甘肃省武威市学年高二数学下学期寒假学习质量检测试题理.docx
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甘肃省武威市学年高二数学下学期寒假学习质量检测试题理
武威六中高二年级寒假学习质量检测
数学试卷（理）
一、选择题：
（本大题共12小题，每小题5分）．
1．已知条件p：
log2（x﹣1）＜1；条件q：
|x﹣2|＜1，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
2．设f（x）=xlnx，若，则x0等于（ ）
A．e2B．eC．D．ln2
3．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知F1、F2为双曲线C：
x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．在△ABC中，AB=2，AC=3，=，则•=（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
6．设p：
2x2－3x＋1≤0，q：
x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，]B．（0，）
C．（－∞，0]∪[，＋∞）D．（－∞，0）∪（，＋∞）
7．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函数y＝ax2－2bx＋1在（－∞，]上为减函数的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点P（k，－2）与点F的距离为4，则k等于（ ）
A．4B．4或－4C．－2D．－2或2
9．已知a、b是两异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a、b所成的角为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．45°
10．设抛物线C：
y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为（ ）
A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝（x－1）或y＝－（x－1）
C．y＝（x－1）或y＝－（x－1）D．y＝（x－1）或y＝－（x－1）
11．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入x的值为7，
第二次输入x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）
A．0,0B．1,1C．0,1D．1,0
12．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）
13．函数的单调递减区间为 ．
14．若双曲线－＝1的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，则实数m＝________.
15．已知在空间四边形OABC中，＝a、＝b、＝c，点M在OA上，且OM＝3MA，N为BC中点，用a、b、c表示，则等于________.
16．边长为1的等边三角形ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角B－AD－C为60°，点D到平面ABC的距离为________.
武威六中高二年级寒假学习质量检测
数学试卷（理）答题卡
一、选择题：
（本大题共12小题，每小题5分）．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）
13．14．____________________
15．16．____________________
三、解答题（共6小题，17小题10分，其余各题每题12分，共70分）
17.（本小题10分）设函数f（x）＝2x3－3（a＋1）x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f（x）在x＝3处取得极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在点A（1,16）处的切线方程．
18．（本小题12分）已知命题p：
“方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆”；命题q：
“∃x∈R，使得x2－（a－1）x＋1<0”.
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．
19．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点坐标为（2,0），短轴长为4.
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）设P是椭圆C上一点，且点P与椭圆C的两个焦点F1、F2构成一个直角三角形，且|PF1|>|PF2|，求的值．
20．（本小题满分12分）已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长|AB|＝3.
（1）求m的值；
（2）设P是x轴上的点，且△ABP的面积为9，求点P的坐标．
21．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：
AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
22.（12分）已知函数f（x）＝x2－alnx（a∈R）．
（1）若f（x）在x＝2时取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求证：
当x>1时，x2＋lnx
高二年级2018年寒假质量检测考试数学试卷（理）
参考答案
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分．
1-5CBABD．6-10ADBBC11-12.DD
二、填空题（每空5，共计20分）
13． （0，1] ．14．m＝1；
15．则=－a＋b＋c16．
三、解答题（共5小题，每题14分）
17.解：
（1）f′（x）＝6x2－6（a＋1）x＋6a.
因为f（x）在x＝3处取得极值，所以f′（3）＝6×9－6（a＋1）×3＋6a＝0，
解得a＝3，所以f（x）＝2x3－12x2＋18x＋8.
（2）A点在f（x）上，由
（1）可知f′（x）＝6x2－24x＋18，
f′
（1）＝6－24＋18＝0，所以切线方程为y＝16.
18[解析]
（1）若命题p为真命题，则有
，∴1故实数a的取值范围是（1,4）．
（2）若命题p∧q为真命题，则p真、q真，由
（1）知p真，1若q真，则不等式x2－（a－1）x＋1<0有解，即Δ＝（a－1）2－4>0，
∴a2－2a－3>0，∴a>3或a<－1.
又∵1故实数a的取值范围是（3,4）．
19.[解析]
（1）设椭圆C的标准方程为＋＝1.
由题意得c＝2，b＝2，∴a＝4.
故椭圆C的标准方程为＋＝1，离心率e＝＝.
（2）当点P为短轴的一个端点时，∠F1PO＝30°，
∴∠F1PF2＝60°.
故不论点P在椭圆C上的任何位置时，∠F1PF2≠90°.
∵|PF1|>|PF2|，∴∠PF2F1＝90°.
∴|PF2|＝＝＝3.
又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，
∴|PF1|＝5，∴＝.
20[解析]
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由得4x2＋4（m－1）x＋m2＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝1－m，x1·x2＝，
∴|AB|＝
＝
＝，
∵|AB|＝3，∴＝3，解得m＝－4.
（2）设P（a,0），P到直线AB的距离为d，
则d＝＝，
又S△ABP＝|AB|·d，则d＝，
∴＝，∴|a－2|＝3，
∴a＝5或a＝－1，故点P的坐标为（5,0）或（－1,0）．
21．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：
AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
【解答】证明：
（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．…（4分）
解：
（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，
所以．
由AD=3，可知，．
则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），
所以，．
设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．
令，则=．
因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．
所以cos．
因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）
（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．
则．
因为AM∥平面BEF，
所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），
即当时，AM∥平面BEF．…（12分）
22.解：
（1）f′（x）＝x－，因为x＝2是一个极值点，
所以2－＝0.所以a＝4.
此时f′（x）＝x－＝＝.
因为f（x）的定义域是{x|x>0}，
所以当02时，f′（x）>0.
所以当a＝4时，x＝2是f（x）的极小值点．所以a＝4.
（2）因为f′（x）＝x－，
所以当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）．
当a>0时，f′（x）＝x－＝＝，
令f′（x）>0有x>，
所以函数f（x）的单调递增区间为（，＋∞）；
令f′（x）<0有0所以函数f（x）的单调递减区间为（0，）．
（3）证明：
设g（x）＝x3－x2－lnx，
则g′（x）＝2x2－x－，
因为当x>1时，g′（x）＝>0，
所以g（x）在（1，＋∞）上是增函数．
所以g（x）>g
（1）＝>0.
所以当x>1时，x2＋lnx
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