复变函数与积分变换刘建亚作业答案.docx
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复变函数与积分变换刘建亚作业答案
《复变函数与积分变换》作业参考答案
习题1:
4、计算下列各式
(1);(3);
(5),求,,;(7)。
解:
(1);
(3);
(5),
,
.
(7)因为,所以
,
即
时,;
时,;
时,;
时,;
时,;
时,.
习题2:
3、下列函数在何处可导?
何处解析?
在可导点求出其导数.
(2);(4)
(6)。
解:
(2)因为,,
,,,.
这四个一阶偏导数都连续,故和处处可微,但柯西-黎曼方程仅在上成立,所以只在直线上可导,此时,但复平面上处处不解析.
(4)因为,,
,,,.
这四个一阶偏导数都连续,故和处处可微,且满足柯西-黎曼方程,所以在复平面内解析,并且
.
(6)
所以,在除外处处解析,且.
4、指出下列函数的奇点.
(1);
(2).
解:
(1)
所以,的奇点为0,.
(2)
所以,的奇点为,.
10、如果在区域内解析,并且满足下列条件之一,试证在内是一常数.
(2)在内解析;
证明:
由在区域内解析,知、在区域内可微,且,.同理,由在内解析,知,.
从而我们得到,所以、皆为常数,故在内是一常数.
15、求解下列方程:
(2)
解:
,于是
18、求,的值及主值.
解:
,所以其主值为;
,所以其主值为.
19、求,,,的值.
解:
;
;
;
.
20、求,,,,的值.
解:
;
;
;
;
22、解方程:
(1);
解:
,.
习题3:
1、沿下列路径计算积分:
(1)从原点至的直线段;
(2)从原点沿实轴至2,再由2铅直向上至;
(3)从原点沿虚轴至,再由沿水平方向向右至.
解:
(1)从原点至的直线段的复参数方程为,,参数,所以
(2)从原点沿实轴至2的直线段的复参数方程为,参数,由2铅直向上至的直线段的复参数方程为,参数,所以
(3)从原点沿虚轴至的直线段的复参数方程为,参数,由沿水平方向向右至的复参数方程为,参数,所以
2、分别沿与算出积分的值.
解:
的复参数方程为,,参数所以
;
的复参数方程为,,参数所以
5、计算积分的值,其中为正向圆周:
(1)
解:
设是内以被积函数的奇点为圆心的正向圆周,那么
6、试用观察法得出下列积分的值,并说明观察时所依据的是什么?
是正向圆周:
(1);
(2);(3);
(4);(5);(6).
解:
(1),根据柯西积分定理;
(2),根据柯西积分定理;
(3),根据柯西积分定理;
(4),根据复合闭路定理;
(5),根据柯西积分定理;
(6),根据柯西积分定理及复合闭路定理.
7、沿指定曲线的正向计算下列积分:
(1),;
(2),;
(3),;
(4),;
(5),;
(6),为包围的闭曲线;
(7),;
(8),;
(9),;
(10),.
解:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9);
(10).
21、证明:
和都是调和函数,但是不是解析函数.
证明:
因为,,,,
,,,,
所以
,,且,.
即和都是调和函数,但是不是解析函数.
22、由下列各已知调和函数求解析函数,并写出的表达式:
(1);
(2),;
(3),.
解:
(1)因为是调和函数,所以
,.
于是
.
那么
,
则
,
所以
,
(2),.
因为是调和函数,所以
,
从而.
由知,所以.
(3)因为是调和函数,所以
,.
于是
.
那么
,
则
,
所以
,
由知,所以.
习题4:
1、下列数列是否收敛?
若收敛,求其极限.
(1);
(2);(3);(4).
解:
(1),当时,实部,虚部,所以收敛于.
(2),当时,那么,所以收敛于0.
(3)当时,实部是发散的,所以发散.
(4),实部和虚部都发散,所以发散.
2、判断下列级数的收敛性与绝对收敛性:
(1);(3).
解:
(1)记,则当时,那么不趋近于0,所以级数发散.
(3)收敛,即级数绝对收敛,所以收敛.
7、将下列各函数展成的幂级数,并指出它们的收敛半径.
(1);(3).
解:
(1).
因为,所以收敛半径.
(3)
因为,所以收敛半径.
8、将下列各函数在指定点处展成泰勒级数,并指出它们的收敛半径.
(3),;(4),;(6),.
解:
(3),则.
因为,所以收敛半径.
(4),则
.
因为,所以收敛半径.
(6).
因为,所以收敛半径.
10、求下列各函数在指定圆环域的洛朗级数展开式:
(2),,;
(5),在以为中心的圆环域内;
(7),.
解:
(2)在内,由于,且,所以
,
从而.
在内,由于,所以
,
从而.
(5)当时,由于,且
,
所以,从而.
当时,由于,所以
,
且,从而,所以
.
(7)由于且,所以
习题5:
1、求下列函数的孤立奇点并确定它们的类别,若是极点,指出它们的级.
(1);(3);(4);(7);(11).
解:
(1)易见,是的孤立奇点.由于,,所以,是极点.
,一级极点,,二级极点.
(3),所以是极点.,二级极点.
(4)易见是的孤立奇点,且,所以是可去奇点;
(7),三级极点,,一级极点;
(11),本性奇点.
5、求下列各函数在有限奇点处的留数.
(2);(3);(6).
解:
(2)记,则易见,是的孤立奇点,且他们都是一级极点.由规则Ⅰ,
,
,
.
(3)记,则有二级极点.由规则Ⅱ,
,
.
(6)记,则有本性奇点.因为在的去心邻域内的洛朗级数为
于是有
其中的项的系数,所以
6、利用留数定理计算下列积分.
(1),为圆周
解:
被积函数在圆周的内部有一级极点和二级极点,由留数的计算规则Ⅰ、Ⅱ得
,
.
于是由留数定理得积分值
(2)
解:
被积函数在内有一个二级极点,由留数的计算规则Ⅱ得
于是由留数定理得积分值
(4)
解:
被积函数在内有可去奇点,则,所以由留数定理知
(6)
解:
被积函数在内有一个二级极点,由留数的计算规则Ⅱ得
于是由留数定理得积分值
9、
(1)
解:
令,则,.于是
被积函数在内有一个一级极点,其留数
所以
(5)
解:
是偶函数,而在上半平面内有一级极点和,且
,
,
所以
(6)
解:
,,,,且在实轴上无孤立奇点,故积分
存在,所求积分是它的实部.
函数在上半平面有两个一级极点和,而且
,
,
从而
所以
习题8:
4、试求的傅氏变换.
解:
的傅里叶变化为
5、试求矩形脉冲的傅氏变换.
解:
的傅里叶变化为
6、求下列函数的傅氏积分:
(1)
解:
是上的奇函数,则
,
,
于是
7、求函数的傅氏积分,并计算
.
解:
是上的偶函数,则
,
,
于是
10、求符号函数的傅氏变换.(提示:
.)
解:
方法一:
.
方法二:
.
11、求函数的傅氏变换.
解:
,则
15、利用位移性质计算下列函数的傅氏变换:
(1);
(2)
解:
(1);
(2).
23、求下列函数的傅氏变换:
(2);(3);(4).
解:
(2)记,,由卷积定理有
(3)记,,由卷积定理有
(4)记,,由卷积定理有
习题9:
2、求下列函数的拉氏变换:
(1)
(3).
解:
(1).
(3).
3、求下列周期函数的拉氏变换:
(1)以为周期且在一个周期内的表达式为.
解:
4、求下列函数的拉氏变换:
(1);
(2);
(3);
(6)(为实常数);
(9);
(10);
(11).
解:
(1)
(2)
(3);
(6),则由位移性质有;
(9),则;
(10),则,从而
;
(11),则
.