同上）

若在双曲线（）外，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是.（同上）

双曲线（）的左右焦点分别为，点为双曲线上任意一点：

，则双曲线的焦点角形的面积为.（同上）

双曲线（）的焦半径公式：

当在右支上时，,.

当在左支上时，,（同上）

设过双曲线焦点作直线与双曲线相交、两点，为双曲线长轴上一个顶点，连结和分别交相应于焦点的双曲线准线于、两点，则.（同上）

过双曲线一个焦点的直线与双曲线交于两点、，且为双曲线实轴上的顶点，和交于点，和交于点，则.（同上）

是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

若在双曲线（）内，则被所平分的中点弦的方程是：

若在双曲线（）内，则过的弦中点的轨迹方程是：

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭圆

椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于时，与交点的轨迹方程是.

，，交点，由，得，

又，则

过椭圆上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，则直线有定向且（常数）.

若为椭圆上异于长轴端点的任一点，、是焦点,,，则.

证法1（代数）

证法二（几何）

设椭圆的两个焦点为、,（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△中，记,,，则有.

（上条已证）

若椭圆的左、右焦点分别为、，左准线为，则当时，可在椭圆上求一点，使得是到对应准线距离与的比例中项.

为椭圆上任一点，、是焦点，为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.

椭圆与直线有公共点的充要条件是.

已知椭圆，O为坐标原点，、为椭圆上两动点，且.

（1）;

（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;

（3）的最小值是.

证明

过椭圆的右焦点作直线交该椭圆右支于两点，弦的垂直平分线交轴于，则.

已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点,则.

设点是椭圆上异于长轴端点的任一点,、是焦点，记，则

（1）.

（2）.

设是椭圆的长轴两端点，是椭圆上的一点，,,，分别是椭圆的半焦距离心率，则有：

（1）.

（2）.

（3）.

已知椭圆的右准线与轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在右准线上，且轴，则直线经过线段的中点.

过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

证

椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数（离心率）.

（注:

在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

（角分线定理+合比公式）

椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比.（角分线定理）

椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（角分线定理）

双曲线

双曲线（）的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时，与交点的轨迹方程是.

过双曲线（）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于两点，则直线有定向且（常数）.

若为双曲线（）右（或左）支上除顶点外的任一点,、是焦点,,，则（或）.

设双曲线（）的两个焦点为、,（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△中，记,,，则有：

.

若双曲线（）的左、右焦点分别为、，左准线为，则当时，可在双曲线上求一点，使得是到对应准线距离与的比例中项.

为双曲线（）上任一点,、是焦点，为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在轴同侧时，等号成立.

双曲线（）与直线有公共点的充要条件是：

已知双曲线（b＞a＞0），为坐标原点，、为双曲线上两动点，且.

（2）的最小值为;

过双曲线（）的右焦点作直线交该双曲线的右支于两点，弦的垂直平分线交轴于，则.

已知双曲线（）,是双曲线上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点,则或.

设点是双曲线（）上异于实轴端点的任一点,、是焦点，记，则：

设是双曲线（）的长轴两端点，是双曲线上的一点，,,，分别是双曲线的半焦距离心率，则有：

已知双曲线（）的右准线与轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于两点，点在右准线上，且轴，则直线经过线段的中点.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（同上）

在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.（同上）

双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数（离心率）.

在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.

双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比.

双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

19.已知椭圆上一点，以直线与椭圆交于两点，恒有，则直线横过

19.已知椭圆，不再椭圆上的一点，过做倾斜角互补的两直线，与椭圆交于四点，则四点共圆

其他常用公式：

1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：

2、直线的一般式方程：

任何直线均可写成（不同时为0）的形式。

3、知直线横截距，常设其方程为（它不适用于斜率为0的直线），

与直线垂直的直线可表示为。

4、两平行线，间的距离为。

5、若直线与直线平行，

则（斜率）且（在轴上截距）（充要条件）

6、圆的一般方程：

，特别提醒：

只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。

二元二次方程表示圆的充要条件是，且，且。

7、圆的参数方程：

（为参数），其中圆心为，半径为。

圆的参数方程的主要应用是三角换元：

，；

，（）；

8、为直径端点的圆方程；

切线长：

过圆（）外一点引圆的切线的长为：

（）

9、弦长问题：

①圆的弦长的计算：

常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：

；

②过两圆、交点的圆（公共弦）系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。

抛物线焦点弦性质总结30条

1.以为直径的圆与准线相切；

2.;

3.;

4.;

5.;

6.;

7.;

8.三点共线；

9.三点共线；

10.；

11.（定值）；

12.；

13.垂直平分；

14.垂直平分；

15.；

16.；

17.；

18.；

19.;

20.;

21..

22.切线方程

23、是抛物线焦点弦，是的中点，是抛物线的准线，，，过的切线相交于，与抛物线交于点．则有

结论6

结论7．

结论8平分．

结论9平分，平分．

结论10

结论11

二）非焦点弦与切线

思考：

当弦不过焦点，切线交于点时，

也有与上述结论类似结果：

结论12①，

结论13平分，同理平分．

结论14

结论15点平分

结论16