高三数学第三次联考试题 理.docx

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高三数学第三次联考试题理

2019-2020年高三数学第三次联考试题理

参考公式：

柱体的体积公式，锥体的体积公式.

一、选择题：

（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）

1.设集合，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A.B.

C.D.

2.已知复合命题是真命题，则下列命题中也是真命题的是（）

A.B.C.D.

3.已知向量，若，则（）

A.B.C.D.

4.下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（）

A.B.

C.D.

5.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）

A.B.C.D.

6.已知等差数列中，，前项和为，

等比数列满足，，前项和为，则（）

A.B.C.D.

7.已知直线，,若，则（）

A.或B.或C.D.

8.已知函数的定义域为，如果存在实数，使对任意的，都有，

则称函数为有界函数，下列函数：

①②

③；④

为有界函数的是（）

A.②④B.②③④C.①③D.①③④

二、填空题：

（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）

9.函数在点处的切线方程为___________________.

10.在中，，则此三角形的最短边的长度是________.

11.已知递增的等差数列满足，则___________.

12.已知圆上的点到直线的最近距离为，则______.

13.如图，为了测量两座山峰上两点P、Q之间的距离，选择山坡上

一段长度为米且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的

两个端点作为观测点，现测得四个角的大小分别是,

可求得P、Q两点间的距离为米.

14.已知；

如果是的充分但不必要条件，则的取值范围是_.

三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）

15.（本小题满分12分）

已知函数（其中）的最小正周期为.

（1）求的值；

（2）设，，，求的值.

16．（本小题满分12分）

寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲、乙两个小组，每组均组织①垃圾分类宣传，②网络知识讲座，③现场春联派送三项活动，甲组计划的同学从事项目①，的同学从事项目②，最后的同学从事项目③；乙组计划的同学从事项目①，另的同学从事项目②，最后的同学从事项目③，每个同学最多只能参加一个小组的一项活动，从事项目①的总人数不得多于人，从事项目②的总人数不得多于人，从事项目③的总人数不得多于人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？

17.（本小题满分14分）

如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边

，连接A1B,A1C,A1D.

（1）当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B-A1C-D的值；

（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由.

18.（本小题满分14分）

已知数列中，，数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：

.

19.（本小题满分14分）

已知直角坐标系中，圆的方程为，两点，

动点P满足.

（1）求动点P的轨迹C方程；

（2）若对于轨迹C上的任意一点P，总存在过点P的直线交圆于M,N两点，

且点M是线段PN的中点，求的取值范围.

20.（本小题满分14分）

已知函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若，函数的图像上存在两点，其横坐标满足，

且的图像在此两点处的切线互相垂直，求的取值范围.

六校联盟第三次联考理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：

CBADDABC

二、填空题：

9.；10.；11.12.0或者；13.900；

14.或者填写或者直接均可

三、解答题：

15.解：

⑴…………3分

，所以.………………………………………………6分

注：

如果等正确结果的话相应给分即可.

⑵

所以………………………………………………………………7分

所以…………………………………………………………………8分

因为，所以，10分

所以.…………………………12分

16.解：

设甲组名同学，乙组名同学，根据题意有：

……………………1分

整理得：

………7分，约束条件和图像各3分，不化简不扣分

可行域如图：

参加活动的总人数，变形为，当经过可行域内的点，斜率为的直线在轴上

截距最大时，目标函数取得最大值.由可行域图像可知，直线经过

和的交点A时，在轴上截距最大.……………8分

解方程组得：

……………………………………10分

所以…………………………………………………11分

答：

甲组24名同学参加，乙组20名同学参加，此时总人数达到最大值44人.………12分

……2分

当且仅当，即时体积有最大值为1

所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边

形ABCD为正方形……4分

作BMA1C于M，连接DM，BD……………5分

因为四边形ABCD为正方形，所以与全等，故DMA1C，所以即为所求二面角的平面角……6分

因为BC平面AA1B1B，所以为直角三角形

又，所以，同理可得，

在BMD中，根据余弦定理有：

………………8分

因为，所以

即此时二面角B-A1C-D的值是.……………………………………………………9分

⑵若线段A1C上存在一点P，使得A1C平面BPD，则A1CBD………………10分

又A1A平面ABCD,所以A1ABD，所以BD平面A1AC

所以BDAC……………………………………………………………………12分

底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A1C上存在点P满足要求，否则不存在

由⑴知，所求点P即为BMA1C的垂足M

此时，……………………………………………………14分

法二：

根据题意可知，AA1,AB,AD两两垂直，以AB为轴，AD为轴，AA1为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

⑴长方体体积为………………………2分

当且仅当，即时体积有最大值为1…………………………………3分

所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形…………………4分

则，

设平面A1BC的法向量，则

取，得：

………………6分

同理可得平面A1CD的法向量……7分

所以，………………8分

又二面角B-A1C-D为钝角，故值是.…………9分

（也可以通过证明B1A平面A1BC写出平面A1BC的法向量）

⑵根据题意有，若线段A1C上存在一点P满足要求，不妨，可得

即：

…………………………11分

解得：

…………………………………………………………13分

即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A1C上处.………………………………………………………14分

18.解：

⑴…………………………………………2分

…………………6分

又，所以数列是首项为，公差为的等差数列，…………8分

（也可以求出，猜想并用数学归纳法证明，给分建议为计算前2项1分，计算前3项或者更多2分，猜想通项公式2分，数学归纳法证明4分

数学归纳法证明过程如下：

①当时，符合通项公式；

②假设当时猜想成立，即，

那么当时

，

即时猜想也能成立

综合①②可知，对任意的都有.

⑵当时，左边=不等式成立；……………………………………9分

当时，左边=不等式成立；…………………………10分

当时，

左边=

不等式成立…………………………………………………………………………14分

19.解：

⑴设，因为，所以

消去并注意到可得动点P的轨迹C即为线段AB，方程为：

……5分，不写出的范围扣1分

⑵设，则

方程组即有解……7分

法一：

将方程组两式相减得：

………8分

原方程组有解等价于点到直线的距离小于或等于，即…………………………………………………………9分

整理得：

即

也就是，对任意的恒成立……………………10分

根据二次函数的图像特征可知，在区间上，当或者时，；当时，…………………………12分

所以，……………………………………………………13分

特别的，当时，圆与切于点，此时过C上的点没有合乎要求的直线，故，即所求的范围为.……14分

法二：

上述方程组有解即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，故对于任意的都有成立……9分

整理得：

对任意的恒成立……………………10分

根据二次函数图像特征可知，在区间上，当或者时，；当时，…………………………12分

所以，……………………………………………………13分

特别的，当时，圆与切于点，此时过C上的点没有合乎要求的直线，故，即所求的范围为.……14分

20.解：

⑴函数的定义域为，……1分

当时，原函数在区间上有，单调递增，无极值；

当时，原函数在区间上有，单调递增，无极值；……2分

当时，令得：

………………………………3分

当时，，原函数单调递增；当时，，原函数单调递减…………………………………………………………………………………4分

所以的极大值为………………………………5分

⑵由⑴知，当时

……………………6分

函数图像上存在符合要求的两点，必须，得：

；

………………………………………………………………………8分

当时，，函数在点处的切线斜率为；

当时，，函数在点处的切线斜率为；

………………………………………………………………10分

函数图像在两点处切线互相垂直即为：

，即………………………………11分

因为，故上式即为…12分

所以，解得：

综合得：

所求的取值范围是.………………………………14分