苏教版八年级上数学期末复习知识点总结+例题完美版良心出品必属精品.docx

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苏教版八年级上数学期末复习知识点总结+例题完美版良心出品必属精品

八年级数学（上）期末复习+例题解析

第一章三角形全等

1、全等三角形的定义：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

理解：

①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；

②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；

③三角形全等不因位置发生变化而改变。

2、全等三角形的性质：

⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。

理解：

①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；

②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

⑵全等三角形的周长相等、面积相等。

⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定：

①边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

②角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

③推论（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

④边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等。

⑤斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、证明两个三角形全等的基本思路：

⑴已知两边：

①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.

⑵已知一边一角：

①找一角（AAS或ASA）；②找夹边（SAS）.

⑶已知两角：

①找夹边（ASA）；②找其它边（AAS）.

例题评析

例1已知：

如图，点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，

求证：

AB=AC．

例2已知：

如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：

△ABC≌△DEF．

例3已知：

BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，

求证：

①△BEC≌△DEA；②DF⊥BC．

例4如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,

BC、DE交于点O.求证：

（1）△ABC≌△AED；

（2）OB＝OE.

例5如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.

例6如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点

B′的位置，AB′与CD交于点E.

（1）试找出一个三角形与△AED全等，并加以证明.

（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，PG+PH的值会变化吗？

若变化，请说明理由；若不变化，请求出这个值。

例7已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　　，QE与QF的数量关系是　　；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时

（2）中的结论是否成立？

请画出图形并给予证明．

复习作业：

解答题

1.

（1）如下图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB=__________。

分析：

由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌_____________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数。

（2）请你利用第

（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

已知如右图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：

EF2=BE2+FC2 。

2.如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC≌△BAD．

求证：

（1）OA=OB；

（2）AB∥CD．

3.如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，

∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．

4.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.

求证：

（1）EC=BF；

（2）EC⊥BF.

5.已知：

如图，AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.

求证：

BC=ED.

6.如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD，CE相交于F.求证：

AF平分∠BAC.

7.△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，M点在边AC上，且CM＝2，过M点作AC的垂线交AB边于E点.动点P从点A出发沿AC边向M点运动，速度为每秒1个单位，当动点P到达M点时，运动停止.连接EP，EC.在此过程中，

⑴当t为何值时，△EPC的面积为10？

⑵将△EPC沿CP翻折后，点E的对应点为F点，当t为何值时，PF∥EC？

8.在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以边AB、BC、CA向△ABC外作正方形ABHI、正方形BCGF、正方形CAED，连接GD，AG，BD.

⑴如图1，求证：

AG＝BD.

⑵如图2，试说明：

S△ABC＝S△CDG.（提示：

正方形的四条边相等，四个角均为直角）

图1

图2

第二章轴对称

1、轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。

2、轴对称的性质：

①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线；

3、线段的垂直平分线：

①性质定理：

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

②判定定理：

到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

拓展：

三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等

4、角的角平分线：

①性质定理：

角平分线上的点到角两边的距离相等。

②判定定理：

到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。

拓展：

三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。

5、等腰三角形：

①性质定理：

⑴等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）

⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。

（三线合一）

②判断定理：

一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。

（等角对等边）

6、等边三角形：

①性质定理：

⑴等边三角形的三条边都相等；

⑵等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；

拓展：

等边三角形每条边都能运用三线合一这性质。

②判断定理：

⑴三条边都相等的三角形是等边三角形；

⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形；

⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

7、直角三角形推论：

⑴直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

⑵直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

拓展：

直角三角形常用面积法求斜边上的高。

例题评析

1、线段的对称轴有条，是

2、线段垂直平分线上的点到的

距离相等

∵

∴

3、到距离相等的点在线段的垂直平分线上

∵

∴

∵

∴

∴

例1：

如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．

（1）若AC＝6，△ABD的周长是13，则△ABC的周长是_______；

（2）若△ABC的周长是30，△ABD的周长是25，则AC＝_______．

例2：

如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、点D.

（1）若BC＝8，则△ADE的周长是_______；

（2）若∠BAC=110°，那么∠EAD＝______

（3）若∠EAD=100°，那么∠BAC＝______

4、角的对称轴有条，是

5、角平分线上的点到的距离相等

∵

又∵

∴

6、角的内部到距离相等

的点在角的平分线上

∵

又∵

∴

例3：

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC.

（1）若CD=5，则点D到AB的距离为.

（2）若BD：

DC=3：

2，点D到AB的距离为6，则BC的长是.

例4：

如图，OP平分∠AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A、B．

下列结论中，不一定成立的是（）

A．PA=PBB．PO平分∠APB

C．OA=OBD．AB垂直平分OP

补充：

①三角形的三条边的垂直平分线的交点到的距离相等

②三角形的三条角平分线的交点到的距离相等

1.请你先在图的BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB=QC．

2.如图，求作点P，使点P同时满足：

①PA=PB；②到直线m，n的距离相等．

7、等边对等角

∵

∴

8、等角对等边

∵

∴

9、等腰三角形、

、

重合（三线合一）

（有条对称轴）

∵∵∵

又∵又∵又∵

∴∴∴

例5：

（1）等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则该等腰三角形的周长为

（2）等腰三角形的两边长分别为4、5.则该等腰三角形的周长为

（3）已知等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角为__________．

（4）等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=．

例6：

（1）如图①，在Rt△ABC中，若AB=AC，AD=AE，∠BAD=40°,则∠EDC=_______．

（2）如图②，∠ACB=90°,E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，则∠ECF=_____．

（3）如图③，AB=AC=DC，且BD=AD，则∠B=_____．

例7：

如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，

交AB于点D，交AC于点E．试说明BD＋EC＝DE．

例8：

如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：

BD=CE．

例9：

在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：

BE=CE；

（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：

△AEF≌△BCF．

10、

（1）等边三角形的性质：

等边三角形的三条边，三个角都是，每条边上都有三线合一，有条对称轴

（2）等边三角形的3个判定方法：

三条边都的三角形是等边三角形

三个角都的三角形是等边三角形

有一个角是的三角形是等边三角形

例10：

（1）如图①，在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE=____．

（2）如图②，正方形ABCD，△EAD为等边三角形，则∠EBC＝_______．

（3）如图③，已知等边△ABC，AC=AD,且AC⊥AD，垂足为A，则∠BEC＝_______．

1②③

例11：

如图，C为线段AE上一动点（点C不与点A、E重合），在AE的同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE相交于点O，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．下列五个结论：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°，其中恒成立的有__________（填序号）．

例12：

如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为